大學物理習題討論課靜電場基礎物理系：周群益導體與電介質11.一半徑為R的半圓細環(huán)上均勻分布電荷Q>0,求環(huán)心處的電場強度.[解]在弧線上取線元dl,帶電量為此電荷元可視為點電荷,它在點O的電場強度因圓環(huán)上電荷對y軸呈對稱性分布,電場分布也是軸對稱的,則O點場強的x分量為零.場強的y分量為dEy=dEsinθ,由于dl=Rdθ,O點總場強大小為方向沿y軸負方向.

OxydlRdEdEydExθ22.兩條無限長平行直導線相距為r0,均勻帶有等量異號電荷,電荷線密度為>0.(1)求兩導線構成的平面上任一點的電場強度(設該點到其中一線的垂直距離為x);(2)求每一根導線上單位長度導線受到另一根導線上電荷作用的電場力.[解](1)如圖所示坐標系,正負線電荷在共面的P點產生的場強為帶負電導線單位長度所受的電場力方向向左,大小為可見:兩導線相互作用力大小相等,方向相反,兩導線相互吸引.(2)帶正電導線在帶負電導線處產生的場強方向向右,大小為帶負電導線在帶正電導線處產生的場強方向向右,大小為帶正電導線單位長度所受的電場力方向向右,大小為[注意]電場強度E是除去自身電荷外其它電荷的合場強,電荷自身建立的電場不會對自身電荷產生作用力.-r0xxOE+E-3[解]由于場強E與Oxy面平行,所以對任何與Oxy面平行的立方體表面,電場強度的電通量為零,即ΦOABC=ΦDEFG=0.3.邊長為a的立方體如圖所示,其表面分別平行于xy,yz和zx平面,立方體的一個頂點為坐標原點.現(xiàn)將立方體置于電場強度E=(E1+kx)i+E2j的非均勻電場中,求電場對立方體各表面及整個立方體表面的電場強度通量.通過ABGF面的電通量為CDEO面與ABGF面的外法線方向相反,且該兩面的電場分布相同,故有ΦCDEO=-ΦABGF=-E2a2.通過整個立方體表面的電通量為同理可得xyzOABCDEFG44.一無限大均勻帶電薄平板,電荷面密度為>0,在平板中部有一半徑為r的小圓孔.求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點P的電場強度.圓盤的場強為[解]若把小圓孔看作由等量的正,負電荷重疊而成.挖去圓孔的帶電平板等效于一個完整的帶電平板和一個帶相反電荷的圓盤,中心軸線上的電場強度等效于平板和圓盤各自獨立在該處激發(fā)的電場的矢量和.帶電平面的場強為合電場強度為

這種方法稱為補償法.[討論](1)在圓孔中心處x=0,則

E=0.(2)在距離圓孔遠處x>>r,可得帶電平板上小圓孔對電場分布的影響可以忽略不計.xrP55.如圖所示,一厚度為b的“無限大”帶電平板,其電荷體密度分布為=kx(0xb),式中k為一常數(shù).求:(1)平板外兩側任一點P1和P2處的電場強度;(2)平板內任一點P處的電場強度;(3)場強為零的點在何處?x0bP1P2[解](1)在平板內取一面積為S,厚度為dx的薄層,所帶電荷為dQ,電荷的體密度為在P1點產生的場強為電荷面密度為xdx在P2處的場強大小由上式決定,方向向左.總場強為方向向右.方向向右.(2)對于場點P,左邊平板產生的場強方向向右,大小為右邊平板在P點產生的場強方向向左,大小為總場強為(3)令E=0,則得xdxPa66.由兩塊相距0.50mm的薄金屬板A和B構成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒K內,金屬盒上,下兩壁與A,B分別相距0.25mm,金屬板面積為30mm×40mm.求:(1)被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆?(2)若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰,問此時的電容又為原來的幾倍?[解](1)薄金屬板A和B與金屬盒一起構成三個電容器,其等效電路圖如圖(b)所示.ABC1C2C3K(b)AB間總電容為根據(jù)對稱性和間隔關系得C2=C3=2C1.由于金屬板面積很大,各電容器都可當作平行板電容器處理.所以總電容為C=2C1.(2)當電容器一個引腳,例如B腳,與屏蔽盒相碰時,則BK間電容不存在,只有兩個電容器并聯(lián),總電容為C=C1+C2=3C1.ABC1C2K(c)ABK77.為了實時檢測紡織品和紙張等材料的厚度(待測材料可視作相對電容率為r的電介質),通常在生產流水線上設置如圖所示的傳感裝置,其中A和B為平板電容器的導體極板,d0為兩極板間的距離.試說明檢測原理,并推出直接測量電容C與間接測量厚度d之間的函數(shù)關系.如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度,結果又將如何?[解]當電容中插入電介質時就形成三個串聯(lián)的電容器,總電容倒數(shù)為總電容為dd0d1d2根據(jù)兩板所帶的電量和電勢差可求電容由此可求介質的厚度如果待測材料是導體,其厚度為88.一平行板空氣電容器,極板面積為S,極板間距為d,充電至帶電Q后與電源斷開,然后用外力緩緩地把兩極板間距拉開到2d.求:(1)電容器能量的改變;(2)此過程中外力所作的功,并討論此過程中的功能轉換關系.[解](1)極板間的電場為均勻電場,其大小為在外力作用下極板間距從d被拉開到2d,電場占有空間的體積由V增加到