廣東省東莞市香市中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知a，b∈R，下列命題正確的是(

)A．若a＞b，則|a|＞|b| B．若a＞b，則C．若|a|＞b，則a2＞b2 D．若a＞|b|，則a2＞b2參考答案：D【考點(diǎn)】四種命題．【專題】不等式．【分析】對(duì)于錯(cuò)誤的情況，只需舉出反例，而對(duì)于C，D需應(yīng)用同向正的不等式兩邊平方后不等號(hào)方向不變這一結(jié)論．【解答】解：A．錯(cuò)誤，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．錯(cuò)誤，比如3＞﹣4，便得不到；C．錯(cuò)誤，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正確，a＞|b|，則a＞0，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到a2＞b2．故選D．【點(diǎn)評(píng)】考查若a＞b，對(duì)a，b求絕對(duì)值或求倒數(shù)其不等號(hào)方向不能確定，而只有對(duì)于同向正的或非負(fù)的不等式兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不變．3.等于（

）A.6

B.5

C.4

D.3參考答案：D4.已知的定義域?yàn)镽，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如所示，則

（

）A．在處取得極小值

B．在處取得極大值

C．是上的增函數(shù)

D．是上的減函數(shù)，上的增函數(shù)參考答案：C略5.已知直線l1：3x+4y+1=0與直線l2：4x﹣3y+2=0，則直線l1與直線l2的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．無(wú)法確定參考答案：B【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；直線與圓．【分析】求出直線的斜率，判斷兩條直線的位置關(guān)系．【解答】解：直線l1：3x+4y+1=0的斜率為：﹣，直線l2：4x﹣3y+2=0的斜率為：，顯然有=﹣1，直線l1與直線l2的位置關(guān)系是垂直．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的垂直條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6.（5分）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x）＜f（x），則下列成立的是（）A．e﹣2f（2）＜ef（﹣1）＜f（0）B．ef（﹣1）＜f（0）＜e﹣2f（2）C．ef（﹣1）＜e﹣2f（2）＜f（0）D．e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）參考答案：D因?yàn)閒′（x）＜f（x），所以得f′（x）﹣f（x）＜0．構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)閒′（x）﹣f（x）＜0，ex＞0，所以F'（x）＜0，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）．故選D．7.已知直線y=kx+2k+1與直線y=–x+2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.–6<k<2

B.–<k<0

C.–<k<

D.<k<+∞參考答案：C8.若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.命題“”的否定（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C10.=（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解答本題．【解答】解：因?yàn)?（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為（，，），則其直角坐標(biāo)是．參考答案：【考點(diǎn)】QB：柱坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置．【分析】設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（x，y，z），根據(jù)變換公式為，得x=，y=sin，z=解出其坐標(biāo)值即可．【解答】解：由題意：∵M(jìn)點(diǎn)的柱面坐標(biāo)為M（，，），設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（x，y，z），∴x=，y=sin，z=解得x=﹣1，y=﹣1，z=．∴M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：M．故答案為．12.已知實(shí)數(shù)

。參考答案：13.過(guò)點(diǎn)A(2，0)的直線把圓x2+y2≤1（區(qū)域）分成兩部分（弓形），它們所包含的最大圓的直徑之比是1∶2，則此直線的斜率是

。參考答案：±14.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：15.已知，為第四象限角，則

．參考答案：略16.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向____平移_____個(gè)單位.參考答案：左

.【分析】函數(shù)改寫(xiě)成，函數(shù)改寫(xiě)成，對(duì)比兩個(gè)函數(shù)之間自變量發(fā)生的變化。【詳解】函數(shù)等價(jià)于，函數(shù)等價(jià)于，所以函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位?！军c(diǎn)睛】函數(shù)的平移或伸縮變換都是針對(duì)自變量而言的，所以本題要先的系數(shù)2提出來(lái)，再用“左加右減”的平移原則進(jìn)行求解。17.

用更相減損術(shù)求38與23的最大公約數(shù)為

參考答案：1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC為銳角三角形可得答案．（2）根據(jù)（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC為銳角三角形得．（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值；（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：（1）單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，，無(wú)最小值；（2）【分析】（1）求出后討論其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.（2）原方程等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，也就是函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵，，

∴，∴令，即，解得：.令，即，解得：，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，∴當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值.（2）∵方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，又由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，，又，∴，

∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】（1）一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．（2）含參數(shù)的閉區(qū)間上函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可用參變分離把含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)為不含參數(shù)的函數(shù)的圖像問(wèn)題，后者可用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根，判斷所求根的左右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于時(shí)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得的最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令，得.（－，－1）－1（－1，ln2）ln2（ln2，+）+0－0+↗極大值↘極小值↗

所以，極大值=；極大值（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，,等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，?，，=－,（－2，－1）－1（－1，0）+0－↗極大值↘

則，因此，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

21.（12分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用有如下的統(tǒng)計(jì)資料

若由資料知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程（2）估計(jì)使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用大約是多少？參考公式：參考數(shù)據(jù)：4.4+11.4+22+32.5+42=112.3參考答案：（1），那么，回歸直線方程為（2）當(dāng)時(shí)，即使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用大約是萬(wàn)元。22.（本小題14分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處切線的斜率；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）設(shè).當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）

則在處切線的斜率

………4分

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

①當(dāng)時(shí)，

令解得，

；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞