廣東省廣州市南崗中學2023年高一數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的定義域是

A. B.

C.

D. 參考答案：C2.由拋物線與直線所圍成的圖形的面積是（

）．A.4

B.

C.5

D.參考答案：B解得x=1，y=﹣1或x=4，y=2，即交點坐標為（1，﹣1），（4，2）∴圖中陰影部分的面積是.

3.已知點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，則在[0，2π）內α的取值范圍是（）A.（，）∪（，） B.（0，）∪（，）C.（，）∪（，2π） D.（，）∪（π，）參考答案：C【分析】由點P的橫坐標大于0且縱坐標小于0解三角不等式求解α的范圍．【詳解】∵點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，∴，由sinα+cosαsin（α），得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z，即2kπα＜2kππ，k∈Z．由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（，）∪（，2π）．故選：C．【點睛】本題考查了三角函數的符號，考查了三角不等式的解法，是基礎題．4.已知a=40.3，b=8，c=30.75，這三個數的大小關系為（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a參考答案：C【考點】指數函數的圖象與性質．【分析】根據冪的運算法則與指數函數的圖象與性質，對a、b、c的大小進行比較即可．【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，且20.6＜20.75，∴a＜b；又c=30.75，且20.75＜30.75，∴b＜c；∴a、b、c的大小關系為：a＜b＜c．故選：C．5.從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高數據（單位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分組，繪制成頻率分布直方圖（如圖）．從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150)三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內的學生中選取的人數應為（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：A【分析】先求，，三組頻率，再求各組頻數，最后根據分層抽樣總體與各層抽樣比例相同求解.【詳解】各組頻率等于各組矩形的面積，所以，身高在，，的頻率分別為0.3，0.2，0.1，身高在，，的頻數分別為30，20，10，分層抽樣的比例為.所以，身高在內的學生中選取的人數為.故選A.【點睛】本題考查頻率分布直方圖與分層抽樣，屬于基礎題.6.的值是（

）A.

B.

C.

D.

0參考答案：A7.已知變量x，y滿足條件則z＝4x＋y的最大值是A.4

B.11

C.12

D.14參考答案：B8.當時，，則下列大小關系正確的是（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：解析：當時，，，。又因為。所以。選C。9.（5分）若2a=3b=6，則+=（） A． B． 6 C． D． 1參考答案：D考點： 指數式與對數式的互化．專題： 函數的性質及應用．分析： 2a=3b=6，可得a=，b=，代入即可得出．解答： ∵2a=3b=6，∴a=，b=，則+===1．故選：D．點評： 本題考查了指數式化為對數式、對數的運算法則，屬于基礎題．10.方程=lgx的根的個數是()A.0

B.1

C.2

D.無法確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點且垂直于直線的直線方程是 ．參考答案：12.+參考答案：略13.已知△ABC中，A=45°，B=60°，，那么a=．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】使用正弦定理列方程解出．【解答】解：由正弦定理得：，即，解得a=．故答案為．14.已知函數在上為偶函數，且當時，，則當時，的解析式是 ．參考答案：15.在△ABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且,.則C=_____.參考答案：【分析】把題設中的邊角關系化為，利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得，從該方程中可得.【詳解】因為，故，由正弦定理可以得到，故，因，所以，故，因，故，填.【點睛】在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.16.化簡（其中）參考答案：略17.正三棱錐V﹣ABC中，VB=，BC=2，則二面角V﹣AB﹣C的大小為．參考答案：60°【考點】二面角的平面角及求法．【分析】取AC中點O，連結VO，BO，則∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角V﹣AB﹣C的大小．【解答】解：如圖，正三棱錐V﹣ABC中，VB=，BC=2，取AC中點O，連結VO，BO，∵VA=VC=VB=，AB=AC=2，AO=CO=，∴VO⊥AC，BO⊥AC，VO==2，BO==3，∴∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角，cos∠VOB===，∴∠VOB=60°．∴二面角V﹣AB﹣C的大小為60°．故答案為：60°．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量=（cosx，sinx），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]，（1）求?及|+|；（2）若f（x）=?﹣2λ|+|的最小值是﹣，求實數λ的值．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】（1）由題意利用兩個向量的數量積公式求得?，再根據的坐標，求得|+|的值．（2）由（Ⅰ）得f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再結合1≥cosx≥0可得，分類討論，利用二次函數的性質，根據f（x）的最小值是﹣，分別求得實數λ的值，綜合可得結論．【解答】解：（1）由題意可得?=cosxcos﹣sinxsin=cos2x，=（cosx+cos，sinx﹣sin），∴|+|===2|cosx|．∵x∈[0，]，∴1≥cosx≥0，∴|+|=2cosx．（2）由（Ⅰ）得f（x）=?﹣2λ|+|=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，再結合1≥cosx≥0可得，當λ＜0時，則cosx=0時，f（x）取得最小值為﹣1，這與已知矛盾．當0≤λ≤1時，則cosx=λ時，f（x）取得最小值為﹣1﹣2λ2．當λ＞1時，則cosx=1時，f（x）取得最小值為1﹣4λ．由已知得1﹣4λ=﹣，λ=，這與λ＞1相矛盾．綜上所述，λ=為所求．19.（本小題滿分12分）如圖所示，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形的內接矩形，兩點在圓弧上，是的平分線，連接，記，問：角為何值時矩形面積最大，并求最大面積.參考答案：解：設交于，交于，顯然矩形關于對稱，而，均為，的中點，在中，即

…………4分故：

…………8分故當即時，取得最大，此時

……12分略20.

(1)計算的值．

(2)計算的值．參考答案：略21.設函數f（x）=|x|﹣3（﹣3≤x≤3），（1）用分段函數表示f（x）并作出其圖象；（2）指出函數f（x）的單調區(qū)間及相應的單調性；（3）求函數的值域．參考答案：【考點】分段函數的應用．【專題】綜合題；數形結合；綜合法；函數的性質及應用．【分析】（1）利用絕對值的幾何意義，可用分段函數表示f（x）并作出其圖象；（2）根據圖象，指出函數f（x）的單調區(qū)間及相應的單調性；（3）根據圖象，求函數的值域．【解答】解：（1）f（x）=；圖象如圖所示；（2）f（x）在區(qū)間[0，3]單調遞增，在區(qū)間[﹣3，0]單調遞減；（3）由函數圖象得，函數的值域是[﹣3，0]．【點評】本題考查絕對值的幾何意義，分段函數，考查數形結合的數學思想，正確作出圖象是關鍵．22.湖北省第十四屆運動會紀念章委托某專營店銷售，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向荊州籌委會交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發(fā)現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為元，為整數.

(1)寫出該專營店一年內銷售這種紀念章所獲利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格(元)的函數關系式(并寫出這個函數的定義域)；

(2)當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該特許專