第四章三角形微專題四一線三等角模型1.定義：一線三等角是一個(gè)常見的模型，指的是有三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似（或全等）圖形，也可稱為“K形圖”或“M形圖”.2.一線三等角的性質(zhì)（1）一般情況下，由一條直線上三個(gè)相等的角，易得兩個(gè)相似三角形；（2）當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r(shí)，相似的兩個(gè)三角形全等.注：三個(gè)相等的角可以是銳角、直角或鈍角.3.構(gòu)造一線三等角的基本步驟做題過程中，若出現(xiàn)一角的頂點(diǎn)在一條直線上的形式，就可以構(gòu)造兩側(cè)的兩個(gè)相等的角，利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題，本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似.

類型條件圖示結(jié)論一線三等角（不包含直角）同側(cè)型（三個(gè)等角都在直線的同側(cè)）點(diǎn)P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，三個(gè)角在AB同側(cè)△ACP∽△BPD點(diǎn)P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，P是AB的中點(diǎn)△ACP∽△BPD∽△PCD類型條件圖示結(jié)論一線三等角（不包含直角）異側(cè)型（三個(gè)等角分居在直線的兩側(cè)）點(diǎn)P在射線AB上，∠1＝∠2＝∠3，三個(gè)角在AB兩側(cè)△ACP∽△BPD一線三直角特別地，當(dāng)∠1＝∠2＝∠3＝90°時(shí)，為一線三直角模型△ACP∽△BPD.特殊地，當(dāng)PC＝PD時(shí)，△ACP≌△BPD

?類型1：一線三等角（不包含直角）【例1】【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，已知AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（0°＜α＜90°），則線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是

DE＝BD＋CE

?；

【類比探究】如圖2，在（1）的條件下，若90°＜α＜180°，則線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是

DE＝BD＋CE

?；

【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，請問線段AD、BD、CE之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.DE＝BD＋CE

DE＝BD＋CE

思路點(diǎn)撥

（2）同（1）易得DE＝BD＋CE

?類型2：一線三直角【例2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E.圖1

圖2（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE.（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE.（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，試問DE，AD，BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明.圖3

思路點(diǎn)撥

↓

證明：（1）①∵AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E，

∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE.

又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②由①知，△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE.

∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.圖1

證明：（2）∵AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E，

∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE.

又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，CD＝BE，

∴DE＝CE－CD＝AD－BE.圖2證明：（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE）.圖3

?類型1：一線三等角（不包含直角）1.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE＝45°.（1）當(dāng)∠DEC＝120°時(shí)，求∠BDA的度數(shù)；解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°.

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC

＝∠BAD＋45°.

又∵∠ADC＝∠CDE＋45°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴∠BDA＝∠DEC＝120°.（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

?類型2：一線三直角

（1）求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；

（2）若OD＝1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；

解：（2）∵CD∥AB，∴設(shè)直線CD的解析式為y＝－x＋m.又∵OD＝1，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）.將D（1，0）代入y＝－x＋m，得m＝1.∴直線CD的解析式為y＝－x＋1.對于y＝－x＋1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴C（0，1）.以點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形是矩形.理由如下：∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），

又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，則E（0，3）.∵CE＝OE－OC＝2，BE＝2，∴△BEC和△COD都為等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠OCD＝45°，∴∠BCD＝90°，∴?ABCD是矩形.

解：（3）①當(dāng)∠MAD＝90°時(shí)，如圖2，作PD⊥x軸，過A點(diǎn)作PQ∥x軸，QM⊥PQ于點(diǎn)Q.∵△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM.又∵∠PAD＋∠PDA＝90°，∠PAD＋∠QAM＝90°，∴∠PDA＝∠Q