2023年廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試理科數學注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目規(guī)定的．（1）若全集U=R，集合，，則＝（A）（B）（C）（D）（2）已知，是虛數單位，若與互為共軛復數，則（A）（B）（C）（D）（3）下列說法中對的的是（A）“”是“函數是奇函數”的充要條件（B）若，則（C）若為假命題，則，均為假命題（D）命題“若，則”的否命題是“若，則”（4）已知在上是奇函數,且滿足,當時,，則（A）（B）（C）（D）（5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（A）（B）（C）（D）（6）各項均為正數的等差數列中，，則前12項和的最小值為（A） （B）（C） （D）俯視圖（7）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是斜邊長為2俯視圖的直角三角形，俯視圖是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個幾何體的體積為（A）（B）（C）（D）（8）已知，且，函數的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則的值為（A）（B）（C）（D）（9）若實數滿足約束條件則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）過雙曲線的一個焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一條漸近線交于點，若，則此雙曲線的離心率為（A）（B）（C）2（D）（11）將5位同學分別保送到北京大學，上海交通大學，中山大學這3所大學就讀，每所大學至少保送1人，則不同的保送方法共有（A）150種 （B）180種（C）240種（D）540種（12）已知的三個頂點，，的坐標分別為，O為坐標原點，動點滿足，則的最小值是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷涉及必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據規(guī)定做答．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．（13）已知向量，滿足，在方向上的投影是，則．（14）已知，則．（15）展開式中的常數項為，則．（16）已知為R上的連續(xù)可導函數，且，則函數

的零點個數為___________．三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算環(huán)節(jié)．（17）（本小題滿分12分）設為數列的前項和，已知，對任意，都有．(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ）若數列的前項和為,求證：.（18）(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，ABCDPMNA1B1C1D1分別是線段的中點，過線段的中點作的平行線ABCDPMNA1B1C1D1（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（19）（本小題滿分12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，局限性80的年份有2023，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量互相獨立．（Ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機盡也許運營，但每年發(fā)電機最多可運營臺數受年入流量限制，并有如下關系；年入流量發(fā)電機最多可運營臺數123若某臺發(fā)電機運營，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運營，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達成最大，應安裝發(fā)電機多少臺？（20）（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設，為拋物線上一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于，兩點，求面積的最大值．（21）（本小題滿分12分）已知函數（為自然對數的底數，為常數）在點處的切線斜率為.（Ⅰ）求的值及函數的極值；（Ⅱ）證明：當時，；（=3\*ROMANIII）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.請考生在第22、23、24題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計分．做答時請寫清題號．（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，于點，認為直徑的圓與交于點．FCDABEFCDABEON（Ⅱ）若，點在線段上移動，,與相交于點，求的最大值．（23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，已知曲線：（為參數）與曲線：(為參數，)．（Ⅰ）若曲線與曲線有一個公共點在x軸上，求的值；（Ⅱ）當時，曲線與曲線交于，兩點，求，兩點的距離．（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知定義在R上的函數，，存在實數使成立．（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若，，求證：．2023年廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試理科數學答案及評分參考評分說明:1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，假如考生的解法與本解答不同，可根據試題的重要考察內容比照評分參考制訂相應的評分細則．2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，假如后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的限度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分對的解答應得分數的一半；假如后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數，表達考生對的做到這一步應得的累加分數．4．只給整數分數．選擇題不給中間分．一．選擇題（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D（7）A （8）B （9）B （10）C （11）A （12）A二．填空題（13）2 （14） （15）或 （16）0（其中第15題中，答對2個給5分，答對1個給3分）三．解答題（17）證明：（Ⅰ）由于，當時，，兩式相減，得，即，所以當時，.所以.由于，所以.（Ⅱ）由于，，，所以．所以．由于，所以．由于在上是單調遞減函數，所以在上是單調遞增函數．所以當時，取最小值．所以.廣東數學教師QQ群：。里面數學資源豐富，研討數學問題熱烈。（18）（Ⅰ）證明：由于,是的中點,所以,.由于，分別為，的中點，所以．所以.由于平面,平面，所以.又由于在平面內,且與相交,所以平面.ABCDPMNA1B1C1DABCDPMNA1B1C1D1FE過作于,連接.由（Ⅰ）知,平面,所以平面平面.所以平面,則.所以平面,則.故為二面角的平面角(設為)．設,則由,,有,.又為的中點，則為的中點，所以.在，，在中，.從而,．所以.由于為銳角，所以．故二面角的余弦值為.ABCDPMNA1B1C1D1xyz解法二:設.如圖,過作平行于,認為坐標原點,分別以,的方向為軸,軸,ABCDPMNA1B1C1D1xyz則,.由于為的中點,所以分別為的中點,故,所以,,．設平面的法向量為，則即故有從而取,則,所以是平面的一個法向量．設平面的法向量為,則即故有從而取,則,所以是平面的一個法向量．設二面角的平面角為,又為銳角，則.故二面角的余弦值為.廣東數學教師QQ群：。里面數學資源豐富，研討數學問題熱烈。（19）解：（I）依題意，，．由二項分布，在未來4年中至多有1年入流量超過120的概率為：．（Ⅱ）記水電站年總利潤為（單位：萬元），由于水庫年入流量總大于40,所以至少安裝1臺．①安裝1臺發(fā)電機的情形：由于水庫年入流量總大于40，所以一臺發(fā)電機運營的概率為1，相應的年利潤，．②安裝2臺發(fā)電機的情形：當時，一臺發(fā)電機運營，此時，因此．當時，兩臺發(fā)電機運營，此時，因此.所以的分布列如下：4200100000.20.8所以．③安裝3臺發(fā)電機的情形：當時，一臺發(fā)電機運營，此時，因此．當時，兩臺發(fā)電機運營，此時，此時．當時，三臺發(fā)電機運營，此時，因此．所以的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達成最大，應安裝2臺發(fā)電機．（20）解：（Ⅰ）由于，所以．則橢圓方程為即．設，則．當時，有最大值為．解得，則．所以橢圓的方程是．（Ⅱ）設曲線：上的點，由于，所以直線的方程為：．①將①代入橢圓方程中整理，得．則有．且．所以．設點到直線的距離為，則．所以的面積．．當時取到“=”，經檢查此時，滿足題意．綜上，面積的最大值為．（21）（=1\*ROMANI）解：由，得.由于,所以．所以，.令,得．當時,單調遞減；當時,單調遞增.所以當時,取得極小值,且極小值為無極大值．（Ⅱ）證明：令,則.由（=1\*ROMANI）得,故在R上單調遞增．所以當時，，即．（Ⅲ）證明一：①若,則.由（Ⅱ）知，當時，.所以當時,.取,當時，恒有．②若,令,要使不等式成立，只要成立．而要使成立，則只要,只要成立．令,則.所以當時,在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又，易知．所以.即存在,當時，恒有．綜上，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．證明二：對任意給定的正數，取，由（Ⅱ）知，當時，，所以．當時，．因此，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．證明三：一方面證明當時，恒有．令，則．由（Ⅱ）知，當時，，從而，在上單調遞減。所以，即．取，當時，有．因此，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．（22）解：（Ⅰ）在中，，于點，所以，由于是圓的切線，由切割線定理得．