范數(shù)及條件數(shù)1.向量的范數(shù)范數(shù)的另一個簡單例子是三維歐氏空間的長度設(shè)x=(x1,x2,x3)，則x的歐氏范數(shù)定義為：歐氏范數(shù)也滿足三個條件：

x，y

R3，a為常數(shù)(1)

x

≥0，且x=0

x=0(2)

ax

=

a

x

(3)

x+y

≤

x

+

y

前兩個條件顯然，第三個條件在幾何上解釋為三角形一邊的長度不大于其它兩邊長度之和。因此，稱為三角不等式。向量范數(shù)的一般概念：定義1：設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，對V中任一向量α，都有唯一實數(shù)α

與之對應(yīng)，滿足如下三個條件：1)正定性：α≥0，且α=0

α=02)齊次性：kα=|k|α

，這里k

F3)三角不等式：α+

α

+

則稱α為α的范數(shù)。定義了范數(shù)的向量空間稱為賦范向量空間.簡單性質(zhì)：(1)x

0——單位向量(2)||x||=||–x||(3)|||x||–||y|||||x–y||——當(dāng)x

y時，||x||||y||Cn上的常見范數(shù)有：1)1-范數(shù)

2)2-范數(shù)稱為歐氏范數(shù)3)-范數(shù)不難驗證，上述三種范數(shù)都滿足定義的條件。注：上述形式的統(tǒng)一：1

p

例

設(shè)x=(1,0,-1,2)T,計算

解:=1+0+|-1|+2=4有了范數(shù)的概念，就可以討論向量序列的收斂性問題。定義2：設(shè)給定Cn中的向量序列{xk}，即x0，x1，…，xk，…其中若對任何i(i=1,2,…,n)都有則向量稱為向量序列{xk}的極限，或者說向量序列{xk}依坐標(biāo)收斂于向量x*，記為定理5：定義在Cn上的向量范數(shù)||x||是變量x分量的連續(xù)函數(shù)。（f(x)=||x||）定理6：在Cn上定義的任何兩個范數(shù)都是等價的。即存在正數(shù)k1與k2(k1≥k2>0)，對一切xCn，不等式k1||x||b

||x||a

k2||x||b成立。對常用范數(shù)，容易驗證下列不等式：矩陣的范數(shù)矩陣的范數(shù)性質(zhì)矩陣的范數(shù)性質(zhì)（續(xù)1）矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)對稱矩陣范數(shù)例題矩陣的譜半徑例題譜半徑矩陣的譜半徑例：設(shè)A=(aij)nn，||A||為其算子范數(shù)，如果||A||<1,則

I–A可逆，且5.5誤差分析求解時，A和的誤差對解有何影響？設(shè)A精確，有誤差，得到的解為，即絕對誤差放大因子又相對誤差放大因子設(shè)精確，A有誤差，得到的解為，即是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的條件數(shù)，記為cond(A),此數(shù)越則A越病態(tài)，越難得準(zhǔn)確解。大(只要A充分小，使得注:

cond(A)的具體大小與||·||的取法有關(guān)，但相對大小一致。

cond(A)取決于A，與解題方法無關(guān)。常用條件數(shù)有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特別地，若A對稱，則條件數(shù)的性質(zhì)：

A可逆，則cond(A)p

1；

A可逆，R

則cond(

A)

=cond(A)；

A正交，則cond(A)2=1；

A可逆，R正交，則cond(RA)2

=cond(AR)2

=cond(A)2。精確解為例：計算cond(A)2。A1=解：考察A的特征值39206>>1

測試病態(tài)程度：給一個擾動，其相對誤差為此時精確解為2.0102>200%例：Hilbert陣cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判斷矩陣是否病態(tài)，并不計算A1，而由經(jīng)驗得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相關(guān)）；元素間相差大數(shù)量級，且無規(guī)則；主元消去過程中出現(xiàn)小主元；特征值相差大數(shù)量級。近似解的誤差估計及改善：設(shè)的近似解為，則一般有cond(A)誤差上限改善方法：步驟1:近似解步驟2:步驟3:步驟4:若可被精確