1．1認識三角形(二)1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一條角平分線，則∠ADB＝105°．(第2題)2．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線．(1)若BC＝6cm，則CD＝3cm(2)若CD＝a，則BC＝2a(3)若S△ABD＝8cm2，則S△ACD＝8cm2(第3題)3．(1)如圖，在銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高線，且CD，BE交于點P.若∠A＝70°，則∠BPC＝110°；若∠BPC＝100°，則∠A＝80°；(2)在△ABC中，AD，CE分別是BC，AB邊上的高線，且BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，則AB＝eq\f(15,4)cm；(3)在△ABC中，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB＝7cm，AC＝5cm，則△ABD與△ACD的周長之差為2cm4．(1)一定可以把一個三角形分成兩個面積相等的三角形的是(A)A．三角形的中線B．三角形的角平分線C．三角形的高線D．以上說法均不正確(2)直角三角形的三條高線所在的直線交于(C)A．三角形內(nèi)部B．三角形外部C．三角形的邊上D．不能確定5．如圖，在△ABC中，D，E分別是BC上的兩點，且BD＝DE＝EC，則圖中面積相等的三角形有(A)A．4對B．5對C．6對D．7對(第5題)(第6題)6．如圖，在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的邊BC上的中線，BE是△ABD的角平分線，有下列結(jié)論：①∠ABE＝∠DBE；②BC＝2BD＝2CD；③△ABD的周長等于△ACD的周長．其中正確的個數(shù)有(C)A．0個B．1個C．2個D．3個(第7題)7．如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠B，∠CAD＝40°，∠ACE＝120°，請判斷AD是否是△ABC的角平分線，并說明理由．【解】AD是△ABC的角平分線．理由如下：∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠B＋∠BAC＝∠ACE＝120°，即∠B＋∠BAD＋∠CAD＝120°.∵∠CAD＝40°，∴∠B＋∠BAD＝120°－40°＝80°.又∵∠B＝∠BAD，∴2∠BAD＝80°，∴∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是△ABC的角平分線．(第8題)8．如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AD的中點，連結(jié)BE.若S△ABC＝16cm2，求S△ABE.【解】∵D是BC的中點，∴S△ABD＝S△ACD＝eq\f(1,2)S△ABC＝8cm2.∵E是AD的中點，∴S△ABE＝S△BDE＝eq\f(1,2)S△ABD＝4cm2.9．如圖，在△ABC中，AB>AC，AD是BC邊上的中線，已知△ABD與△ACD的周長之差為8，求AB－AC的值．(第9題)【解】∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.∵C△ABD＝AB＋BD＋AD，C△ACD＝AC＋CD＋AD，∴AB＝C△ABD－BD－AD，AC＝C△ACD－CD－AD.∴AB－AC＝(C△ABD－BD－AD)－(C△ACD－CD－AD)＝C△ABD－C△ACD＝8.10．已知在△ABC中，∠A＝45°，高線BD和高線CE所在的直線交于點H，求∠BHC的度數(shù)．【解】(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如解圖①.∵BD，CE是△ABC的高線，∴∠ADB＝∠BEH＝90°.又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHE＝45°，∴∠BHC＝180°－∠BHE＝135°.(第10題解)(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如解圖②.∵BD，CE是△ABC的高線，∴∠ADB＝∠BEH＝90°.又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHC＝180°－∠ABD－∠BEH＝45°.綜上所述，可知∠BHC＝135°或45°.11．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一點．(1)如圖①，若P是BC邊上任意一點，PF⊥AB于點F，PE⊥AC于點E，BD為△ABC的高線，請?zhí)角驪E，PF與BD之間的數(shù)量關(guān)系；(第11題)(2)如圖②，若P是BC的延長線上一點，PF⊥AB于點F，PE⊥AC于點E，CD是△ABC的高線，請?zhí)角驪E，PF與CD之間的數(shù)量關(guān)系．【解】(1)連結(jié)PA.∵S△ABC＝S△APB＋S△APC，∴eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)AB·PF＋eq\f(1,2)AC·PE.∵AB＝AC，∴BD＝PE＋PF.(2)連結(jié)PA.∵S△PAB＝S△ABC＋S△ACP，∴eq\f(1,2)AB·PF＝eq\f(1,2)AB·CD＋eq\f(1,2)AC·PE.∵AB＝AC，∴PF＝CD＋PE，即PF－PE＝CD.12．(1)如圖①所示，在△ABC中，∠ABC的平分線BO與∠ACB的平分線CO交于點O，試探求∠A與∠BOC的數(shù)量關(guān)系；(第12題)(2)如圖②，在△ABC中，D是邊AB延長線上一點，E是邊AC延長線上一點，∠CBD的平分線BO與∠BCE的平分線CO交于點O.試探求：①∠A與∠BOC的數(shù)量關(guān)系；②按角的大小來判斷△BOC的形狀．【解】(1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠OCB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)．∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠OBC＋∠OCB＝90°－eq\f(1,2)∠A.又∵∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC，∴180°－∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A，∴∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A.(2)①∵BO平分∠CBD，CO平分∠BCE，∴∠CBO＝eq\f(1,2)∠CBD，∠BCO＝eq\f(1,2)∠BCE，∴∠CBO＋∠BCO＝eq\f(1,2)(∠CBD＋∠BCE)．∵∠ABC＋∠CBD＝180°，∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠CBD＋∠BCE＝360°－(∠ABC＋∠ACB)．∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠CBD＋∠BCE＝180°＋∠A，∴∠CBO＋∠BCO＝eq\f(1,2)(180°＋∠A)＝90°＋eq\f(1,2)∠A.∵∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)，∴∠BOC＝180°－90°－eq\f(1,2)∠A＝90°－eq\f(1,2)∠A.②∵∠CBO＝