淺談傅里葉變換及其應(yīng)用(小論文)一．由來(lái)傅里葉變換（Fourier

變換）是一種線(xiàn)性的積分變換。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來(lái)命名以示紀(jì)念。二．概要介紹

傅里葉變換能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線(xiàn)性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具被提出的?！?）2.傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類(lèi)似。

正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線(xiàn)性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線(xiàn)性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取。三．計(jì)算方法連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)

f（t）表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)

F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù)

（t）的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換(inverseFouriertransform)為即將時(shí)間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。一般可稱(chēng)函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱(chēng)函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transformpair）。四．應(yīng)用領(lǐng)域傅里葉變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理、密碼學(xué)、海洋學(xué)、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量。五．簡(jiǎn)介離散傅里葉變換的應(yīng)用。DFT在諸多多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，下面僅是頡取的幾個(gè)例子。需要指出的是，所有DFT的實(shí)際應(yīng)用都依賴(lài)于計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（即FFT）是計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。）。1.頻譜分析DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)均勻采樣并截?cái)嘁缘玫接邢揲L(zhǎng)的離散序列，對(duì)這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號(hào)x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析需要注意的兩個(gè)問(wèn)題：即采樣可能導(dǎo)致信號(hào)混疊和截?cái)嘈盘?hào)引起的頻譜泄漏?？梢酝ㄟ^(guò)選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率（見(jiàn)奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當(dāng)?shù)男蛄虚L(zhǎng)度并加窗可以抑制頻譜泄漏。2.數(shù)據(jù)壓縮由于人類(lèi)感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語(yǔ)音、音頻、圖像、視頻等信號(hào)的高頻部分除去。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié)，濾除高頻信號(hào)可以在人類(lèi)感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過(guò)離散傅里葉變換完成的。將時(shí)域或空域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，僅儲(chǔ)存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號(hào)。DMOFDM（正交頻分復(fù)用）在寬帶無(wú)線(xiàn)通信中有重要的應(yīng)用。這種技術(shù)將帶寬為N個(gè)等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調(diào)制可以由IDFT實(shí)現(xiàn)，而解調(diào)可以由DFT實(shí)現(xiàn)。OFDM還利用DFT的移位性質(zhì)，在每個(gè)幀頭部加上循環(huán)前綴（CyclicPrefix），使得只要信道延時(shí)小于循環(huán)前綴的長(zhǎng)度，就能消除信道延時(shí)對(duì)傳輸?shù)挠绊?。參考文獻(xiàn)（1）^林家翹、西格爾著《自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》，科學(xué)出版社，北京。原版書(shū)名為C.C.Lin&L.A.Segel,MathematicsAppliedtoDeterministicProblemsintheNaturalSciences,