15．2線段的垂直平分線1．理解和掌握線段垂直平分線的兩個性質(zhì)；(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動，初步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法；3．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動中，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣．一、情境導(dǎo)入如圖，平面上的四邊形ABCD是一只“風(fēng)箏”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明觀察了這個“風(fēng)箏”的骨架后，他認(rèn)為四邊形ABCD的兩條對角線AC⊥BD，垂足為E，并且BE＝ED，你同意他的判斷嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：線段垂直平分線的尺規(guī)作圖如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？(注：作一對對應(yīng)點(diǎn)的對稱軸就是作線段AB的垂直平分線)解析：本題其實(shí)就是作線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的作法作出即可．解：作法：(1)分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E、F兩點(diǎn)；(2)連接直線EF，EF即為所求的直線．同樣，對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點(diǎn)，作出對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸．方法總結(jié)：要熟練掌握線段垂直平分線的作法，作出的圖形中的作圖痕跡要保留．探究點(diǎn)二：線段垂直平分線的性質(zhì)【類型一】應(yīng)用垂直平分線的性質(zhì)求線段的長如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝，分別以A、B為圓心，4為半徑畫弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的直線交AC于點(diǎn)D，連接BD，則△BCD的周長是________．解析：由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知BD＝AD，那么△BCD的周長其實(shí)是AC和BC的長度和．由題意可知過這兩點(diǎn)的直線其實(shí)是AB邊的垂直平分線，所以BD＝AD；所以△BCD的周長＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋＝.故答案為.方法總結(jié)：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)線段之間的相關(guān)轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．【類型二】應(yīng)用垂直平分線的性質(zhì)求角度如圖，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分別為AB和AC的垂直平分線，求∠DAE的度數(shù)．解析：由題意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分別為AB和AC的垂直平分線可證△BDF≌△ADF和△CEG≌△AEG，得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B＋∠C，使問題得到解決．解：∵DF是AB的垂直平分線，∴BF＝AF，BD＝AD.又∵DF＝DF，∴△BDF≌△ADF(SSS)．∴∠B＝∠DAF.同理可得∠C＝∠EAG.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，∴∠B＋∠C＝80°，∴∠DAF＋∠EAG＝80°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°.方法總結(jié)：有線段的垂直平分線時，一般都過垂直平分線上的點(diǎn)連接線段兩端點(diǎn)得相等的線段．探究點(diǎn)三：線段垂直平分線的判定如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．解析：先利用角平分線和全等證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°.在△ADE和△ADF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠DAF，,∠AED＝∠AFD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結(jié)：當(dāng)一條直線上有兩點(diǎn)都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質(zhì)進(jìn)行線段相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化．探究點(diǎn)四：垂直平分線的作法與垂直平分線的性質(zhì)的綜合現(xiàn)有不在一條直線上的A、B、C三座城市．(1)現(xiàn)在A、B兩城之間建一水果倉庫，使其到A、B兩城市之間距離相等，此倉庫位置唯一嗎？它們的位置有怎樣的關(guān)系？(2)在B、C兩城之間建一水果批發(fā)市場，使其到B、C兩城市距離相等，市場的位置唯一嗎？它們的位置有怎樣的關(guān)系？(3)為減少運(yùn)費(fèi)，現(xiàn)將水果批發(fā)市場與水果倉庫建在同一位置，并分別到三城市距離相等，應(yīng)如何選址？畫圖說明．解析：本題可以把城市、水果批發(fā)市場、水果倉庫看成是幾個點(diǎn)，問題(1)就轉(zhuǎn)化為尋找到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；問題(2)就轉(zhuǎn)化為尋找到B、C兩點(diǎn)之間距離相等的點(diǎn)；問題(3)就轉(zhuǎn)化為尋找到A、B、C三點(diǎn)之間距離相等的點(diǎn)，這樣就可以用垂直平分線的知識來解決問題．解：(1)不唯一，它們在一條直線上，此直線為AB的垂直平分線；(2)不唯一，它們在一條直線上，此直線為BC的垂直平分線；(3)AB、BC兩線段的垂直平分線的交點(diǎn)D即為滿足要求的位置．方法總結(jié)：利用轉(zhuǎn)化思想，合理地建立模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計eq\a\vs4\al(線段的,垂直平,分線)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段,的直線叫做這條線段的垂直平分線，,又叫線段的中垂線.,性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩,端點(diǎn)的距離相等.,判定定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線,段的垂直平分線上.))本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增