脈沖數(shù)字電路

電子技術基礎（3）第二講邏輯代數(shù)2009年9月11日2009－09－111中國科學技術大學快電子劉樹彬

第一章數(shù)字邏輯概論1.1數(shù)字電路與數(shù)字信號1.2數(shù)制1.3二進制數(shù)的算術運算1.4二進制代碼1.5二值邏輯變量與基本邏輯運算1.6邏輯函數(shù)及其表示方法2009－09－112中國科學技術大學快電子劉樹彬

幾種常用的計數(shù)體制十進制(Decimal)二進制(Binary)十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）

(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)rN=an-1×rn-1+…+a0×r0+a-1×r-1+…+a-m×r–m

縮寫方式：

權值2009－09－113中國科學技術大學快電子劉樹彬

十進制（Decimal）以10為基數(shù)的計數(shù)體制基數(shù)：10位權：10i，i=……-3,-2,-1,0,1,2,3,……數(shù)碼：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9表達式式中Ki為基數(shù)10的第i次冪的系數(shù)，即數(shù)碼位權數(shù)碼2009－09－114中國科學技術大學快電子劉樹彬

MSBLSB二進制（Binary）以2為基數(shù)的計數(shù)體制基數(shù)：2位權：2i，i=……-3,-2,-1,0,1,2,3,……數(shù)碼：0,1表達式式中Ki為基數(shù)2的第i次冪的系數(shù)，即數(shù)碼位權數(shù)碼MSB：MostSignificantBitLSB：LeastSignificantBit2009－09－115中國科學技術大學快電子劉樹彬

二進制數(shù)的波形表示數(shù)字電子技術和計算機應用中，二值數(shù)據(jù)常用數(shù)字波形表示2009－09－116中國科學技術大學快電子劉樹彬

二進制數(shù)據(jù)的傳輸串行傳輸一根數(shù)據(jù)信號導線和共同接地端，所需設備簡單傳輸1位數(shù)據(jù)需要1個（或幾個）時鐘周期未來高速數(shù)據(jù)傳輸?shù)内厔莶⑿袀鬏敹喔鶖?shù)據(jù)信號導線和其他部件，設備復雜在同樣時鐘下，傳輸速度比串行快幾倍不適合高速遠距離數(shù)據(jù)傳輸2009－09－117中國科學技術大學快電子劉樹彬

二進制（Binary）選擇二進制的原因：兩個狀態(tài)的材料最容易獲得基本運算規(guī)則簡單，運算操作方便十－二進制的轉換二進制→十進制：每一位二進制數(shù)乘以位權，然后相加十進制→二進制：整數(shù)部分：除2取余小數(shù)部分：乘2取整2009－09－118中國科學技術大學快電子劉樹彬

例:

二進制數(shù)10011.101轉換成十進制數(shù)各二進制數(shù)碼乘以位權，然后整數(shù),小數(shù)分別相加

(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3＝16+0+0+2+1+0.5+0+0.125＝（19.625)D二進制數(shù)轉換為十進制數(shù)例:二進制數(shù)（01010110）轉換為十進制數(shù)

各二進制數(shù)碼乘以位權，然后相加2009－09－119中國科學技術大學快電子劉樹彬

十──二進制轉換（整數(shù)部分）

“除2取余”，直到商為0：除2：除2：則（23)D=（10111)B例：將十進制數(shù)23轉換成二進制數(shù)2009－09－1110轉換的另一種方法則（133)D=（10000101)B

對于較大的數(shù)，不必逐次除2例：將十進制數(shù)133轉換成二進制數(shù)133―1285―4―11

02009－09－1111中國科學技術大學快電子劉樹彬

十──二進制轉換（小數(shù)部分）

方法：“乘2取整”乘2：乘2：將十進制小數(shù)反復乘2，取各次乘2后的整數(shù)（個位數(shù)）為二進制小數(shù)相應位的數(shù)碼，第一次乘2后的整數(shù)為最高位，依次類推，得到轉換后的二進制小數(shù)每次乘2時，要先舍去上次乘2所得積中的整數(shù)，只用小數(shù)繼續(xù)乘22009－09－1112中國科學技術大學快電子劉樹彬

例：將十進制數(shù)（0.706）轉化為二進制數(shù)，誤差要小于求二進制數(shù)表達式中的各系數(shù)Ki則（0.706)D=（0.101101001)B讀取順序此時，小數(shù)0.472<0.5,即b-10=0，符合題中誤差要求，可以不再繼續(xù)轉換2009－09－1113中國科學技術大學快電子劉樹彬

十六進制和八進制十六進制以16為基數(shù)的計數(shù)體制16個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六-二進制之間轉換八進制以8為基數(shù)的計數(shù)體制八-二進制之間轉換2009－09－1114中國科學技術大學快電子劉樹彬

第一章數(shù)字邏輯概論1.1數(shù)字電路與數(shù)字信號1.2數(shù)制1.3二進制數(shù)的算術運算1.4二進制代碼1.5二值邏輯變量與基本邏輯運算1.6邏輯函數(shù)及其表示方法2009－09－1115中國科學技術大學快電子劉樹彬

二進制的算術運算數(shù)字電路中，0和1表示數(shù)量時，兩個二進制數(shù)可進行算數(shù)運算無符號二進制數(shù)的算術運算二進制加法二進制減法乘法和除法帶符號二進制數(shù)的減法運算二進制的補碼二進制補碼的減法運算溢出和溢出的判別2009－09－1116中國科學技術大學快電子劉樹彬

第一章數(shù)字邏輯概論1.1數(shù)字電路與數(shù)字信號1.2數(shù)制1.3二進制數(shù)的算術運算1.4二進制代碼1.5二值邏輯變量與基本邏輯運算1.6邏輯函數(shù)及其表示方法2009－09－1117中國科學技術大學快電子劉樹彬

二進制碼數(shù)字信息：數(shù)值和文字符號編碼：建立代碼與十進制數(shù)值、字母、符號的一一對應的關系十進制數(shù)碼的二進制編碼——BCD碼8421BCD碼、2421碼、余3碼……格雷碼ASCII碼模擬世界A/D數(shù)字世界D/A編碼處理存儲處理18幾種常見的BCD碼Binary-Coded-Decimal2009－09－1119中國科學技術大學快電子劉樹彬

格雷碼只有1位變化3位產(chǎn)生變化2009－09－1120中國科學技術大學快電子劉樹彬

ASCII編碼世界上使用最廣泛的符號編碼7-bitASCII編碼第8位經(jīng)常用來檢錯（校驗位）例子：Digital的ASCII表示字母 二進制編碼 十六進制編碼D 1000100 44i 1101001 69g 1100111 67i 1101001 69t 1110100 74a 1100001 61l 1101100 6C2009－09－1121中國科學技術大學快電子劉樹彬

第一章數(shù)字邏輯概論1.1數(shù)字電路與數(shù)字信號1.2數(shù)制1.3二進制數(shù)的算術運算1.4二進制代碼1.5二值邏輯變量與基本邏輯運算1.6邏輯函數(shù)及其表示方法2009－09－1122中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)是按一定的邏輯規(guī)律進行運算的代數(shù)，或者說，是用代數(shù)的形式來研究邏輯問題的一種數(shù)學工具邏輯代數(shù)的基本思想是由英國數(shù)學家喬治·布爾（GeorgeBoole）于1854年提出的。它是研究開關理論及分析、設計數(shù)字電路的數(shù)學基礎和工具。

“AnInvestigationoftheLawsofThought,onWhichAreFoundedtheMathematicalTheoriesofLogicandProbabilities”

1916-20011815-18641938年，克勞德·仙農（ClaudeE·Shannon）將其用于開關和繼電器的設計。因此，邏輯代數(shù)又被稱為開關代數(shù)。

“AMathematicalTheoryofCommunication”，1948邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）2009－09－1123中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）只有0和1兩個值，無中間值，不代表大小基本邏輯運算：與、或、非0和1元素的性質OR AND Complement

a+0=a

a·0=0 =1

a+1=1 a·1=a =0二進制加法運算

0+0=00+1=11+0=11+1=10二進制乘法運算

00=001=010=011=1布爾代數(shù)或運算

0+0=00+1=11+0=11+1=1布爾代數(shù)與運算

00=001=010=011=12009－09－1124中國科學技術大學快電子劉樹彬

與邏輯舉例：設1表示開關閉合或燈亮；0表示開關不閉合或燈不亮。則得真值表：

與運算——只有當決定一件事情的幾個條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。這種因果關系稱為與邏輯。若用邏輯表達式來描述，則可寫為與運算其它符號：and,&,∧，∩25或運算——當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。這種因果關系稱為或邏輯。

或邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

L＝A+B

或運算其它符號：or,#,∨,∪2009－09－1126中國科學技術大學快電子劉樹彬

非運算非運算——某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。非邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

非運算非邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

2009－09－1128其他常用邏輯運算與非：由與運算和非運算組合而成或非：由或運算和非運算組合而成2009－09－1129其他常用邏輯運算異或：當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為1同或：當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為0L=A·B+A·BL=A·B+A·B2009－09－1130國際符號與國標符號的對比2009－09－1131中國科學技術大學快電子劉樹彬

第一章數(shù)字邏輯概論1.1數(shù)字電路與數(shù)字信號1.2數(shù)制1.3二進制數(shù)的算術運算1.4二進制代碼1.5二值邏輯變量與基本邏輯運算1.6邏輯函數(shù)及其表示方法2009－09－1132中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)：描述輸入變量和輸出變量之間的因果關系五種表示方法邏輯真值表（簡稱真值表）用0和1分別代表不同輸入量的狀態(tài)，列表表示輸入與輸出之間關系的表格邏輯函數(shù)表達式（或稱邏輯函數(shù)式，簡稱邏輯式或函數(shù)式）把邏輯函數(shù)的輸入與輸出的關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式邏輯圖將邏輯函數(shù)式中各變量之間的與、或、非等關系用相應的邏輯符號表示出來波形圖輸入端在不同邏輯信號作用下所對應的輸出信號的波形圖，表示電路邏輯關系卡諾圖下次講解2009－09－1133中國科學技術大學快電子劉樹彬

從工程實際出發(fā)：提出邏輯命題

邏輯語言用真值表描述

真值表導出邏輯函數(shù)

邏輯函數(shù)怎樣對實際的工程問題進行描述？2009－09－1134中國科學技術大學快電子劉樹彬

樓梯照明控制電路L=AB+AB邏輯命題利用兩個單刀雙擲開關A,B控制樓梯電燈邏輯變量A,B─“1”：開關向上；“0”：開關向下；L─A,B的函數(shù)開關A、B均扳向上或均向下，燈亮，邏輯1；否則燈滅，邏輯0真值表2009－09－1135中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯函數(shù)表示方法之間的相互轉換真值表→邏輯表達式真值表中每一組使函數(shù)值為1的輸入變量取值都對應一個乘積項在這些乘積項中，若對應的變量取值為1，則寫成原變量；若對應的變量取值為0，則寫成反變量將這些乘積項相加，就得到了邏輯表達式稱為：“與─或”表達式，或者為：“積之和”表達式表達式→邏輯圖L=AB+AB2009－09－1136邏輯函數(shù)表示方法之間的相互轉換將L=0對應的輸入變量以邏輯“或”的形式表示用原變量表示變量取值0，反變量表示變量取值1再將所有L=0的邏輯“或”的項進行邏輯“與”，因而有：稱為：“或─與”表達式，或者為：“和之積”表達式2009－09－1137中國科學技術大學快電子劉樹彬

波形圖表示方法L=AB+AB2009－09－1138中國科學技術大學快電子劉樹彬

第二章邏輯代數(shù)2.1邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法2.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法最小項的定義及其性質邏輯函數(shù)的最小項表達式用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2009－09－1139中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯函數(shù)表達式的書寫及基本運算法則先做括號內的邏輯運算對某變量取“非”，可以不加括號

例如：不必寫成：在表達式中，若即有“與”運算，又有“或”運算，則按先“與”后“或”的原則，省去括號 例如：可寫成：但則不能省括號

2009－09－1140中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式基本定律——加A+0=AA+1=1A+A=A（重疊律）A+A=1（互補律）基本定律——乘A?0=0A

?1=AA

?A=A（重疊律）A

?A=0（互補律）結合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)交換律A+B=B+AAB=BA分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)基本定律——非A=A（還原律）41邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式反演律（摩根定理）A?B

?C

?

?

?＝A+B+C+

?

?

?A+B+C+

?

?

?=A

?B

?C

?

?

?吸收率A+AB=AA+AB=A+BA(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC其他常用恒等式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC（兩乘積項相加時，若一項取反后是另一項的因子，則此因子多余，可消去）（若兩個乘積項中分別包含了A、A兩個因子，而這兩項的其余因子組成第三個乘積項時，則第三個乘積項可消去）邏輯代數(shù)無移項規(guī)則等初等代數(shù)運算規(guī)則！2009－09－1142中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明真值表例：摩根定理的證明2009－09－1143中國科學技術大學快電子劉樹彬

用其他更基本的定律證明吸收率：A+AB=A(1+B)=A·1＝AA+AB=(A+A)(A+B)——分配率A+BC=(A+B)(A+C) =A+B恒等式：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明2009－09－1144中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則代入規(guī)則在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立反演規(guī)則將邏輯函數(shù)L中的與換成或，或換成與；再將原變量變換為非變量；并將1換成0，0換成1；那么所得的邏輯函數(shù)式就是非函數(shù)L對偶規(guī)則把L中的與換成或，或換成與，1換成0，0換成1，那么就得到L的對偶式L’當某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立2009－09－1145中國科學技術大學快電子劉樹彬

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則——代入規(guī)則任意變量A僅有0和1兩種可能的狀態(tài)，無論0和1代入