基于不同目的的微分方程建模建模目的不同，處理方法不同1、預(yù)測(cè)：已知當(dāng)前情況，預(yù)測(cè)未來情況xt數(shù)值算法一般的常微分方程(組)數(shù)值算法比較完備；復(fù)雜一些的實(shí)際問題也比較容易解決。2、控制：已知當(dāng)前情況，采取哪些措施才能實(shí)現(xiàn)設(shè)定的目標(biāo)如何調(diào)整，使得方程存在滿足的解，而且使得最小或最大。高速列車的節(jié)能控制：如何在確保準(zhǔn)點(diǎn)達(dá)到的前提下，調(diào)整列車速度(牽引力)，使得能耗最低？3、穩(wěn)定性態(tài)：波動(dòng)穩(wěn)定下來之后會(huì)如何？時(shí)間充分長(zhǎng)會(huì)如何？事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系；投入一粒石子的池塘水面振幅變化規(guī)律。xmtx0x0xm/2

是已知的常數(shù)時(shí)，可以分析其幾何性態(tài)；當(dāng)變化時(shí)，方程或方程組的幾何性態(tài)會(huì)發(fā)生怎樣的變化？tx事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定時(shí)間這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值事物的某些特征9定義

稱微分方程或微分方程組

為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。一般的(常)微分方程或微分方程組可以寫成：若方程或方程組f(x)=0有解x0，稱點(diǎn)x0為微分方程或微分方程組的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。初值問題：10定量定性解有初等函數(shù)表達(dá)式數(shù)值解:計(jì)算機(jī)求解穩(wěn)定性·········初值問題：11一、用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3,絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.121、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-函數(shù)文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:13注意1：1、建立M文件函數(shù)

functionxdot=fun(t,x)

xdot=[f1(t,x(1),x(2))；

f2(t,x(1),x(2))]；2、數(shù)值計(jì)算（執(zhí)行以下命令）

[t,x,y]=ode23(‘fun',[t0,tf],[x0,y0])注意：執(zhí)行命令不能寫在M函數(shù)文件中。xd(1)=f1(t,x(t),y(t));xd(2)=f2(t,x(t),y(t));xdot=xd’;%列向量14例如：令注意2：functionxdot=fun1(t,x,y)（fun1.m)

xdot=[f(t,x(t),y(t))；x(t)]；[t,x,y]=ode23(‘fun1',[t0,tf],[x0,y0])M-文件函數(shù)形式y(tǒng)(t)是原方程的解。x(t)只是中間變量。如果方程形式為：z’’’=f(t,z,z’’)?15解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖例

二、緝私問題

海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛,緝私艇立即以最大速度b追趕,在雷達(dá)的引導(dǎo)下，緝私艇的方向始終指向走私船。問緝私艇何時(shí)追趕上走私船?并求出緝私艇追趕的路線。

xyco2.3建立模型

xcoy走私船初始位置在點(diǎn)(0,0)，行駛方向?yàn)閥軸正方向，緝私艇的初始位置在點(diǎn)(c,0)，緝私艇行駛的路程為s

。

在時(shí)刻t：緝私艇到達(dá)點(diǎn)

走私船的位置到達(dá)點(diǎn)2.4

模型求解

(1)

求解析解

令：，，1),當(dāng)x=0

時(shí)，

，c=3千米，a=0.4千米/分，分別取b=0.6,0.8,1.2千米/分時(shí)，緝私艇追趕路線的圖形。

追趕時(shí)間分別為：t=9，5，2.8125（分鐘）

2)當(dāng)時(shí)，，緝私艇不可能追趕上走私船。3），，當(dāng)時(shí)，，緝私艇不可能追趕上走私船。（3）用MATLAB軟件求數(shù)值解c=3，a=0.4，b=0.8，

程序zjet.mfunctionu=zjwt(t,y)u=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5)

執(zhí)行下面的命令：ode23(‘zjwt',[3,0.0005],0)

若想看圖中點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令：[t,y]=ode23(‘zjwt',[3,0.0005],0)

plot(t,y)此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.00050000000000，1.96013657712118）

執(zhí)行下面的命令:ode45(‘zjwt',[3,0.0005],0)

若想看圖中點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令：[t,y]=ode45(‘zjwt',[3,0.0005],0)

plot(t,y)此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.0005，1.9675）

22三、人口模型1.問題的提出2.假設(shè)和定義3.模型的建立4.分析和求解5.結(jié)論和討論231.問題的提出

人口問題是當(dāng)今世界上最令人關(guān)注的問題之一，一些發(fā)展中國(guó)家的人口出生率過高，越來越威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達(dá)國(guó)家的自然增長(zhǎng)率趨于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，造成勞動(dòng)力緊缺，也是不容忽視的問題。另外，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的推動(dòng)下，世界人口以空前的規(guī)模增長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：年1625183019301960197419871999人口（億）510203040506024

我國(guó)是世界第一人口大國(guó)，地球上每九個(gè)人中就有二個(gè)中國(guó)人，在20世紀(jì)的一段時(shí)間內(nèi)我國(guó)人口的增長(zhǎng)速度過快，如下表：年1908193319531964198219902000人口（億）3.04.76.07.210.311.312.95

認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型：

Malthus模型、Logistic模型252.模型1(Malthus模型)

18世紀(jì)末，英國(guó)人Malthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率減去死亡率為凈增長(zhǎng)率）是常數(shù)。2627282930r=0.2743/10年，xm=4.188數(shù)據(jù)擬合：r=0.2022/10年，xm=6.045031指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性：

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)32

分析表明，以上這些現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增長(zhǎng)，自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來越顯著。人口較少時(shí)，人口的自然增長(zhǎng)率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口的增加而減少。因此，我們將對(duì)指數(shù)模型關(guān)于凈相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù)的基本假設(shè)進(jìn)行修改。2.5模型修改33343523637dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢xm/2這個(gè)模型稱為阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)：Logistic曲線38參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.139r=0.2557,xm=392.140模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.03.06188億（2009年，世界國(guó)家和地區(qū)第3名，次于中國(guó)、印度）人口密度31人/平方公里（世界國(guó)家和地區(qū)第177名）。41四、傳染病模型問題：

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型42

已感染人數(shù)(infective)i(t)

每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)：若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模：?43模型2區(qū)分已感染者(infective)和未感染者(susceptible)假設(shè)：1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模：~日接觸率SI模型44模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大衛(wèi)生水平45模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)：SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模：~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。46模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt

<047模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者(Removed)SIR模型假設(shè)：1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模：需建立的兩個(gè)方程對(duì)移出者48模型4SIR模型無法求出的解析解數(shù)值解函數(shù)ill，表示模型IVfunctiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';主程序：ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)%調(diào)用ode45求解'ill'方程組plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,%畫出健康者和病人的變化曲線figure,plot(x(:,2),x(:,1)),grid%畫出相圖50五、捕食系統(tǒng)的Volterra方程

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加.51

他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問題。年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.752Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立

大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（