第四章特征值和特征向量、矩陣

的相似對(duì)角化工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析問(wèn)題，如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型，?？蓺w結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量.特征值和特征向量是矩陣的兩個(gè)重要概念.另外，將矩陣化為簡(jiǎn)單形式是線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，本章介紹將方陣相似化為對(duì)角陣.本章重點(diǎn)：特征值和特征向量(定義、求法、性質(zhì))相似的定義和性質(zhì)方陣相似化為對(duì)角陣的條件和方法實(shí)對(duì)稱矩陣關(guān)于特征值和特征向量的基本性質(zhì)1§4.1特征值和特征向量設(shè)是一個(gè)n元列非零向量，A為n階矩陣，問(wèn)題：向量是否會(huì)線性相關(guān)？換一個(gè)角度問(wèn)：能否找到一個(gè)數(shù)，使得與相等？一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性質(zhì)2一、特征值和特征向量的概念Def4.1

設(shè)A為n階方陣，若有數(shù)和n元非零列向量，使得成立，則稱數(shù)是方陣A的特征值，稱向量為方陣A的屬于(或?qū)?yīng)于)特征值的特征向量.特征向量是非零的向量.特征值與特征向量是互相對(duì)應(yīng)的，數(shù)是特征值就一定有非零向量與它對(duì)應(yīng)；反之，非零向量是特征向量就一定有一個(gè)數(shù)與它對(duì)應(yīng).一個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)特征值.一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量有無(wú)窮多個(gè),因此我們關(guān)心線性無(wú)關(guān)的特征向量.3二、特征值和特征向量的求法是齊次線性方程組的解.如果是A的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，則方程組有非零解，因此Def4.2

設(shè)n階方陣令則稱為方陣A的特征多項(xiàng)式；令則稱上述等式為方陣A的特征方程；線性方程組則稱為A的特征方程組.4矩陣A的特征值是特征方程的根,或者說(shuō)，矩陣A的特征值是矩陣A的特征多項(xiàng)式的根.的非零解；設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值，則矩陣A的屬于特征值的特征向量是齊次方程矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量就是齊次方程組的基礎(chǔ)解系.5求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟：(1)求出n階方陣A的特征多項(xiàng)式(2)求出特征方程的根，即是A的特征值；(3)對(duì)于每個(gè)特征值，求齊次方程的基礎(chǔ)解系，即是A的屬于的線性無(wú)關(guān)特特征向量,基礎(chǔ)解系的線性組合(零向量除外)就是A的屬于的全部特征向量.6例1.1求矩陣的特征值和特征向量.解:

這是一道非常簡(jiǎn)單的求特征值和特征向量的題目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步驟.A的特征多項(xiàng)式所以A的特征值為7當(dāng)時(shí)，解齊次方程組，即得基礎(chǔ)解系即A的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A的屬于的全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解齊次方程組，即得基礎(chǔ)解系即A的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A的屬于的全部特征向量為8例1.2求矩陣的特征值和特征向量.解:A的特征多項(xiàng)式所以A的特征值為當(dāng)時(shí)，解齊次方程，9得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為10例1.3求矩陣的特征值和特征向量.解:A的特征多項(xiàng)式所以A的特征值為當(dāng)時(shí)，解齊次方程，(教材P115，例3)11得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為多重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)有可能等于重?cái)?shù)，也有可能不等于重?cái)?shù).12三、特征值和特征向量的性質(zhì)1.

特征值的性質(zhì)Thm4.1

設(shè)A是n階方陣，則與A有相同的特征值.證:所以A與的特征多項(xiàng)式相同，故A與的特征值相同.Thm4.2

設(shè)n階矩陣的n個(gè)特征值為則(1)其中是A的主對(duì)角元之和，稱為方陣A的跡，記作tr(A);(2)13證:因?yàn)槭茿的n個(gè)特征向量，則有另外令，即得的根為，所以比較兩端的的系數(shù)，可得14推論4.1

n階方陣A可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.Thm4.3

設(shè)是方陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則(1)是kA的特征值(k是任意常數(shù));(2)是的特征值(k是正整數(shù));(3)是矩陣的特征值(m是正整數(shù))；(4)當(dāng)A可逆時(shí)，是的特征值.且也是矩陣kA，，，的特征向量.15證：根據(jù)定義有(1)所以是kA的特征值，且也是kA屬于的特征向量.(2)所以是的特征值，且也是屬于的特征向量.(3)所以是的特征值，且也是屬于的特征向量.16(4)當(dāng)A可逆時(shí)，由推論得，所以是的特征值，且也是屬于的特征向量.17例1.4設(shè)3階矩陣A的特征值為求方陣A的行列式=A的全部特征值之積.因?yàn)榈奶卣髦禐?，全不?，所以A可逆，且則有故的特征值為解：因此18例1.5設(shè)3階方陣A的行列式，A有一個(gè)特征值為-2,則必有一個(gè)特征值為

，必有一個(gè)特征值為

，

.解：00192.特征向量的性質(zhì)Thm4.4

屬于不同的特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.證：設(shè)是方陣A的互異特征值，是分別屬于它們的特征向量，現(xiàn)在證明它們線性無(wú)關(guān).設(shè)有數(shù)，使左乘A，得再左乘A，得如此下去，20因?yàn)楹竺嬉粋€(gè)矩陣的行列式是范德蒙德行列式，當(dāng)不為零時(shí)，它可逆，因此因此一定有這就證明了是線性無(wú)關(guān)的.21Thm4.5

若是方陣A的不同的特征值，而是屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則向量組是線性無(wú)關(guān)的.22例1.6設(shè)和是方陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和，證明不是A的特征向量.證：若是A的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，則有從而有這與題意矛盾，因此不是A的特征向量.屬于不同特征值的特征向量的線性組合一般不是特征向量.23§4.2相似矩陣相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因?yàn)樽儞Q之后的矩陣與原矩陣有多不變量,也有很多應(yīng)用.左乘可逆矩陣PA，是對(duì)A施行初等行變換;右乘可逆矩陣AP，是對(duì)A施行初等列變換;在線性代數(shù)中,這樣的乘積,稱為對(duì)A施行相似變換.一、相似矩陣及其性質(zhì)二、方陣相似對(duì)角化三、方陣相似對(duì)角化的應(yīng)用24一、相似矩陣及其性質(zhì)Def4.3

設(shè)A和B都是n階方陣,若存在n階可逆矩陣P,使得成立，則稱B是A的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似,乘積稱為對(duì)A施行相似變換，P稱為相似變換矩陣.25相似是方陣之間的一種關(guān)系，也是一種等價(jià)關(guān)系：(1)反身性

A與A相似；(2)對(duì)稱性若A與B相似，則B與A也相似；(3)傳遞性若A與B相似，B與C相似，則A與C相似.26相似的矩陣具有一些共性，也稱為相似不變性：Thm4.6

若n階方陣A和B相似，則(1)R(A)=R(B)；(2)A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；(3)27若A與B相似，則tE-A與tE-B也相似.若A與對(duì)角陣(三角陣)相似，則對(duì)角陣(三角陣)的對(duì)角元是A的全部特征值.28例2.1設(shè)方陣與對(duì)角陣相似.試求之值.(教材P128，Ex.5)解：根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)知，5，-4是A的特征值，所以由第二個(gè)等式得x=4，又tr(A)=tr()，可得y=5.29二、方陣相似對(duì)角化方陣相似對(duì)角化：討論是否能尋找到可逆矩陣P，將A相似變換為對(duì)角陣.若A與對(duì)角陣相似，則稱方陣A可相似對(duì)角化.方陣可相似對(duì)角化的條件：這樣的A滿足什么條件？首先我們可知是A的特征值.30由此可知，是A的特征向量，而且線性無(wú)關(guān)(因?yàn)榫仃嘝可逆).31Thm4.7

n階方陣A與n階對(duì)角陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證：充分性：設(shè)是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,分別屬于特征值，則從證明過(guò)程可知，如果A可以相似對(duì)角化，由線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將A相似變換為對(duì)角陣.32推論4.2一個(gè)n階方陣A若有n個(gè)不同的特征值，則A一定可相似對(duì)角化.根據(jù)特征向量的性質(zhì)：“屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)”知,若A有n個(gè)不同的特征值，則A必有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A可以對(duì)角化.有重特征值的方陣A，有可能可對(duì)角化，也有可能不可對(duì)角化.方陣A能否對(duì)角化,關(guān)鍵在于屬于多重特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù).33Thm4.8

設(shè)為n階方陣A的r重特征值，則屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量最多只有r個(gè).證：設(shè)A有t個(gè)屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量我們可以尋找到另外n-t個(gè)向量使得向量組線性無(wú)關(guān)(這是一定能做到的).令則P是可逆矩陣，且有顯然，是后面一個(gè)矩陣的特征值，且重?cái)?shù)至少為t,由于相似矩陣的特征值相同，因此推導(dǎo)見下頁(yè)343536Thm4.9

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:A的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)等于該特征的重?cái)?shù).推論4.3

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:對(duì)于A的每個(gè)重特征值，屬于特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.結(jié)論01

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:對(duì)于A的每個(gè)重特征值，矩陣的秩為37例2.2設(shè),問(wèn)x為何值時(shí),矩陣A可相似對(duì)角化.(教材P123,例1)解：顯然-1是A的單特征值，1是A的二重特征值.對(duì)于特征值-1，一定有即有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量屬于-1.對(duì)于特征值1，由于所以只有當(dāng)x=0時(shí)，才有這時(shí)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量屬于1；由以上討論知，當(dāng)x=0時(shí)，方陣A可相似對(duì)角化.38方陣相似對(duì)角化的步驟：(依據(jù)Thm4.7的充分性證明)(1)求方陣A的特征值；(2)對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值,求屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,并判斷線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是否等于的重?cái)?shù)；(3)若在(2)中求得的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于A的階數(shù)，記線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣為P；(4)寫出對(duì)角陣，注意，P的第j列是屬于的第j個(gè)對(duì)角元的特征向量.39例2.3設(shè)，求一個(gè)可逆矩陣P，使得為對(duì)角陣.(教材P124，例2)解：所以A的特征值為對(duì)應(yīng)于特征值2，求(2E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于2的線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)應(yīng)于特征值1，求(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于1的線性無(wú)關(guān)的特征向量記則有40§4.2相似矩陣(續(xù))相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因?yàn)樽儞Q之后的矩陣與原矩陣有多不變量,也有很多應(yīng)用.左乘可逆矩陣PA，是對(duì)A施行初等行變換;右乘可逆矩陣AP，是對(duì)A施行初等列變換;在線性代數(shù)中,這樣的乘積,稱為對(duì)A施行相似變換.一、相似矩陣及其性質(zhì)二、方陣相似對(duì)角化三、方陣相似對(duì)角化的應(yīng)用41二、方陣相似對(duì)角化方陣相似對(duì)角化：討論是否能尋找到可逆矩陣P，將A相似變換為對(duì)角陣.若A與對(duì)角陣相似，則稱方陣A可相似對(duì)角化.方陣可相似對(duì)角化的條件：這樣的A滿足什么條件？首先我們可知是A的特征值.42由此可知，是A的特征向量，而且線性無(wú)關(guān)(因?yàn)榫仃嘝可逆).43Thm4.7

n階方陣A與n階對(duì)角陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證：充分性：設(shè)是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,分別屬于特征值，則從證明過(guò)程可知，如果A可以相似對(duì)角化，由線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將A相似變換為對(duì)角陣.44推論4.2一個(gè)n階方陣A若有n個(gè)不同的特征值，則A一定可相似對(duì)角化.根據(jù)特征向量的性質(zhì)：“屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)”知,若A有n個(gè)不同的特征值，則A必有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A可以對(duì)角化.有重特征值的方陣A，有可能可對(duì)角化，也有可能不可對(duì)角化.方陣A能否對(duì)角化,關(guān)鍵在于屬于多重特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù).45Thm4.8

設(shè)為n階方陣A的r重特征值，則屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量最多只有r個(gè).證：設(shè)A有t個(gè)屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量我們可以尋找到另外n-t個(gè)向量使得向量組線性無(wú)關(guān)(這是一定能做到的).令則P是可逆矩陣，且有顯然，是后面一個(gè)矩陣的特征值，且重?cái)?shù)至少為t,由于相似矩陣的特征值相同，因此推導(dǎo)見下頁(yè)464748Thm4.9

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:A的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)等于該特征的重?cái)?shù).推論4.3

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:對(duì)于A的每個(gè)重特征值，屬于特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.結(jié)論01

n階方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是:對(duì)于A的每個(gè)重特征值，矩陣的秩為49例2.2設(shè),問(wèn)x為何值時(shí),矩陣A可相似對(duì)角化.(教材P123,例1)解：顯然-1是A的單特征值，1是A的二重特征值.對(duì)于特征值-1，一定有即有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量屬于-1.對(duì)于特征值1，由于所以只有當(dāng)x=0時(shí)，才有這時(shí)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量屬于1；由以上討論知，當(dāng)x=0時(shí)，方陣A可相似對(duì)角化.50方陣相似對(duì)角化的步驟：(依據(jù)Thm4.7的充分性證明)(1)求方陣A的特征值；(2)對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值,求屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,并判斷線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是否等于的重?cái)?shù)；(3)若在(2)中求得的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于A的階數(shù)，記線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣為P；(4)寫出對(duì)角陣，注意，P的第j列是屬于的第j個(gè)對(duì)角元的特征向量.51例2.3設(shè)，求一個(gè)可逆矩陣P，使得為對(duì)角陣.(教材P124，例2)解：所以A的特征值為對(duì)應(yīng)于特征值2，求(2E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于2的線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)應(yīng)于特征值1，求(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于1的線性無(wú)關(guān)的特征向量記則有52三、方陣相似對(duì)角化的應(yīng)用例2.4設(shè)，求(例2.3續(xù))解：53例2.5(人口流動(dòng)問(wèn)題)設(shè)某國(guó)人口流動(dòng)狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是每年有十分之一的城市人口流向農(nóng)村，十分之二的農(nóng)村人口流向城市，假定人口總數(shù)不變，那么經(jīng)過(guò)多少年后，全國(guó)人口將會(huì)集中在城市？(教材P125，例3)解：設(shè)最初城市和農(nóng)村人口分別為，第m年末城市和農(nóng)村人口分別為，則依此推得記下面將A相似對(duì)角化，A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為54它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別是令得因而有于是可得因此55顯然當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，城市與農(nóng)村人口之比為，趨于穩(wěn)定的分布狀態(tài).56§4.3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化對(duì)稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題：將證明對(duì)稱矩陣一定可以相似合同對(duì)角化.乘積稱為對(duì)A施行合同變換.一、向量的內(nèi)積和向量的正交化二、正交矩陣與正交變換三、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)四、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化57一、向量的內(nèi)積和向量的正交化n元實(shí)向量的內(nèi)積Def4.4

兩個(gè)n元實(shí)向量記實(shí)數(shù)則稱為與內(nèi)積.根據(jù)內(nèi)積的定義和矩陣乘法的定義有58內(nèi)積的基本性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(5)(6)59向量的長(zhǎng)度Def4.5

設(shè)，記則稱為n元實(shí)向量的長(zhǎng)度(或模).60Thm4.10

任意兩個(gè)n元實(shí)向量，恒有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān).(柯西不等式)向量的長(zhǎng)度，具有下述性質(zhì):(1)非負(fù)性(2)齊次性(3)三角不等式長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.是單位向量，這一過(guò)程稱為將向量單位化(或標(biāo)準(zhǔn)化)61正交向量Def4.6

設(shè)兩個(gè)n元實(shí)非零向量，記稱為的夾角.Def4.7

設(shè)是兩個(gè)n元實(shí)向量，若，則稱與正交(或互相垂直)，記作.顯然，零向量與任何向量都正交,兩個(gè)非零向量正交當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)非零向量夾角為62Def4.8

一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組.由單位向量構(gòu)成的正交向量組叫做正交的單位向量組(或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組、規(guī)范正交向量組).是規(guī)范正交向量組Thm4.11

n元向量組是兩兩正交非零向量組，則必線性無(wú)關(guān).63證:設(shè)有數(shù)，使得用左乘上式，得因?yàn)樗员赜型砜赏浦赜泄视纱丝芍€性無(wú)關(guān).64現(xiàn)在提出兩個(gè)問(wèn)題：對(duì)于給定的正交向量組，能否擴(kuò)充向量，使得它變成一個(gè)含有更多向量的正交向量組?對(duì)于給定的線性無(wú)關(guān)的向量組，能否找到一個(gè)與它等價(jià)的正交向量組？65例3.1已知三元向量試求一個(gè)非零向量，使得成為正交向量組.解:容易驗(yàn)證與正交，因此只要求出的與都正交即可.是方程組的非零解.記解方程組由于得方程組AX=0的一個(gè)非零解取則就是正交向量組.66施密特(Schimidt)正交化方法Thm4.12

設(shè)是一個(gè)n元線性無(wú)關(guān)向量組，令得是一個(gè)正交向量組，且與原向量組等價(jià)；再將它們單位化即可得原向量組等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.6768例3.2用施密特正交化方法將如下向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.解:顯然線性無(wú)關(guān)，先將它們正交化，令69再將單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：70二、正交矩陣與正交變換Def4.9

設(shè)有n階實(shí)矩陣A，如果，則稱A為正交矩陣.Thm4.13

設(shè)A,B為n階正交矩陣，則(1)(2)(3)也是n階正交矩陣.Thm4.14

方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的列(或行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)向量組.71例如矩陣可以驗(yàn)證A是正交陣.顯然可以看出，A的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，A的行向量組也是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.72Def4.10

設(shè)U為正交陣，則線性變換稱為正交變換.正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變.這是因?yàn)?3§4.3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化對(duì)稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題：將證明對(duì)稱矩陣一定可以相似合同對(duì)角化.乘積稱為對(duì)A施行合同變換.一、向量的內(nèi)積和向量的正交化二、正交矩陣與正交變換三、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)四、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化74三、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)Thm4.15

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證：設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，是A的特征值，是A的屬于的特征向量.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量可以取為實(shí)向量.75Thm4.16

實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.證：設(shè)是A的兩個(gè)不同的特征值，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別是76Thm4.17

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，是A的r重特征值，則A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量恰有r個(gè).(矩陣的秩為).此結(jié)論對(duì)于非實(shí)對(duì)稱矩陣不一定成立.77四、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化Thm4.18

對(duì)于任意一個(gè)n