自動(dòng)控制理論

第五章頻率分析法宋瀟瀟西華大學(xué)電氣與電子信息學(xué)院目錄5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖的繪制5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.5開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系5.6系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性頻域分析法:是一種圖解分析方法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻率特性，對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。頻域分析法的特點(diǎn):1.可以根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性去判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性能。2.能較方便地分析系統(tǒng)中參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。5.1頻率特性5.1.1頻率響應(yīng)在正弦輸入信號(hào)作用下，線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系稱(chēng)為頻率特性。根據(jù)微分方程解的理論，若輸入信號(hào)為：則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也為同一頻率的正弦信號(hào)，但幅值和相位發(fā)生了變化：設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為：而正弦輸入信號(hào)的拉氏變換為：則輸出信號(hào)的拉氏變換為：兩邊取反拉氏變換得：對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)t+時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為即：其中因此其穩(wěn)態(tài)輸出表明，線(xiàn)性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量是與輸入正弦信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，與輸入正弦信號(hào)的幅值之比為|G(j)|，相角之差為∠G(j)，均與G(j)有關(guān)。5.1.2頻率特性通常定義為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了線(xiàn)性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系。A()=|G(j)|系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的幅值之比，稱(chēng)為系統(tǒng)的幅頻特性，反映了系統(tǒng)對(duì)于不同頻率正弦輸入信號(hào)的幅值變化特性。()=∠G(j)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的相角之差，稱(chēng)為系統(tǒng)的相頻特性，表示系統(tǒng)輸出對(duì)于不同頻率正弦輸入信號(hào)的相位變化特性因?yàn)轭l率特性G(j)為復(fù)數(shù)，所以它還可以用如下的形式來(lái)表示，即式中，Re()為頻率特性G(j)的實(shí)部，它是頻率的函數(shù)，稱(chēng)為系統(tǒng)的實(shí)頻特性；Im()為頻率特性G(j)的虛部，它也是頻率的函數(shù)，稱(chēng)為系統(tǒng)的虛頻特性。顯然，頻率特性的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示形式的相互關(guān)系為5.1.3頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系通過(guò)上述推導(dǎo)過(guò)程，可以看出系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為由于這種簡(jiǎn)單關(guān)系的存在，利用頻率特性的頻率分析法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域分析法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，因此在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí)，其作用也是類(lèi)似的。但頻率分析法有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。因?yàn)樵撌讲粌H可以獲得穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性，而且也可獲得不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性還可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法獲得，這對(duì)于那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知以及難以用分析的方法列出動(dòng)態(tài)方程的系統(tǒng)尤為重要。頻率特性雖然是一種穩(wěn)態(tài)特性，但它卻不僅能夠反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且還可以用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)。5.1.4頻率特性的表示方法極坐標(biāo)圖幅相頻率特性(Nyquist)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)頻率對(duì)數(shù)分度幅值/相角線(xiàn)性分度對(duì)數(shù)幅相圖對(duì)數(shù)幅相頻率特性(Nichols)以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系：L()—()圖(1)幅相頻率特性（奈氏圖）奈氏圖，又稱(chēng)為幅相頻率特性曲線(xiàn)。它是當(dāng)頻率從0變化時(shí)，G(j)在極坐標(biāo)復(fù)平面上的幅值A(chǔ)()=|G(j)|與相角()=∠G(j)的關(guān)系曲線(xiàn)。幅頻特性為的偶函數(shù)，相頻特性為的奇函數(shù)，則從0+和從0-的幅相頻率特性曲線(xiàn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，因此只繪制從0+的曲線(xiàn)。(2)對(duì)數(shù)頻率特性(伯德圖)伯德圖，又稱(chēng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)。對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)就是將頻率特性表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中。它由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性?xún)蓷l曲線(xiàn)組成。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)：對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)：(3)對(duì)數(shù)幅相頻率特性(尼克爾斯圖)尼克爾斯圖，又稱(chēng)為對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線(xiàn)。它以相位()為橫軸，為L(zhǎng)()=20lgA()縱坐標(biāo)，頻率為參變量的一種圖示法。對(duì)數(shù)幅相圖是在為參變量的情況下，將對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性?xún)蓮垐D合成一張圖?？v坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅值L()(dB)，橫坐標(biāo)為相應(yīng)的相角()()。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1典型環(huán)節(jié)幅相頻率特性（Nyquist圖）(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為幅頻和相頻特性分別為極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的一點(diǎn)(2)積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為其頻率特性為：幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)從0變化時(shí)，A()由0，相角()=-90(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)從0變化時(shí)，A()由0，()=90(4)一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻特性為相頻特性為實(shí)頻和虛頻特性分別為所以：當(dāng)頻率從0變化時(shí)，極坐標(biāo)圖如圖中的實(shí)線(xiàn)所示，為一半圓。(5)二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：在欠阻尼情況下當(dāng)從01/T變化時(shí)，A()由11/(2)0，()=0-90-180A()和()也隨著阻尼比改變而改變。由上圖可以看出，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性和阻尼比有關(guān)系，當(dāng)阻尼比大時(shí)，幅值A(chǔ)()變化??；阻尼比小時(shí)，A()變化大。此外對(duì)于任意一個(gè)阻尼比都存在一個(gè)最大幅值Mr，稱(chēng)為諧振峰值，其對(duì)應(yīng)的頻率r稱(chēng)為諧振頻率。當(dāng)阻尼比大于1時(shí)，幅相頻率特性近似為一個(gè)半圓。當(dāng)阻尼比足夠大時(shí)，數(shù)值大的特征根對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響很小，因此，此時(shí)的二階振蕩環(huán)節(jié)可近似為一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。(6)延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當(dāng)頻率從0變化時(shí)，A()=1，相角()由0-。問(wèn)題&思考通過(guò)奈奎斯特圖分析，上述典型環(huán)節(jié)中哪些表現(xiàn)出低通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出高通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出帶通濾波器的特性？5.2.2典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）頻率特性對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是將開(kāi)環(huán)幅相頻率特性G(j)H(j)寫(xiě)成其中，A()為幅頻特性，()為相頻特性。將幅頻特性A()取以10為底的對(duì)數(shù)，并乘以20得L()，單位是分貝(dB)，即使用對(duì)數(shù)頻率特性表示法的優(yōu)點(diǎn)：1.在研究頻率范圍很寬的頻率特性時(shí)，縮小了比例尺，將頻率特性的低、中、高三種頻段都描述在了一張圖上；2.簡(jiǎn)化了繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。使用Bode圖表示頻率特性有如下特點(diǎn)：1.將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘除化為加減運(yùn)算；2.可采用近似方法計(jì)算；3.可分別作出各環(huán)節(jié)的Bode圖，再采用疊加的方式得出系統(tǒng)的Bode圖；4.由于橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，因此能夠?qū)⑤^寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來(lái)。下面介紹典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性。(1)比例環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻相頻特性為：當(dāng)從0+變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為一水平直線(xiàn)，相角()0(2)積分環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為當(dāng)從0變化時(shí)，每增大十倍，L()值下降20dB。L()是斜率為–20dB/dec的直線(xiàn)；相角()=-90。(3)微分環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為當(dāng)從0變化時(shí)，每增大十倍，L()值增大20dB，L()是斜率為20dB/dec的直線(xiàn)，()=90。(4)一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為當(dāng)從0變化時(shí)，根據(jù)以上兩式可得慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的精確曲線(xiàn)，但這樣十分麻煩?？捎脻u近線(xiàn)的方法先畫(huà)出曲線(xiàn)的大致圖形，再加以精細(xì)化。1)當(dāng)頻率<<1/T時(shí)2)當(dāng)頻率>>1/T時(shí)低頻段的漸近線(xiàn)是一條0分貝的水平線(xiàn)，高頻段的漸近線(xiàn)是斜率為-20(dB/dec)且與軸交于T=1/T點(diǎn)的直線(xiàn)。交點(diǎn)處的頻率T=1/T，稱(chēng)為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。在轉(zhuǎn)折頻率=1/T處精確曲線(xiàn)L()與漸近線(xiàn)的誤差最大，為：在頻率=1/(2T)處精確曲線(xiàn)L()與漸近線(xiàn)的誤差為在頻率=2/T處精確曲線(xiàn)L()與漸近線(xiàn)的誤差為可見(jiàn)，離轉(zhuǎn)折頻率越遠(yuǎn)誤差越小，慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線(xiàn)如下圖。當(dāng)頻率從01/T變化時(shí)，相角()=0-45

-90(5)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為一階比例微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的的函數(shù)關(guān)系只是符號(hào)相反。兩者的對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)形狀相同，只是對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)稱(chēng)于橫坐標(biāo)軸0dB線(xiàn)，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)稱(chēng)于0線(xiàn)(6)二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為當(dāng)從0變化，可根據(jù)上兩式求得精確曲線(xiàn)，但麻煩?？上壤L制漸近線(xiàn)，再在轉(zhuǎn)折頻率附近對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行誤差修正，便可得到精確曲線(xiàn)。1)當(dāng)頻率<<1/T時(shí)，可得低頻段漸近線(xiàn)為2)當(dāng)頻率>>1/T時(shí)，可得高頻段漸近線(xiàn)為低頻段的漸近線(xiàn)是一條0分貝的水平線(xiàn)，高頻段的漸近線(xiàn)是一條斜率為-40(dB/dec)且與軸交于=1/T點(diǎn)的直線(xiàn)。高、低頻段漸近線(xiàn)交點(diǎn)處的頻率=1/T=n稱(chēng)為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。在轉(zhuǎn)折頻率=1/T附近，利用誤差曲線(xiàn)對(duì)漸近線(xiàn)進(jìn)行修正便可得到精確曲線(xiàn)L()；當(dāng)從01/T

變化時(shí)()=0-90

-180在轉(zhuǎn)折頻率=1/T處精確曲線(xiàn)L()與漸近線(xiàn)的誤差最大，誤差也隨著阻尼比改變而改變，離轉(zhuǎn)折頻率越遠(yuǎn)誤差越小，如下圖所示。(7)延遲環(huán)節(jié)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性分別為當(dāng)頻率從0變化時(shí)，L()=0,相角()由0-問(wèn)題&思考通過(guò)伯德圖分析，上述典型環(huán)節(jié)中哪些表現(xiàn)出低通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出高通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出帶通濾波器的特性？問(wèn)題&思考分析奈奎斯特圖和伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系。5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖的繪制采用頻率分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，可以用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，也可以根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性和已有的頻率特性曲線(xiàn)求得閉環(huán)頻率特性，在利用閉環(huán)頻率特性來(lái)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。下面分別介紹Nyquist和Bode圖的繪制方法。5.3.1Nyquist圖的繪制繪制Nyquist圖的概略圖形一般步驟如下：1)將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)中的s由j代替，求得開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)，由G(j)求出其實(shí)頻率特性、虛頻率特性和幅頻、相頻特性的表達(dá)式；2)求出若干特性點(diǎn)，如起點(diǎn)、終點(diǎn)與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)，并標(biāo)注在極坐標(biāo)圖上；3)根據(jù)實(shí)部、虛部等變化趨勢(shì)以及G(j)所處的象限，畫(huà)出Nyquist曲線(xiàn)的大致圖形。例5.1繪制如下開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖解：寫(xiě)出3個(gè)環(huán)節(jié)的頻率特性為：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅頻特性為開(kāi)環(huán)相頻特性為：通過(guò)描點(diǎn)法，將從0變化的點(diǎn)描繪出來(lái)，畫(huà)出Nyquist圖。根據(jù)第3章所述，根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v不同，控制系統(tǒng)可分為0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)等。下面分別給出0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖。(1)0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(dāng)(2)I型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖I型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(dāng)(3)II型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Nyquist圖II型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(dāng)(4)總結(jié)假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為便可求得開(kāi)環(huán)頻率特性1)奈奎斯特曲線(xiàn)的低頻段當(dāng)頻率0時(shí)①當(dāng)=0時(shí)，即0型系統(tǒng)所以0型系統(tǒng)，曲線(xiàn)起始于正實(shí)軸上的K點(diǎn)。②當(dāng)=1時(shí)，即I型系統(tǒng)所以I型系統(tǒng)，曲線(xiàn)起始于負(fù)虛軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。③當(dāng)=2時(shí)，即II型系統(tǒng)所以II型系統(tǒng)，曲線(xiàn)起始于負(fù)實(shí)軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。由于開(kāi)環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時(shí)間常數(shù)以及系統(tǒng)類(lèi)型有關(guān)，所以當(dāng)=1，2，3，4時(shí)，低頻段的奈奎斯特曲線(xiàn)如圖所示。2)奈奎斯特曲線(xiàn)的高頻段所以當(dāng)n>m時(shí)，奈奎斯特曲線(xiàn)以順時(shí)針?lè)较蚴諗坑谠c(diǎn)，(n-m)值決定與哪個(gè)坐標(biāo)軸相切。①當(dāng)n-m=1時(shí)，曲線(xiàn)將與負(fù)虛軸相切；②當(dāng)n-m=2時(shí)，曲線(xiàn)將與負(fù)實(shí)軸相切；③當(dāng)n-m=3時(shí)，曲線(xiàn)將與正虛軸相切；④當(dāng)n-m=4時(shí)，曲線(xiàn)將與正實(shí)軸相切。由于開(kāi)環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時(shí)間常數(shù)以及系統(tǒng)類(lèi)型有關(guān)，所以當(dāng)n-m=1，2，3，4時(shí)，高頻段的奈奎斯特曲線(xiàn)如圖所示。3)中頻段的奈奎斯特曲線(xiàn)假設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性為求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)令開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)H(j)的實(shí)部Re()和虛部Im()分別為零，便可得到開(kāi)環(huán)頻率特性與虛軸和實(shí)軸的所有交點(diǎn)。其中，實(shí)部等于零的解，是與虛軸的所有交點(diǎn)；虛部等于零的解，是與實(shí)軸的所有交點(diǎn)。問(wèn)題&思考已知某典型二階振蕩系統(tǒng)為繪制其奈奎斯特圖。根據(jù)奈奎斯特圖的低頻和高頻段特性，分析不同型號(hào)時(shí)伯德圖的低頻和高頻段特性。5.3.2Bode圖的繪制繪制對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線(xiàn)的步驟：1)將開(kāi)環(huán)頻率特性化成典型環(huán)節(jié)之積的形式：求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上。2)確定低頻段的漸近線(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為若因子

和因子

中的最小轉(zhuǎn)折頻率為

，則當(dāng)<<min時(shí)：即低頻段(<<min)的漸近線(xiàn)方程為當(dāng)=1時(shí)，有L()=20lgK當(dāng)L()=0時(shí)，有20lgK=20lg

，即所以低頻段的漸近線(xiàn)是斜率為-20(dB/dec)，且通過(guò)=1，L()=20lgK點(diǎn)(或與軸交于點(diǎn))的直線(xiàn)。它從低頻段開(kāi)始一直到最小轉(zhuǎn)折頻率處。系統(tǒng)低頻段的漸近線(xiàn)：0型系統(tǒng)是一條水平直線(xiàn)；I型系統(tǒng)是一條斜率為-20(dB/dec)的直線(xiàn)；II型系統(tǒng)是一條斜率為-40(dB/dec)的直線(xiàn)；依次類(lèi)推。3)L()從低頻段開(kāi)始向高頻段延伸時(shí)，每經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，漸近線(xiàn)斜率的改變量為該轉(zhuǎn)折頻率所屬典型環(huán)節(jié)的高頻漸近線(xiàn)斜率。4)在各轉(zhuǎn)折頻率附近對(duì)漸近線(xiàn)作合理修正，便可得到精確的L()曲線(xiàn)。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性的繪制，先分別畫(huà)出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，然后將各曲線(xiàn)進(jìn)行疊加。實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，可先寫(xiě)出總的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性表達(dá)式，然后每隔十倍頻程或倍頻程計(jì)算出一個(gè)點(diǎn)，最后用光滑曲線(xiàn)連接。（借助Nyquist圖畫(huà)對(duì)數(shù)相頻特性）例5.2作下述系統(tǒng)的Bode圖。其傳遞函數(shù)為解：將傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的頻率特性為：寫(xiě)出各階段的轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)根據(jù)書(shū)上的步驟，首先繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線(xiàn)，并對(duì)誤差進(jìn)行修正；然后將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性進(jìn)行疊加；最后得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性。對(duì)各環(huán)節(jié)的相頻特性進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性。例5.3繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。解：標(biāo)準(zhǔn)化傳遞函數(shù)后寫(xiě)出系統(tǒng)的頻率特性求出轉(zhuǎn)折頻率在處，在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率左邊作斜率為-20dB/dec的直線(xiàn)，在經(jīng)過(guò)第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率后斜率為-40dB/dec，直至第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率變?yōu)?20dB/dec，在經(jīng)過(guò)第三個(gè)轉(zhuǎn)折頻率后斜率再次變?yōu)?40dB/dec。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性為：?jiǎn)栴}&思考試?yán)L制系統(tǒng)的奈奎斯特圖和伯德圖。若在系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)一個(gè)純積分環(huán)節(jié)，上述兩圖會(huì)發(fā)生哪些變化？若在串聯(lián)一個(gè)慣性環(huán)節(jié)呢？5.3.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒(méi)有零、極點(diǎn)，則稱(chēng)為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)，例如：反之，稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)，例如：G1(s)和G2(s)的幅頻特性相同當(dāng)其相頻特性卻不一樣：當(dāng)=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于最小相位系統(tǒng)G1(s)來(lái)說(shuō)，相角變化了90；而非最小相位系統(tǒng)G2(s)相位則變化了270。可見(jiàn)，最小相位系統(tǒng)的相角變化為最小。對(duì)于G3(s)，則其相位變化為270，也是非最小相位系統(tǒng)的特性?？刂葡到y(tǒng)相位滯后越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.4.1奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理對(duì)于復(fù)變函數(shù)若在s平面上任意選擇一封閉的曲線(xiàn)，只要不經(jīng)過(guò)F(s)的極點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的F(s)平面上的曲線(xiàn)也是一條封閉的曲線(xiàn)。當(dāng)s按順時(shí)針?lè)较蜃兓艘恢?，F(xiàn)(s)將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)N周。若令：Z為包圍在s平面上封閉曲線(xiàn)內(nèi)F(s)的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍在s平面上封閉曲線(xiàn)內(nèi)F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則：N=Z-P5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(1)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（一）假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點(diǎn)和虛軸上沒(méi)有極點(diǎn)。則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為令則：其中si為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。為了使得系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)全部的根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部，即si均具有負(fù)實(shí)部。當(dāng)由-+變化時(shí)，若開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)H(j)順時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N等于G(s)H(s)在s平面的右半平面的極點(diǎn)P時(shí)，有N=-P，由N=Z-P知Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。其中Z為在s平面右半平面的零點(diǎn)數(shù)，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)H(j)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。理解：因?yàn)殚]環(huán)特征函數(shù)的頻率特性為閉環(huán)特征函數(shù)的頻率特性由單位1和G(j)H(j)組成，將[F]平面上的F(j)曲線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，便得[GH]平面上的G(j)H(j)曲線(xiàn)。這樣，[F]平面上的原點(diǎn)就對(duì)應(yīng)于[GH]平面上的(-1,j0)點(diǎn)。所以，F(xiàn)(j)曲線(xiàn)在[F]平面上順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)N，就對(duì)應(yīng)于G(j)H(j)曲線(xiàn)在[GH]平面上順時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N。例5.4設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線(xiàn)不包括(-1,j0)點(diǎn)，即N=0。而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為-0.5，-1，-2，都位于s平面左半部分，故P=0，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5.5設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線(xiàn)順時(shí)針包含(-1,j0)點(diǎn)兩次，即N=2。而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為-1，-2，-3，都位于s平面左半部分，故P=0，則Z=N+P=2。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5.6設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線(xiàn)逆時(shí)針包含(-1,j0)點(diǎn)兩次，即N=-2。而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)中有兩個(gè)位于s平面右半部分，故P=2，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)（二）當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)上有極點(diǎn)時(shí)，要對(duì)s平面上的Nyquist路徑進(jìn)行修正，使其不通過(guò)G(s)H(s)的極點(diǎn)。假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為若G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)有極點(diǎn)，為使s平面上的Nyquist路徑不通過(guò)原點(diǎn)，可對(duì)Nyquist路徑在原點(diǎn)附近進(jìn)行修正：以原點(diǎn)為圓心，做半徑為無(wú)窮小的右半圓弧，如圖

將此半圓弧作為Nyquist路徑的一部分，從而將原點(diǎn)歸入了左半s平面。

將Nyquist路徑在G(s)H(s)平面上的映射中，位于原點(diǎn)附近的小半圓可表示為從-900+90考慮

0，有映射為半徑為無(wú)窮大的圓弧，從+v90開(kāi)始，順時(shí)針經(jīng)0，結(jié)束于-v90。針對(duì)不同類(lèi)型的系統(tǒng)分別討論如下：1)I型系統(tǒng)對(duì)于I型系統(tǒng)，應(yīng)該補(bǔ)充半徑為的圓弧，從G(j)H(j)曲線(xiàn)上的點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虻竭_(dá)的點(diǎn)為止，相應(yīng)的復(fù)角從90到-90。2)II型系統(tǒng)對(duì)于II型系統(tǒng)，應(yīng)該補(bǔ)充半徑為的圓弧，從G(j)H(j)曲線(xiàn)上的點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虻竭_(dá)的點(diǎn)為止。對(duì)于s平面虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，在虛軸上的極點(diǎn)處作半徑為無(wú)窮小的右半圓，即在極點(diǎn)附近，取（

0，從-900+90），使Nyquist路徑不通過(guò)虛軸上的極點(diǎn)但仍包圍整個(gè)s右半平面，修改后的奈奎斯特判據(jù)仍可用。

修改后的Nyquist路徑在[GH]平面上的映射，一般稱(chēng)為增補(bǔ)的Nyquist曲線(xiàn)。例5.7設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線(xiàn)順時(shí)針包含(-1,j0)點(diǎn)兩次，即N=2。而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)中沒(méi)有位于s平面右半部分，故P=0，則Z=N+P=2。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5.8設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線(xiàn)不包含(-1,j0)點(diǎn)，即N=0。而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)中沒(méi)有位于s平面右半部分，故P=0，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(3)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)都在s平面左半部分的穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)于最小相位系統(tǒng)，即P=0，在畫(huà)奈奎斯特圖時(shí)，只需作出由0+的部分即可，不必再計(jì)算包圍(-1,j0)的次數(shù)。(4)系統(tǒng)具有延遲環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析對(duì)于具有延遲環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)包含有延遲環(huán)節(jié)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：可改寫(xiě)為：則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為：則系統(tǒng)的幅值和相角分別為：則相對(duì)于G(s)H(s)而言，幅值沒(méi)有變化，相角在其基礎(chǔ)之上轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。5.4.3頻域法分析系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性對(duì)于最小相位系統(tǒng)，若Nyquist曲線(xiàn)不包圍(-1，j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist曲線(xiàn)離(-1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，反之，穩(wěn)定程度越低。由此可見(jiàn)，奈氏圖不僅表明了系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還表明了穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，這就是所謂的相對(duì)穩(wěn)定性。由于(-1，j0)點(diǎn)可表示幅值為1，相角為-180的向量，即s=-1+j0，所以Nyquist曲線(xiàn)對(duì)(-1，j0)的靠近程度，即系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量可從幅值和相角兩個(gè)方面來(lái)考慮。一般用相位裕量和增益裕量Kg表示最小相位系統(tǒng)的Nyquist曲線(xiàn)對(duì)臨界穩(wěn)定邊界點(diǎn)(-1，j0)靠近程度的定量關(guān)系，它反應(yīng)了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。(1)相位裕量（PhaseMagin，簡(jiǎn)稱(chēng)PM）c處的相角G(jc)H(jc)與-180的相位差稱(chēng)為相位裕量或相角裕量，用表示，即c滿(mǎn)足設(shè)G(j)H(j)曲線(xiàn)，在極坐標(biāo)圖中與單位圓交于C點(diǎn)，C點(diǎn)處的頻率c稱(chēng)為增益穿越頻率(也稱(chēng)剪切頻率)。如圖：相位裕量表示在增益穿越頻率c處，G(jc)H(jc)與-180的接近程度。當(dāng)>0時(shí)，表示相位裕量是正的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；<0時(shí)，表示相位裕量是負(fù)的，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時(shí)，表示相位裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定。(2)增益裕量（GainMargin，簡(jiǎn)稱(chēng)GM）設(shè)G(j)H(j)在極坐標(biāo)圖中與負(fù)實(shí)軸相交于G點(diǎn)，G點(diǎn)處的頻率g稱(chēng)為相位穿越頻率。如圖|G(jg)H(jg)|的倒數(shù)稱(chēng)為增益裕量或幅值裕量，用Kg表示。當(dāng)Kg>1時(shí)，表示增益裕量大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg<1時(shí)，表示增益裕量小于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kg=1時(shí)，表示增益裕量等于1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。問(wèn)題&思考通過(guò)奈奎斯特圖中相對(duì)穩(wěn)定性的判據(jù)，分析在伯德圖上如何根據(jù)曲線(xiàn)得到最小相位系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（相位裕量和增益裕量）？5.5開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系5.5.1開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與閉環(huán)穩(wěn)定性的關(guān)系(1)用伯德圖確定穩(wěn)定裕量c在Bode圖中對(duì)應(yīng)零分貝的點(diǎn)，即L()與軸的交點(diǎn)。g在Bode圖中對(duì)應(yīng)相角為-180的點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)與-180水平直線(xiàn)的交點(diǎn)。在Bode圖中，相位裕量和增益裕量的定義仍同上，但增益裕量通常以分貝數(shù)來(lái)表示，即對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，增益裕量為正，如圖G1(j)H1(j)所示；不穩(wěn)定的系統(tǒng)，如圖G2(j)H2(j)所示；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，如圖G3(j)H3(j)所示：增益裕量反映系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，相位裕量反映理論上只改變開(kāi)環(huán)頻率特性的那些參數(shù)的變化對(duì)穩(wěn)定性的影響。因此增益裕量大的系統(tǒng)其相位裕量不一定大。所以一般需同時(shí)利用增益裕量和相位裕量?jī)煞N性能指標(biāo)來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般相位裕量應(yīng)當(dāng)在3060之間，而增益裕量Kg應(yīng)大于2或6dB，因20lg2=6dB。(2)伯德定理介紹閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在Bode圖上，當(dāng)由0變?yōu)?時(shí)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180線(xiàn)正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半面的極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，P=0，此時(shí)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先交與橫軸，即c<g時(shí)，一定存在>0和Kg>1，所以系統(tǒng)必然穩(wěn)定。當(dāng)c>g時(shí)，一定存在<0和Kg<1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)c=g時(shí)，一定滿(mǎn)足=0和Kg=1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。此條件為開(kāi)環(huán)最小相位系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。對(duì)于多個(gè)剪切頻率的問(wèn)題，則取最大的剪切頻率進(jìn)行分析。5.5.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系(1)0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻特性為：其對(duì)數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條高度為平行于軸的直線(xiàn)；在高頻段為一條斜率為的直線(xiàn)。兩條漸近線(xiàn)的轉(zhuǎn)折頻率若已知低頻段的高度，則可求出位置誤差系數(shù)，以求出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。(2)I型系統(tǒng)I型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻特性為：其對(duì)數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條斜率為的直線(xiàn)；在高頻段為一條斜率為的直線(xiàn)。兩條漸近線(xiàn)的轉(zhuǎn)折頻率漸近線(xiàn)（延長(zhǎng)線(xiàn)）與0dB線(xiàn)的交點(diǎn)為=Kv；=1處，幅值為20lgKv，都可求出穩(wěn)態(tài)誤差。(3)II型系統(tǒng)II型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻特性為：其對(duì)數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條斜率為的直線(xiàn)；在高頻段為一條斜率為的直線(xiàn)。兩條漸近線(xiàn)的轉(zhuǎn)折頻率漸近線(xiàn)（延長(zhǎng)線(xiàn)）與0dB線(xiàn)的交點(diǎn)為；=1處，幅值為，都可求出穩(wěn)態(tài)誤差。5.5.3開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與系統(tǒng)時(shí)域性能之間的關(guān)系(1)伯德圖的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)中頻段（剪切頻率附近的頻段）與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系設(shè)一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為：畫(huà)出伯德圖以及變化情況如圖。對(duì)于典型二階振蕩系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)頻率特性則，開(kāi)環(huán)幅頻特性為開(kāi)環(huán)相頻特性為令M()=1，可得幅值剪切頻率c為可得系統(tǒng)的相位裕量為由此可見(jiàn)，c是無(wú)阻尼自然振蕩頻率n和阻尼比的函數(shù)；而γ僅是的函數(shù)，且成正比關(guān)系。當(dāng)0<

≤0.7時(shí)，可近似為如下線(xiàn)性關(guān)系(2)頻域性能指標(biāo)——相位裕量γ與是與性能指標(biāo)——超調(diào)量Mp和調(diào)整時(shí)間ts的定量關(guān)系1)相位裕量γ與超調(diào)量Mp之間的關(guān)系Mp也是的單值函數(shù)。由此可見(jiàn)，Mp與γ之間也有單值關(guān)系。且γ越小，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的Mp便越大，隨之對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性也就越差。因此，可用γ來(lái)表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的相對(duì)穩(wěn)定性。2)相位裕量γ與調(diào)整時(shí)間ts之間的定量關(guān)系對(duì)于二階振蕩系統(tǒng)，調(diào)整時(shí)間ts為：將γ和c代入ts得由此可見(jiàn)，ts隨γ的增加而單調(diào)下降。如果γ不變，則ts與c成反比。即c越大，ts越短，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性就越好。因此，c表征了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性。(3