七下平行線(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系壓軸題一．填空題〔共13小題〕1．點(diǎn)M〔3，2〕與點(diǎn)N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線(xiàn)上，且點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為5，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，1〕，將線(xiàn)段AB平移，使其一個(gè)端點(diǎn)到C〔3，2〕，那么平移后另一端點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．如圖的坐標(biāo)平面上有一正五邊形ABCDE，其中C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔1，0〕、〔2，0〕．假設(shè)在沒(méi)有滑動(dòng)的情況下，將此五邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，那么轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔75，0〕的是〔填A(yù)、B、C、D或E〕．4．如圖，彈性小球從點(diǎn)P〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為2，，第n次P碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，那么點(diǎn)P3的坐標(biāo)是；點(diǎn)P2021的坐標(biāo)

是．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，AB=5.對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次獲得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐標(biāo)為．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2021個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其序次按圖中“→〞8．如圖，將邊長(zhǎng)為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2021次，依方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，次獲得點(diǎn)P1，2，3P2021．那么點(diǎn)2021的坐標(biāo)是．根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第90個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．PPP9．如圖，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每個(gè)正方形從第三象限的極點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较蛐虼?，依次記為A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)O，各邊11．如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其序次按圖中均與x軸或y軸平行，假設(shè)它們的邊長(zhǎng)依次是2，4，6，那么極點(diǎn)A20的坐箭頭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，標(biāo)為．根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第102個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．二．解答題〔共27小題〕14．如圖，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F，12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將FM平分∠EFD，點(diǎn)H是射線(xiàn)EA上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)E重合〕，過(guò)點(diǎn)H的直△OA11變換成△22，第三次將△22變換成△33線(xiàn)交EF于點(diǎn)P，HM平分∠BHP交FM于點(diǎn)M．BOABOABOAB：A〔1，3〕，A1〔，〕，2〔，〕，3〔，〕；〔，〕，1〔1〕如圖1，試說(shuō)明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；23A43A83B20B〔4，0〕，B2〔，〕，3〔，0〕．察看每次變換前后的三角形有何變80B16請(qǐng)?jiān)谝韵陆獯鹬校顚?xiě)相應(yīng)的原因：化，按照變換規(guī)律，第五次變換后獲得的三角形A5的坐標(biāo)是，解：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB〔過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平B的坐標(biāo)是．5行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行〕．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)〔，〕，點(diǎn)A第一次向左跳動(dòng)至∴∠1=∠3，∠2=∠4〔〕13A10點(diǎn)A1〔﹣，〕，第二次向右跳動(dòng)至點(diǎn)A2〔，〕，第三次向左跳動(dòng)至點(diǎn)∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性質(zhì)〕11213〔﹣，〕，第四次向右跳動(dòng)點(diǎn)4〔3，〕，，依次規(guī)律跳動(dòng)下去，即∠HMF=∠1+∠2．A22A2點(diǎn)A第2021次跳動(dòng)至點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代換〕．〔2〕如圖2，假設(shè)HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；〔3〕如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥FM于點(diǎn)Q，試說(shuō)明無(wú)論點(diǎn)H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．

〔2〕請(qǐng)?jiān)趫D1中找出與∠CAF相等的角，并加以證明；〔3〕如圖2，連接BC交AF于點(diǎn)D，作∠CBF和∠CEF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，假設(shè)∠ADC=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M的度數(shù)〔用含α的式子表示〕16．直線(xiàn)AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點(diǎn)．〔1〕假設(shè)E是AB，CD內(nèi)一點(diǎn)．15．如圖1，直線(xiàn)m∥n，點(diǎn)B、F在直線(xiàn)m上，點(diǎn)E、C在直線(xiàn)n上，①如圖甲所示，請(qǐng)寫(xiě)出∠BME，∠DNE，∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系，并證連接FE并延伸至點(diǎn)A，連接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．明．〔1〕求證：∠BFA+∠BAC=180°；②如圖乙所示，假設(shè)∠1=∠BME，∠2=∠DNE，請(qǐng)利用①的結(jié)論探究∠F與∠MEN的數(shù)量關(guān)系．〔2〕假設(shè)E是AB，CD外一點(diǎn)．①如圖丙所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關(guān)系．②如圖丁所示，∠BMP=∠EMB，在射線(xiàn)MP上找一點(diǎn)G，使得∠MGN=∠E，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)G的大體地址，并求∠ENG：∠GND的值．18．小明在學(xué)習(xí)了“平行線(xiàn)的判斷和性質(zhì)〞知識(shí)后，對(duì)下面問(wèn)題進(jìn)行探究：17．，AB∥CD，點(diǎn)E為射線(xiàn)FG上一點(diǎn)．在平面內(nèi)，直線(xiàn)AB∥CD，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、CE，根據(jù)點(diǎn)E的位〔1〕如圖1，假設(shè)∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=°；置探究∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系．〔1〕當(dāng)點(diǎn)E分別在如以下列圖①、圖〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延伸線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，那么∠②和圖③所示的地址時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出三個(gè)圖形中相應(yīng)的∠B和∠C、∠AED、∠EAF、∠EDG之間知足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；BEC的數(shù)量關(guān)系：圖①中：；圖②中：，圖③．〔2〕請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)結(jié)論中選出一個(gè)你喜歡的結(jié)論加以證〔3〕如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點(diǎn)K，交AI于點(diǎn)I，且∠EAI：∠BAI=1：中：明．〔3〕運(yùn)用上面的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖④，AB∥CD，BP平分∠ABE，2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度數(shù)．CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度數(shù)是

．〔直接寫(xiě)出結(jié)果，

動(dòng)，試探討∠

E和∠F的數(shù)量關(guān)系；不

用

寫(xiě)

計(jì)

算

過(guò)

程

〕〔3〕如圖

3，AD和

BC交于點(diǎn)

G，過(guò)點(diǎn)

D作

DH∥BC交

AC于點(diǎn)

H，假設(shè)AC⊥BC，問(wèn)當(dāng)∠CDH為多少度時(shí)，∠

GDC=∠ADH．20．直線(xiàn)AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為；．如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔2〕如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，試探19究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線(xiàn)MB、ND交于點(diǎn)F，那么=．〔1〕試說(shuō)明AB與CD的地址關(guān)系，并予以證明；〔2〕如圖2，當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延伸線(xiàn)上運(yùn)22．如圖，AB∥CD，CE、BE的交點(diǎn)為E，現(xiàn)作如下操作：．如圖1，MN∥，直線(xiàn)AD與MN、PQ分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)B在第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為E1，21PQAD直線(xiàn)PQ上，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為點(diǎn)G．第二次操作，分別作∠ABE1和∠1的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為2，DCEE〔1〕求證：∠MAG+∠PBG=90°；第三次操作，分別作∠ABE2和∠2的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為3，，DCEE〔2〕假設(shè)點(diǎn)C在線(xiàn)段AD上〔不與A、D、G重合〕，連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜測(cè)并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；〔3〕假設(shè)直線(xiàn)AD的地址如圖3所示，〔2〕中的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．

第n次操作，分別作∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為

En．〔1〕如圖①，求證：∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕如圖②，求證：∠BE2∠；其數(shù)量關(guān)系；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明原因．C=BEC〔3〕猜測(cè)：假設(shè)∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接寫(xiě)出結(jié)論〕．24．，直線(xiàn)AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．23．“一帶一路〞讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路〞為了平安起見(jiàn)在某段鐵路兩旁布置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線(xiàn)從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立刻展轉(zhuǎn)，燈B射線(xiàn)從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立刻展轉(zhuǎn)，兩燈不停交錯(cuò)照射巡視．假設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒〔1〕如圖1，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒求∠APC．1度．假設(shè)主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔2〕如圖2，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相〔1〕填空：∠BAN=°；交于點(diǎn)K，寫(xiě)出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明原因．〔2〕假設(shè)燈B射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈〔3〕如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，B射線(xiàn)到達(dá)∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明原因．BQ從前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？〔3〕如圖2，假設(shè)兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN從前．假設(shè)射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，那么在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，央求出26．AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；．直線(xiàn)∥．〔2〕如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD=∠C；25ABCD〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是．〔3〕如圖3，在〔2〕問(wèn)的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，〔2〕如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎BF平分∠，平分∠，假設(shè)∠∠°，∠∠，DBCBEABDFCB+NCF=180BFC=3DBE樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明原因．求∠EBC的度數(shù)．〔3〕如圖3，點(diǎn)E在直線(xiàn)BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系．27．如圖，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)MN與AB，CD分別交于點(diǎn)M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線(xiàn)，NE交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EN交AB于點(diǎn)G．〔1〕求證：EM∥NG；〔2〕連接EG，在GN上取一點(diǎn)H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線(xiàn)EP交AB于點(diǎn)P，求∠PEG的度數(shù)．

28．，∠AOB=90°，點(diǎn)C在射線(xiàn)OA上，CD∥OE．〔1〕如圖1，假設(shè)∠OCD=120°，求∠BOE的度數(shù)；〔2〕把“∠AOB=90°〞改為“∠AOB=120°〞，射線(xiàn)OE沿射線(xiàn)OB平移，得O′E，其他條件不變，〔如圖2所示〕，探究∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關(guān)系；〔3〕在〔2〕的條件下，作PO′⊥OB垂足為O′，與∠OCD的平分線(xiàn)CP交于點(diǎn)P，假設(shè)∠BO′E=α，請(qǐng)用含α的式子表示∠CPO′〔請(qǐng)直接寫(xiě)出答案〕．29．如圖1．將線(xiàn)段AB平移至CD，使A與D對(duì)應(yīng)，B與C對(duì)應(yīng)，連AD、BC．〔ⅰ〕求∠EOC的度數(shù)；〔ⅱ〕求∠OCB：∠OFB的比值；〔ⅲ〕如圖③，假設(shè)∠OEB=∠OCA．此時(shí)∠OCA度數(shù)等于．〔在橫〔1〕填空：AB與CD的關(guān)系為線(xiàn)上填上答案即可〕，∠B與∠D的大小關(guān)系為〔2〕如圖2，假設(shè)∠B=60°，F(xiàn)、E為BC的延伸線(xiàn)上的點(diǎn)，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．〔3〕在〔2〕中，假設(shè)∠B=α，其余條件不變，那么∠FDG=．31．?dāng)?shù)學(xué)思考：〔1〕如圖1，AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的30．：如圖，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試答復(fù)以下問(wèn)題：關(guān)系，并說(shuō)明你探究的結(jié)論的正確性．〔1〕如圖①所示，求證：OB∥AC．〔注意證明過(guò)程要寫(xiě)依據(jù)〕〔2〕如圖②，假設(shè)點(diǎn)E、F在BC上，且知足∠FOC=∠AOC，并且OE平分

推廣延伸：∠BOF．

〔2〕①如圖2，AA1∥BA3，請(qǐng)你猜測(cè)∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的關(guān)系，并證明你的猜測(cè)；②如圖3，AA1∥BAn，直接寫(xiě)出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠Bn﹣1、∠An的關(guān)系．拓展應(yīng)用：〔3〕①如圖4，假設(shè)AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應(yīng)為A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ②如圖5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM的大小是．

那么第〔2〕題中∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系的猜測(cè)是否仍成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，并證明．33．閱讀以下材料并填空：32．，直線(xiàn)AB∥CD〔1〕探究：平面上有n個(gè)點(diǎn)〔n≥2〕且任意3個(gè)點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，〔1〕如圖1，點(diǎn)E在直線(xiàn)BD的左側(cè)，猜測(cè)∠ABE、∠CDE、∠BED的數(shù)經(jīng)過(guò)每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)，一共能畫(huà)多少條直線(xiàn)？量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．平面上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以畫(huà)條直〔2〕如圖2，點(diǎn)E在直線(xiàn)BD的左側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，線(xiàn)，平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)條直線(xiàn)，平面上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，猜測(cè)∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，點(diǎn)E在直線(xiàn)BD的右側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE；一共可以畫(huà)條直線(xiàn)，平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)條直線(xiàn)，平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)條直線(xiàn)．〔2〕遷移：某足球比賽中有n個(gè)球隊(duì)〔n≥2〕進(jìn)行單循環(huán)比賽〔每?jī)申?duì)之間必須比賽一場(chǎng)〕，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？有2個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行場(chǎng)比賽，有3個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行場(chǎng)比賽，有4個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行場(chǎng)比賽，那么有20個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行場(chǎng)比賽．34．假設(shè)∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

〔1〕如圖①，AM是∠EAC的平分線(xiàn)，BN是∠FBC的平分線(xiàn)，假設(shè)AM∥BN，那么α與β有何關(guān)系？并說(shuō)明原因．〔2〕如圖②，假設(shè)∠EAC的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與∠FBC平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交于P，試探究∠APB與α、β的關(guān)系是．〔用α、β表示〕〔3〕如圖③，假設(shè)α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線(xiàn)相交于P1，∠EAP1與∠FBP1的平分線(xiàn)交于P2；依此類(lèi)推，那么∠P5=．〔用α、β表示〕35．，AB∥CD，點(diǎn)E為射線(xiàn)FG上一點(diǎn)．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延伸線(xiàn)上時(shí)，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)K，且∠EDI：∠：，∠°，∠I=30，°求∴PQ∥CD〔〕CDI=21AED=20∠EKD的度數(shù)．∴∠C+∠2=180°結(jié)論：∠A+∠C+∠APC=°；〔2〕解決問(wèn)題：①如圖2，延伸PC至點(diǎn)E，AF、CF分別平分∠PAB、∠DCE，試判斷∠P與∠F存在怎樣的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明原因；②如圖3，假設(shè)∠APC=100°，分別作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分別平分∠PAB，∠CDN，那么∠M的度數(shù)為〔直接寫(xiě)出結(jié)果〕．37．如圖1，AB∥CD，E是AB、CD之間的一點(diǎn)．〔1〕判斷∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；36．AB∥CD，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，連接AP、CP．〔2〕如圖2，假設(shè)∠BAE、∠CDE的兩條平分線(xiàn)交于點(diǎn)F．直接寫(xiě)出∠AFD〔1〕探究發(fā)現(xiàn)：〔填空〕與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；填空：如圖1，過(guò)P作PQ∥AB，〔3〕將圖2中的射線(xiàn)DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，假設(shè)∠AGD的余∴∠A+∠1=°〔〕角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大小．∵AB∥CD〔〕3=

°．〔3〕由〔1〕、〔2〕，請(qǐng)你猜測(cè)：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光輝m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光輝m與反射光輝n平行．你能說(shuō)明原因嗎？〔4〕如圖3，兩面鏡子的夾角為α°〔0＜α＜90〕時(shí)，進(jìn)入光輝與走開(kāi)光線(xiàn)的夾角為β°〔0＜β＜90〕．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系．直接寫(xiě)出答案．．39．EF∥MN，一直角三角板如圖放置．∠ACB=90°．〔1〕如圖1，假設(shè)∠1=60°，那么∠2=度；38．實(shí)考據(jù)明，平面鏡反射光輝的規(guī)律是：射到平面鏡上的光輝和被反〔2〕如圖2，假設(shè)∠1=∠B﹣20°．那么∠2=度；射出的光輝與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光輝m射到平面鏡〔3〕如圖3，延伸AC交直線(xiàn)MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADNa上，被a反射后的光輝為n，那么入射光輝m、反射光輝n與平面鏡a交GH于K，問(wèn)∠GKD是否為定值，假設(shè)是求值，不是說(shuō)明原因．所夾的銳角∠1=∠2．〔1〕如圖2，一束光輝m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．假設(shè)被b反射出的光輝n與光輝m平行，且∠1=50°，那么∠2=°，∠3=°．〔2〕在〔1〕中m∥n，假設(shè)∠1=55°，那么∠3=°；假設(shè)∠1=40°，那么∠40．AD∥CE，點(diǎn)B為直線(xiàn)AD、CE所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)．〔1〕如圖1所示，求證：∠ADB=∠B+∠BFE．〔2〕如圖2，F(xiàn)G平分∠BFE，DG交FG于點(diǎn)G交BF于點(diǎn)H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度數(shù)．1.〔﹣5，2〕或〔5，2〕;2.〔1，3〕或〔5，1〕3.B;4.〔8，3〕，〔5，0〕;5.〔8052，0〕6.〔2007，1〕7.45．8.〔4023，〕．9.〔5，﹣5〕．10.〔﹣5，13〕．11.〔14，10〕;12.〔32，3〕，〔64，0〕;13.〔﹣1009，1009〕七下平行線(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系壓軸題參照答案與試題解析一．填空題〔共13小題〕1．點(diǎn)M〔3，2〕與點(diǎn)N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線(xiàn)上，且點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為5，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【解析】根據(jù)點(diǎn)M〔3，2〕與點(diǎn)N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線(xiàn)上，可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等，由點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為5，可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于5，進(jìn)而可以求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)M〔3，2〕與點(diǎn)N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線(xiàn)上，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等．

y=2．∵點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為5，|x|=5．得，x=±5．∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔﹣5，2〕或〔5，2〕．故答案為：〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的重點(diǎn)是明確與x軸平行的直線(xiàn)上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，1〕，將線(xiàn)段AB平移，使其一個(gè)端點(diǎn)到C〔3，2〕，那么平移后另一端點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，3〕或〔5，1〕．【解析】分兩種情況①當(dāng)A平移到點(diǎn)C時(shí)，②當(dāng)B平移到點(diǎn)C時(shí)，分別利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可．【解答】解：①如圖1，當(dāng)A平移到點(diǎn)C時(shí)，3．如圖的坐標(biāo)平面上有一正五邊形ABCDE，其中C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔1，0〕、〔2，0〕．假設(shè)在沒(méi)有滑動(dòng)的情況下，將此五邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，那么轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔75，0〕的是B〔填A(yù)、B、C、D或E〕．∵C〔3，2〕，A的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，1〕，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)增大了1，縱坐標(biāo)增大了2，平移后的B坐標(biāo)為〔1，3〕，【解析】根據(jù)點(diǎn)〔75，0〕的橫坐標(biāo)是5的倍數(shù)，而該正五邊形轉(zhuǎn)動(dòng)5②如圖2，當(dāng)B平移到點(diǎn)C時(shí)，次正好一周，由此可知經(jīng)過(guò)〔5，0〕的點(diǎn)經(jīng)過(guò)〔75，0〕，找到經(jīng)過(guò)〔5，0〕的點(diǎn)即可．【解答】解：∵C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔1，0〕、〔2，0〕．∴按題中轉(zhuǎn)動(dòng)方法點(diǎn)E經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3，0〕，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4，0〕，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔5，0〕，∵C〔3，2〕，A的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，1〕，∵點(diǎn)〔75，0〕的橫坐標(biāo)是5的倍數(shù)，而該正五邊形轉(zhuǎn)動(dòng)5次正好一周，∴可知經(jīng)過(guò)〔5，0〕的點(diǎn)經(jīng)過(guò)〔75，0〕，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)增大了3，縱坐標(biāo)增大2，∴平移后的A坐標(biāo)為〔5，1〕，∴點(diǎn)B經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔75，0〕．故答案為：B．故答案為：〔1，3〕或〔5，1〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察坐標(biāo)系中點(diǎn)、線(xiàn)段的平移規(guī)律，重點(diǎn)要理解在平面直【點(diǎn)評(píng)】此題考察了正多邊形和圓及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的重點(diǎn)是了角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同，進(jìn)而經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的變解正五邊形轉(zhuǎn)動(dòng)5次正好一個(gè)輪回，并由此判斷經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔75，0〕的點(diǎn)就是經(jīng)過(guò)〔5，0〕的點(diǎn)．化情況來(lái)解決問(wèn)題．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．4．如圖，彈性小球從點(diǎn)P〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為2，，第n次P碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，那么點(diǎn)P3的坐標(biāo)是〔8，3〕；點(diǎn)P2021的坐標(biāo)是〔5，0〕．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，察看出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的重點(diǎn)．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，對(duì)△OAB【解析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次獲得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角極點(diǎn)的坐標(biāo)為〔8052，0〕．的坐標(biāo)即可．【解答】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)〔0，3〕，當(dāng)點(diǎn)P第3次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔8，3〕；∵2021÷6=3354，∴當(dāng)點(diǎn)P第2021次碰到矩形的邊時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔5，0〕．故答案為：〔8，3〕，〔5，0〕．

【解析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)第四個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的地址相同可知每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個(gè)循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長(zhǎng)度，再用2021除以3，根據(jù)商為671可知第2021個(gè)三角形的直角極點(diǎn)為循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的極點(diǎn)，求出即可．【解答】解：∵點(diǎn)A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，∴AB==5，由圖可知，每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，一個(gè)循環(huán)組前進(jìn)的長(zhǎng)度為：4+5+3=12，∵2021÷3=671，∴△2021的直角極點(diǎn)是第671個(gè)循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的直角極點(diǎn)，∵671×12=8052，∴△2021的直角極點(diǎn)的坐標(biāo)為〔8052，0〕．故答案為：〔8052，0〕．【點(diǎn)評(píng)】此題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考察了，難度不大，仔細(xì)察看圖形，獲得每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的重點(diǎn)，也是求解的難點(diǎn)．6．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐標(biāo)為〔2007，1〕．

【解析】根據(jù)圖形得出點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律對(duì)2021變形，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)規(guī)律P1〔1，1〕，P2〔2，0〕=P3，P4〔3，1〕，P5〔5，1〕，P6〔6，0〕=P7，P8〔7，1〕每4個(gè)一循環(huán)，可以判斷P2021坐標(biāo)在502次循環(huán)后與P4坐標(biāo)縱坐標(biāo)一致，坐標(biāo)應(yīng)該是〔2007，1〕故答案為：〔2007，1〕【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了對(duì)正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，表達(dá)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，這一解答問(wèn)題的方法在考察本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)經(jīng)常用到，是在研究特例的過(guò)程中總結(jié)規(guī)律．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2021個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為45．第2021個(gè)點(diǎn)是〔45，13〕，所以，第2021個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為45．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了點(diǎn)的坐標(biāo)，察看出點(diǎn)個(gè)數(shù)與橫坐標(biāo)的存在的平方關(guān)系是解題的重點(diǎn)．8．如圖，將邊長(zhǎng)為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2021次，依【解析】察看圖形可知，以最外邊的矩形邊長(zhǎng)上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)次獲得點(diǎn)P，P2，P．那么點(diǎn)P2021的坐標(biāo)是〔，〕．等于x軸上右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，并且右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是奇數(shù)時(shí)最后以橫坐標(biāo)為該數(shù)，縱坐標(biāo)為0結(jié)束，當(dāng)右下角的點(diǎn)橫坐標(biāo)是偶數(shù)時(shí)，以橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為右下角橫坐標(biāo)的偶數(shù)減1的點(diǎn)結(jié)束，根據(jù)此規(guī)律解答即可．【解答】解：根據(jù)圖形，以最外邊的矩形邊長(zhǎng)上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)P1的坐標(biāo)為〔，〕；在等邊三【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易求得等于x軸上右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，1角形翻折的過(guò)程中，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，而每翻折一次，橫坐標(biāo)增加2比方：右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，共有1個(gè)，1=12，右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，共有4個(gè)，4=22，個(gè)單位〔即等邊三角形的邊長(zhǎng)〕，可根據(jù)這個(gè)規(guī)律求出點(diǎn)P2021的坐標(biāo)．【解答】解：易得P1〔，〕；右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，共有9個(gè)，9=32，1而P1223，∴2〔，〕，〔，〕；3右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，共有16個(gè)，16=42，P=PP=2P3P5依此類(lèi)推，Pn〔﹣，〕，即n〔﹣，〕；2n1+2n2P1當(dāng)n=2021時(shí)，P2021〔，〕．右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n時(shí)，共有n2個(gè)，4023∵452，45是奇數(shù)，故答案為：〔4023，〕．=2025【點(diǎn)評(píng)】考察了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．解答此類(lèi)規(guī)律型問(wèn)題時(shí)，平時(shí)要根∴第2025個(gè)點(diǎn)是〔45，0〕，據(jù)簡(jiǎn)單的條件獲得一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求特定的值．∴A20的坐標(biāo)為〔5，﹣5〕，故答案為：〔5，﹣5〕．9．如圖，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每個(gè)正方形從【點(diǎn)評(píng)】此題考察坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題重點(diǎn)是首先找出A20所在的第三象限的極點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较蛐虼危来斡洖锳1，A2，3，4；象限．AAA5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)O，各邊均與x軸或y軸平行，假設(shè)它們的邊長(zhǎng)依次是2，4，6，那么極點(diǎn)A20的坐．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其序次按圖中“→〞10標(biāo)為〔5，﹣5〕．方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第90個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣5，13〕．【解析】由=5易得A20在第四象限，根據(jù)4的坐標(biāo)，8的坐標(biāo)，12AAA的坐標(biāo)不難推出A20的坐標(biāo)．【解析】察看可知，縱坐標(biāo)的數(shù)值與點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等，然后求出第90個(gè)點(diǎn)【解答】解：∵=5，的縱坐標(biāo)，以及在這一坐標(biāo)中的序數(shù)，再根據(jù)縱坐標(biāo)是奇數(shù)的從右到左∴A20在第四象限，計(jì)數(shù)，縱坐標(biāo)是偶數(shù)的從左到右計(jì)數(shù)，然后解答即可．∵A4所在正方形的邊長(zhǎng)為，【解答】解：〔0，1〕，共1個(gè)，24〔0，2〕，〔1，2〕，共2個(gè)，A的坐標(biāo)為〔1，﹣1〕，同理可得：A8的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，A12的坐標(biāo)為〔3，﹣3〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，共3個(gè)，，依此類(lèi)推，縱坐標(biāo)是n的共有n個(gè)坐標(biāo)，1+2+3++n=，當(dāng)n=13時(shí)，=91，所以，第90個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為13，〔13﹣1〕÷2=6，∴第91個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣6，13〕，第90個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣5，13〕．故答案為：〔﹣5，13〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了點(diǎn)的坐標(biāo)與規(guī)律變化問(wèn)題，察看出縱坐標(biāo)的數(shù)值與相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的個(gè)數(shù)相等是解題的重點(diǎn)．11．如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其序次按圖中箭頭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第102個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔14，10〕．

【解析】應(yīng)先判斷出第102個(gè)數(shù)在第幾行，第幾列，再根據(jù)解析獲得的規(guī)律求解．【解答】解：把第一個(gè)點(diǎn)〔1，0〕作為第一列，〔2，1〕和〔2，0〕作為第二列，依此類(lèi)推，那么第一列有一個(gè)數(shù)，第二列有2個(gè)數(shù)，第n列有n個(gè)數(shù)．那么n列共有個(gè)數(shù)，并且在奇數(shù)列點(diǎn)的序次是由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的序次由下到上．因?yàn)?05=1+2+3++14，那么第102個(gè)數(shù)一定在第14列，由下到上是第11個(gè)數(shù)．因而第102個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是〔14，10〕．故答案填：〔14，10〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了學(xué)生閱讀理解并總結(jié)規(guī)律的能力，解決的重點(diǎn)是能正確找出題目中點(diǎn)的規(guī)律．12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3：A〔1，3〕，A1〔2，3〕，A2〔4，3〕，A3〔8，3〕；B〔2，0〕，B1〔4，0〕，B2〔8，0〕，B3〔16，0〕．察看每次變換前后的三角形有何變化，按照變換規(guī)律，第五次變換后獲得的三角形A5的坐標(biāo)是〔32，3〕，B5的坐標(biāo)是〔64，0〕．【解析】尋找規(guī)律求解．【解答】解：A、A1、A2An都在平行于X軸的直線(xiàn)上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等，所以A5的縱坐標(biāo)是3；這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)有一定的規(guī)律：An=2n．因而點(diǎn)A5的橫坐標(biāo)是25=32；B、B1、B2Bn都在x軸上，B5的縱坐標(biāo)是0；這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)也有一定的規(guī)律：Bn=2n+1，因而點(diǎn)B5的橫坐標(biāo)是B5=25+1=64．∴點(diǎn)A5的坐標(biāo)是〔32，3〕，點(diǎn)B5的坐標(biāo)是〔64，0〕．故答案分別是：〔32，3〕，〔64，0〕．【點(diǎn)評(píng)】考察X軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)與平行于X軸的直線(xiàn)上點(diǎn)的特點(diǎn)．注意數(shù)形結(jié)合思想在此的應(yīng)用，找到點(diǎn)的變化規(guī)律是解題的重點(diǎn)．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A〔1，0〕，點(diǎn)A第一次向左跳動(dòng)至點(diǎn)A1〔﹣1，1〕，第二次向右跳動(dòng)至點(diǎn)A2〔2，1〕，第三次向左跳動(dòng)至點(diǎn)

A3〔﹣2，2〕，第四次向右跳動(dòng)點(diǎn)A4〔3，2〕，，依次規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)A第2021次跳動(dòng)至點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是〔﹣，〕．．10091009【解析】根據(jù)圖形察看發(fā)現(xiàn)，第偶數(shù)次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)是次數(shù)的一半加上1，縱坐標(biāo)是次數(shù)的一半，奇數(shù)次跳動(dòng)與該偶數(shù)次跳動(dòng)的橫坐標(biāo)的相反數(shù)加上1，縱坐標(biāo)相同，然后寫(xiě)出即可．【解答】解：察看發(fā)現(xiàn)，第2次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔2，1〕，第4次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔3，2〕，第6次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔4，3〕，第8次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔5，4〕，第2n次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔n+1，n〕，那么第2021次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1010，1009〕，第2021次跳動(dòng)至點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是〔﹣1009，1009〕．故答案為：〔﹣1009，1009〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，以及圖形的變化問(wèn)題，結(jié)合圖形獲得偶數(shù)次跳動(dòng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化情況是解題的重點(diǎn)．二．解答題〔共27小題〕14．如圖，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F，F(xiàn)M平分∠EFD，點(diǎn)H是射線(xiàn)EA上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)E重合〕，過(guò)點(diǎn)H的直線(xiàn)交EF于點(diǎn)P，HM平分∠BHP交FM于點(diǎn)M．〔1〕如圖1，試說(shuō)明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；【解析】〔1〕根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線(xiàn)定義進(jìn)行判請(qǐng)?jiān)谝韵陆獯鹬?，填?xiě)相應(yīng)的原因：斷即可；解：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB〔過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平〔2〕先根據(jù)HP⊥EF，AB∥CD，獲得∠EHP+∠DFP=90°，再根據(jù)〔1〕中行〕．結(jié)論即可獲得∠HMF的度數(shù)；∵AB∥CD〔〕，〔3〕先根據(jù)題意獲得∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根據(jù)FN平分∠HFE，F(xiàn)M平∴MQ∥CD〔如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根據(jù)∠EHF+∠HFD=180°，即可相平行〕得出∠EHF=2∠FNQ．∴∠1=∠3，∠2=∠4〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕【解答】解：〔1〕由MQ∥CD，獲得∠1=∠3，∠2=∠4，其依據(jù)為：兩∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性質(zhì)〕直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；即∠HMF=∠1+∠2．由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，獲得∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔角平分線(xiàn)定義〕其依據(jù)為：角平分線(xiàn)定義．故答案為：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線(xiàn)定義．∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代換〕．〔2〕如圖2，假設(shè)HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；〔2〕如圖2，∵HP⊥EF，〔3〕如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)∴∠HPE=90°，N作NQ⊥FM于點(diǎn)Q，試說(shuō)明無(wú)論點(diǎn)H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°〔三角形的內(nèi)角和等于180°〕又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由〔1〕得：∠HMF=〔∠EHP+∠DFP〕=×90°=45°．〔3〕如圖3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°〔三角形的內(nèi)角和等于180°〕．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=〔∠HFE+∠EFD〕=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2〔90°﹣∠FNQ〕=2∠FNQ，即無(wú)論點(diǎn)H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判斷，角平分線(xiàn)的定義以及平

行公義的運(yùn)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是掌握：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．15．如圖1，直線(xiàn)m∥n，點(diǎn)B、F在直線(xiàn)m上，點(diǎn)E、C在直線(xiàn)n上，連接FE并延伸至點(diǎn)A，連接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求證：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕請(qǐng)?jiān)趫D1中找出與∠CAF相等的角，并加以證明；〔3〕如圖2，連接BC交AF于點(diǎn)D，作∠CBF和∠CEF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，假設(shè)∠ADC=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M的度數(shù)〔用含α的式子表示〕【解析】〔1〕根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可獲得∠AEC=∠AFM，再根據(jù)∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根據(jù)∠BFA+∠AFM=180°，可得結(jié)論；〔2〕根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可獲得與∠CAF相等的角；〔3〕過(guò)D作DH∥BF，過(guò)M作MG∥BF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可獲得∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根據(jù)∠CBF和∠CEF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，可得∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕，進(jìn)而獲得∠M的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖1，∵直線(xiàn)m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．證明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；〔3〕如圖2，過(guò)D作DH∥BF，過(guò)M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，

∵∠CBF和∠CEF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，∴∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕=〔180°﹣α〕=90°﹣α，∵M(jìn)G∥BF∥CE，∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作輔助線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注意：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．16．直線(xiàn)AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點(diǎn)．〔1〕假設(shè)E是AB，CD內(nèi)一點(diǎn)．①如圖甲所示，請(qǐng)寫(xiě)出∠BME，∠DNE，∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②如圖乙所示，假設(shè)∠1=∠BME，∠2=∠DNE，請(qǐng)利用①的結(jié)論探究∠F與∠MEN的數(shù)量關(guān)系．〔2〕假設(shè)E是AB，CD外一點(diǎn)．①如圖丙所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關(guān)系．②如圖丁所示，∠BMP=∠EMB，在射線(xiàn)MP上找一點(diǎn)G，使得∠MGN=∠E，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)G的大體地址，并求∠ENG：∠GND的值．【解析】〔1〕①過(guò)E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行推導(dǎo)，即可獲得∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②過(guò)F作FG∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可獲得∠MFN=∠1+∠2，再結(jié)合①的結(jié)論，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①過(guò)E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，即可獲得∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②設(shè)∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根據(jù)8字形構(gòu)造獲得∠GNQ=3α+3β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，獲得∠GND=∠1=α+β，據(jù)此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：〔1〕①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．證明：如圖甲，過(guò)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如圖乙，過(guò)F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，∴∠MFN=∠1+∠2，又∵∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關(guān)系為：∠DNE﹣∠BME=∠MEN．原因如下：如圖丙，過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∵∠1是△GFM的外角，∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，又∵AB∥CD，∴∠GND=∠1=α+β，∴∠ENG：∠GND=〔3α+3β〕：〔α+β〕=3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)的運(yùn)用，過(guò)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)，正確識(shí)圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的重點(diǎn)．∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，17．，AB∥CD，點(diǎn)E為射線(xiàn)FG上一點(diǎn)．又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，〔1〕如圖1，假設(shè)∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=70°；∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延伸線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，那么∠②點(diǎn)G的大體地址如圖丁所示：AED、∠EAF、∠EDG之間知足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點(diǎn)K，交AI于點(diǎn)I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度數(shù)．設(shè)MG與NE交于點(diǎn)Q，NG與AB交于點(diǎn)F，設(shè)∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，∵∠EQM=∠GQN，∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，【解析】〔1〕延伸DE交AB于H，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠D=∠AHE=40°，再根據(jù)∠AED是△AEH的外角，即可獲得∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；〔2〕依據(jù)AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根據(jù)∠EHC是△DEH的外角，即可獲得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕設(shè)∠EAI=α，那么∠BAE=3α，進(jìn)而得出∠EDK=α﹣2°，依據(jù)∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22+2°α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖，延伸DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案為：70；〔2〕∠EAF=∠AED+∠EDG．原因：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

〔3〕∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴設(shè)∠EAI=α，那么∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18，°∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作輔助線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．18．小明在學(xué)習(xí)了“平行線(xiàn)的判斷和性質(zhì)〞知識(shí)后，對(duì)下面問(wèn)題進(jìn)行探究：在平面內(nèi)，直線(xiàn)AB∥CD，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、CE，根據(jù)點(diǎn)E的地址探究∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系．〔1〕當(dāng)點(diǎn)E分別在如以下列圖①、圖②和圖③所示的地址時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出三個(gè)圖形中相應(yīng)的∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系：圖①中：∠B+∠C=∠BEC；圖②中：∠B+∠C+∠BEC=360°，圖③中：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)結(jié)論中選出一個(gè)你喜歡的結(jié)論加以證明．〔3〕運(yùn)用上面的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度數(shù)是130°．〔直接寫(xiě)出結(jié)果，不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程〕【解析】〔1〕依據(jù)圖①、圖②和圖③所示的地址，直接寫(xiě)出三個(gè)圖形中相應(yīng)的∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系即可；〔2〕過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可獲得∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系；〔3〕由圖②的結(jié)論可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，再根據(jù)BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130°，利用四邊形PCEB內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：〔1〕圖①：∠B+∠C=∠BEC；圖②：∠B+∠C+∠BEC=360°；

圖③：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕選圖①證明：證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線(xiàn)的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕，∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF〔等式的性質(zhì)〕，即∠B+∠C=∠BEC．選圖②證明：證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線(xiàn)的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行〕，∴∠C+∠CEF=180°．〔兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)〕∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．〔兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)〕，∴∠B+∠C+∠CEF+∠BEF=180°+180°=360°，即∠B+∠C+∠BEC=360°．選圖③證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線(xiàn)的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕，∴∠B﹣∠C=∠CEF﹣∠BEF〔等式的性質(zhì)〕，即∠B﹣∠C=∠BEC．〔3〕∠BPC的度數(shù)是130°．由圖②的結(jié)論可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，又∵BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∴∠PBE+∠PCE=130°，∴四邊形PCEB中，∠BPC=360°﹣130°﹣100°=130°，故答案為：130°．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，能正確作出輔助線(xiàn)是解此題的重點(diǎn)，注意：①兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，②兩直線(xiàn)平行，同位角相等，③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．19．如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔1〕試說(shuō)明AB與CD的地址關(guān)系，并予以證明；〔2〕如圖2，當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延伸線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，試探討∠E和∠F的數(shù)量關(guān)系；〔3〕如圖3，AD和BC交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，假設(shè)AC⊥BC，問(wèn)當(dāng)∠CDH為多少度時(shí)，∠GDC=∠ADH．【解析】〔1〕依據(jù)AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可獲得∠2=∠BAC，進(jìn)而判斷CD∥AB．〔2〕當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，∠1=∠2=30°，依據(jù)∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕依據(jù)DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，進(jìn)而獲得∠ADH=∠CDH，據(jù)此可適合∠GDC=∠ADH時(shí)，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可獲得∠CDH=×180°=60°．【解答】解：〔1〕如圖，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．〔2〕當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，∠1=∠2=30°，∵點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延伸線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，

∴當(dāng)∠GDC=∠ADH時(shí)，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故當(dāng)∠CDH為60度時(shí)，∠GDC=∠ADH．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的判斷以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，兩條直線(xiàn)被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．20．直線(xiàn)AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線(xiàn)MB、ND交于點(diǎn)F，那么=．【解析】〔1〕由AB∥CD，即可獲得∠END=∠EFB，再根據(jù)∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME；〔2〕由平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可獲得∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，即可獲得∠E+2∠NPM=180°；〔3〕延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，由平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE；依據(jù)∠CHB是△DFH的外角，即可獲得∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，進(jìn)而得出∠F=∠E．【解答】解：〔1〕如圖1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，故答案為：∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如圖2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵M(jìn)Q平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；〔3〕如圖3，延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，②由①代入②，可得∠F=∠E，即．故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義、三角形內(nèi)角和的運(yùn)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作輔助線(xiàn)構(gòu)造同位角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．21．如圖1，MN∥PQ，直線(xiàn)AD與MN、PQ分別交于點(diǎn)A、D，點(diǎn)B在直線(xiàn)PQ上，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為點(diǎn)G．〔1〕求證：∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕假設(shè)點(diǎn)C在線(xiàn)段AD上〔不與A、D、G重合〕，連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜測(cè)并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；〔3〕假設(shè)直線(xiàn)AD的地址如圖3所示，〔2〕中的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．【解析】〔1〕依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕分兩種情況議論：當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB﹣∠CBG=90°；當(dāng)點(diǎn)C在DG上時(shí)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕分兩種情況議論：當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=270°；當(dāng)C在DG上時(shí)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB﹣∠CBG=270°．【解答】解：〔1〕如圖1，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，證明：①如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，

∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕，同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕=2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°；②如圖，當(dāng)點(diǎn)C在DG上時(shí)，同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕〔2〕中的結(jié)論不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．①如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，由MN∥PQ，可得：∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義的運(yùn)用，正確識(shí)圖并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的重點(diǎn)，難點(diǎn)在于利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，22．如圖，AB∥CD，CE、BE的交點(diǎn)為E，現(xiàn)作如下操作：∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為E1，又∵∠ACB是△BCG的外角，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為E2，∴∠ACB=90°+∠CBG，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為E3，，∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如圖，當(dāng)C在DG上時(shí)，第n次操作，分別作∠〔1〕如圖①，求證：∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為BEC=∠ABE+∠DCE；

En．〔2〕如圖②，求證：∠

BE2C=

∠BEC；同理可得，∠ACB=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，

〔3〕猜測(cè)：假設(shè)∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接寫(xiě)出結(jié)論〕．【解析】〔1〕先過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進(jìn)而獲得∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕先根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線(xiàn)交點(diǎn)為E1，運(yùn)用〔1〕中的結(jié)論，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；〔3〕根據(jù)∠ABE2和∠DCE2的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為E3，得出∠BE3C=∠BEC；據(jù)此獲得規(guī)律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖①，過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；以此類(lèi)推，∠En=∠BEC，∴當(dāng)∠En=α度時(shí)，∠BEC等于2nα度．〔2〕如圖2，∵∠ABE和∠DCE的平分線(xiàn)交點(diǎn)為E1，【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了角平分線(xiàn)的定義以及平行線(xiàn)性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，∴由〔1〕可得，內(nèi)錯(cuò)角相等的運(yùn)用．解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作平行線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注∠CE1∠1∠∠∠∠；1ABE+DCE=B=ABE+DCE=BEC意：從一個(gè)角的極點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)叫做這個(gè)∵∠ABE1和∠1的平分線(xiàn)交點(diǎn)為2，角的平分線(xiàn)．DCEE∴由〔1〕可得，∠BE2∠2∠2∠1∠1∠1∠；23．“一帶一路〞讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路〞為了平安起見(jiàn)在某段C=ABE+DCE=ABE+DCE=CEB=BEC鐵路兩旁布置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線(xiàn)從AM開(kāi)始〔3〕如圖2，∵∠ABE和∠DCE2的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立刻展轉(zhuǎn)，燈B射線(xiàn)從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便2E3立刻展轉(zhuǎn)，兩燈不停交錯(cuò)照射巡視．假設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假設(shè)主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔1〕填空：∠BAN=60°；〔2〕假設(shè)燈B射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線(xiàn)到達(dá)BQ從前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？〔3〕如圖2，假設(shè)兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN從前．假設(shè)射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，那么在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，央求出其數(shù)量關(guān)系；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明原因．【解析】〔1〕根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可獲得∠BAN的度數(shù)；〔2〕設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行議論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t=1?〔30+t〕，可得t=30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，可得t=110；〔3〕設(shè)燈A射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t﹣120°，∠BCD=120°﹣∠BCD=t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．

【解答】解：〔1〕∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°，故答案為：60；〔2〕設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD2t=1?〔30+t〕，解得t=30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，解得t=110，綜上所述，當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；〔3〕∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．原因：設(shè)燈A射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣〔180°﹣2t〕=2t﹣120°，又∵∠ABC=120°﹣t，∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣〔180°﹣t〕=t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決

問(wèn)題的重點(diǎn)是運(yùn)用分類(lèi)思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．24．，直線(xiàn)AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．〔1〕如圖1，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，求∠APC．〔2〕如圖2，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，寫(xiě)出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明原因．〔3〕如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明原因．【解析】〔1〕先過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可獲得∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；〔2〕過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進(jìn)而獲得∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，進(jìn)而獲得∠AKC=∠APC；〔3〕過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而獲得∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，進(jìn)而獲得∠AKC=∠APC．【解答】解：〔1〕如圖1，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；〔2〕∠AKC=∠APC．原因：如圖2，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，

∴∠AKC=∠APC；〔3〕∠AKC=∠APC．原因：如圖3，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義的運(yùn)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作平行線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行計(jì)算．25．直線(xiàn)AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明原因．〔3〕如圖3，點(diǎn)E在直線(xiàn)BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系2∠BFD+∠BED=360°．【解析】〔1〕首先作EF∥AB，根據(jù)直線(xiàn)AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，據(jù)此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．〔2〕首先根據(jù)BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕；然后由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，據(jù)此推得∠BFD=∠BED．〔3〕首先過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD，再根據(jù)AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥

【解答】解：〔1〕∠ABE+∠CDE=∠BED．原因：如圖1，作EF∥AB，∵直線(xiàn)AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕∠BFD=∠BED．原因：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=〔∠ABE+∠CDE〕，由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，據(jù)此推得∠ABE+∠〔3〕2∠BFD+∠BED=360°．CDE+∠BED=360°；然后根據(jù)∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分別平分原因：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD，，∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，由〔1〕知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=〔∠ABE+∠CDE〕，∴2∠BFD+∠BED=360°．故答案為：2∠BFD+∠BED=360°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的重點(diǎn)是要明確：①定理1：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．③定理3：兩

條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．26．AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．〔1〕如圖1，直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系∠A+∠C=90°；〔2〕如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD=∠C；〔3〕如圖3，在〔2〕問(wèn)的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，假設(shè)∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【解析】〔1〕根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；〔2〕先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得出∠C=∠CBG，即可獲得∠ABD=∠C；〔3〕先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可獲得∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解答】解：〔1〕如圖1，∵AM∥CN，由〔2〕可得∠ABD=∠CBG，∴∠C=∠AOB，∴∠ABF=∠GBF，∵AB⊥BC，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，那么∴∠A+∠AOB=90°，∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠A+∠C=90°，∴∠AFC=3α+β，故答案為：∠A+∠C=90°；∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，〔2〕如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得∵BD⊥AM，〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，①∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，由AB⊥BC，可得又∵AB⊥BC，ββα，°②++2=90∴∠CBG+∠ABG=90°，由①②聯(lián)立方程組，解得α=15°，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABE=15°，∵AM∥CN，BG∥AM，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；〔3〕如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是作平行線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角〔補(bǔ)角〕相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，經(jīng)常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)系．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．27．如圖，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)MN與AB，CD分別交于點(diǎn)M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線(xiàn)，NE交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EN交AB于點(diǎn)G．〔1〕求證：EM∥NG；〔2〕連接EG，在GN上取一點(diǎn)H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線(xiàn)EP交AB于點(diǎn)P