譜估計(jì)主要內(nèi)容引言經(jīng)典譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)1引言概述估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)功率譜估計(jì)的應(yīng)用研究現(xiàn)狀1引言隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度(函數(shù))，是其自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換。

X(n)的自相關(guān)函數(shù)前提：均值為零令則上式可寫成實(shí)際上只有將上式求平均，成為才有意義功率譜的真實(shí)值1引言譜分析 用有限的N個(gè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度。其中或功率譜的估計(jì)值周期圖1引言估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)的偏差(Bias)為零

。所謂偏差(用B表示)定義為

無(wú)偏估計(jì)

θ：某個(gè)隨機(jī)變量的真值：它的估計(jì)值

估計(jì)1和估計(jì)2都屬于無(wú)偏估計(jì)；估計(jì)2較之估計(jì)1方差小；

1引言估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)最小方差估計(jì)

方差θ：某個(gè)隨機(jī)變量的真值：它的估計(jì)值

為最小的估計(jì)。1引言估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)均方誤差

θ：某個(gè)隨機(jī)變量的真值：它的估計(jì)值

不難證明：當(dāng)N趨向于無(wú)窮大時(shí)，譜估計(jì)趨向于真實(shí)的譜密度。1引言估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)一致估計(jì)：正確的估計(jì)應(yīng)該滿足一致估計(jì)的條件，此為正確估計(jì)的必要條件

反之，若估計(jì)方法不滿足一致估計(jì)的條件，則它一定是不正確的1引言功率譜估計(jì)的應(yīng)用在信號(hào)處理的許多場(chǎng)所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度(或自相關(guān)函數(shù))。常常利用功率譜估計(jì)來(lái)得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。

從寬帶噪聲中檢測(cè)窄帶信號(hào)。

功率譜估計(jì)的應(yīng)用譜估計(jì)的分辨率可以粗略地定義為能夠分辨出的二個(gè)分立的譜分量間的最小頻率間隙(距)。例如：有一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，它包括二個(gè)頻率相差1Hz振幅相等的正弦波以及加性白噪聲(白色噪聲的方差是正弦波功率的10％)。用三種不同的譜估計(jì)方法檢測(cè)這二個(gè)正弦分量的效果。(a)經(jīng)典BTPSD法(b)最大熵譜估計(jì)法(c)Pisavcnko諧波分解法1引言研究現(xiàn)狀功率譜估計(jì)的方法：教材P489圖10.7.11引言研究現(xiàn)狀經(jīng)典譜估計(jì)：間接法(BTPSD估計(jì)法)先通過(guò)式對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后再通過(guò)式

作傅氏變換得功率譜估計(jì)值。以傅立葉變換為基礎(chǔ)已知數(shù)據(jù)取樣自相關(guān)函數(shù)功率譜1引言研究現(xiàn)狀經(jīng)典譜估計(jì)：直接法(周期圖法)將觀察到的有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)利用FFT算法作傅氏變換，直接按式進(jìn)行功率譜估計(jì)(不通過(guò)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì))計(jì)算效率高頻率分辨率低將已知數(shù)據(jù)序列的傅立葉變換的模的平方除以序列長(zhǎng)度作為功率譜的估計(jì)1引言研究現(xiàn)狀經(jīng)典譜估計(jì)：固有缺陷：原因：“加窗效應(yīng)”頻率分辨率低原因：加窗截取，認(rèn)為窗以外的數(shù)據(jù)為零。頻譜能量向旁瓣泄漏原因：加窗截取，頻域產(chǎn)生旁瓣和主瓣寬度不是無(wú)限窄的現(xiàn)象。周期圖的缺陷：非一致估計(jì)當(dāng)數(shù)據(jù)量增至無(wú)限多時(shí)，周期圖的方差并不趨近于零，而是趨近于常數(shù)?！凹哟靶?yīng)”矩形序列其傅立葉變換為幅度譜“加窗效應(yīng)”各種窗函數(shù)的頻譜現(xiàn)代譜估計(jì)：1引言研究現(xiàn)狀1967Burg最大熵1968Parzen

自回歸AR用參數(shù)模型來(lái)模擬信號(hào)實(shí)際遇到的隨機(jī)過(guò)程x(n)可以用ARMA模型來(lái)逼近目前常用的求自回歸模型系數(shù)的算法有三種：①Levinson遞推算法；②Burg遞推算法；③正反向線性預(yù)測(cè)最小二乘算法。以隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)模型為基礎(chǔ)2經(jīng)典譜估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

周期圖作為功率譜的估計(jì)平滑后的周期圖作為PSD的估計(jì)2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

設(shè)觀察到N個(gè)樣本序列的值{x(n)}

:x(0),x(1)…x(N-1)，現(xiàn)要由此N個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)：當(dāng)時(shí)，屬于無(wú)偏估計(jì)。估計(jì)質(zhì)量2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)偏倚自相關(guān)函數(shù)的真值2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)估計(jì)質(zhì)量可推出：方差2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)估計(jì)質(zhì)量當(dāng)時(shí)滿足一致估計(jì)的條件方差2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)當(dāng)時(shí)不能得到有用的估計(jì)。此時(shí)按下式估計(jì)

同時(shí)均值等于真值用三角窗函數(shù)加權(quán)

2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)的偏差和方差為但時(shí)為一致估計(jì)

有偏非零同時(shí)可以證明2.1自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)今后我們還是用作為自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)，并仍用表示

通過(guò)將自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)進(jìn)行傅氏變換求得功率譜估計(jì)的方法即為BTPSD法。2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)求出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，再求出信號(hào)的功率譜密度。

Blackman和Tukey對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理得x(n)，再進(jìn)行離散傅立葉變換得X(ejω)，再求模的平方得功率譜密度。周期圖法2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)如前所述其中2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)——周期性的——周期圖優(yōu)點(diǎn)：可利用FFT，計(jì)算方便，效率高如果我們觀察到x(n)的N個(gè)值：可以通過(guò)FFT直接求得2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)估計(jì)質(zhì)量——討論其偏倚和方差周期圖的期望值令稱為Bartlett窗函數(shù)，即其傅氏變換為當(dāng)時(shí)2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)估計(jì)質(zhì)量——討論其偏倚和方差自相關(guān)函數(shù)的真值將上式與式代入式，并求其傅氏變換，得則周期圖的偏倚為：有偏無(wú)偏2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)估計(jì)質(zhì)量——討論其偏差和方差周期圖的方差：假設(shè)序列x(n)是一個(gè)實(shí)、白色、零均值過(guò)程的樣本，具有高斯概率分布函數(shù)。經(jīng)推導(dǎo)可得出：周期圖的方差：當(dāng)時(shí)不滿足一致估計(jì)的條件。為了使周期圖作為功率譜估計(jì)滿足一致估計(jì)的條件，必須將周期圖進(jìn)行平滑(或平均)處理。2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)估計(jì)質(zhì)量——討論其偏差和方差如果以及2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)周期圖的協(xié)方差：(k和l為整數(shù))則上式成為以的整倍數(shù)為頻率間距的周期圖的值是不相關(guān)的2.2周期圖法進(jìn)行譜估計(jì)估計(jì)質(zhì)量——偏差和方差雖然本節(jié)推導(dǎo)的結(jié)果是以假設(shè)高斯概率密度為根據(jù)的，但其定性結(jié)果在一個(gè)相當(dāng)寬廣的范圍內(nèi)成立。小結(jié)2.3平滑后的周期圖作為PSD的估計(jì)目的：使方差減小，得到一致的譜估計(jì)。方法：窗口處理法：選擇適當(dāng)?shù)拇翱诤瘮?shù)作為加權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均來(lái)加快收斂速度。

平均周期圖的方法：先將數(shù)據(jù)分段，再求各段周期圖的平均值。又稱Bartlett方法。

2.3.1Bartlett平均周期圖法為什么周期圖經(jīng)過(guò)某種平均(或平滑)后會(huì)使它的方差當(dāng)時(shí)趨于零，達(dá)到一致估計(jì)的目的?

如果是不相關(guān)的隨機(jī)變量，每一個(gè)具有期望值,方差

。則可以證明它們的數(shù)學(xué)平均的期望值等于,方差等于當(dāng)時(shí)可達(dá)到一致譜估計(jì)的目的降低估計(jì)量的方差的一種有效方法是將若干個(gè)獨(dú)立估計(jì)值進(jìn)行平均.2.3.1Bartlett平均周期圖法基本思想

將序列分段求周期圖再平均。

設(shè)將x(n)分成L段，每段有M個(gè)樣本，因而N=LM第i段樣本序列可寫成第i段的周期圖為 如果很小,則可假定各段的周期圖是互相獨(dú)立的。故譜估計(jì)可定義為L(zhǎng)段周期圖的平均，即

期望值將式和代入上式可得估計(jì)質(zhì)量

2.3.1Bartlett平均周期圖法結(jié)論：Bartlett估計(jì)的期望值是真實(shí)譜與三角窗函數(shù)的卷積。故也是有偏估計(jì)。但當(dāng)時(shí)，但當(dāng)時(shí)，2.3.1Bartlett平均周期圖法估計(jì)質(zhì)量

方差Bartlett估計(jì)是一致估計(jì)。Bartlett法使譜估計(jì)的方差減小是用增加Bias以及降低譜分辨率的代價(jià)換來(lái)的。實(shí)質(zhì)

比較兩式差別：后者將前者WB中的N改為M，因而使主瓣的寬度增大周期圖平滑后的周期圖作為功率譜的估計(jì)值由于主瓣的寬度愈窄愈接近δ函數(shù)，則偏差愈小。故而