CAGD概述ComputerAidedGeometricDesign(CAGD)1974年，Barnhill與Riesenfeld首先提出GAGD的研究對(duì)象與核心問(wèn)題研究對(duì)象：工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀（解析曲面、自由曲面）的數(shù)學(xué)表示核心問(wèn)題：研究適合計(jì)算機(jī)表示，且滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀數(shù)學(xué)描述方法。需要解決的問(wèn)題：用于工業(yè)產(chǎn)品形狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式，曲線曲面的形狀控制，曲線曲面的光滑連接與統(tǒng)一表示1.2形狀數(shù)學(xué)描述的發(fā)展主線顯式標(biāo)量函數(shù)與隱方程描述曲線曲面1963年，弗格森將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)1964年，孔斯（Coons）提出由封閉的4條邊界構(gòu)造曲面1971年，雷諾（Renault）公司Bezier提出由控制多邊形定義曲線曲面1972年，德布爾（deBoor)提出B樣條算法，1974年，戈登（Gordon）和里森弗爾德（Riesenfeld)將B樣條理論應(yīng)用于曲線曲面的描述上世紀(jì)80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人將非均勻有理B樣條方法用于形狀的描述對(duì)于形狀數(shù)學(xué)描述的要求唯一性由已給有限信息決定的形狀唯一幾何不變性數(shù)學(xué)表示與形狀不隨坐標(biāo)系的改變而改變易于定界統(tǒng)一性能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況，如平面與空間曲線，無(wú)窮大斜率易于實(shí)現(xiàn)光滑連接易于實(shí)現(xiàn)對(duì)形狀的控制，不僅要有整體控制的能力，且要有局部控制的能力第二章曲線曲面的基本理論CAGD的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)－微分幾何CAGD中矢量、點(diǎn)與直線矢量具有長(zhǎng)度以及方向服從相等、相加、反向、相減、數(shù)乘分為絕對(duì)矢量（點(diǎn)）與相對(duì)矢量（矢量與矢量間的相互關(guān)系）固定矢量與變矢量若變矢量隨某一參數(shù)或變量而變化，則稱(chēng)其為該變量或參數(shù)的矢函數(shù)相對(duì)矢量相加減得相對(duì)矢量，絕對(duì)矢量加或減相對(duì)矢量得絕對(duì)矢量，絕對(duì)矢量相加減則不能判定兩點(diǎn)連線的數(shù)學(xué)表示兩點(diǎn)之間的線性插值一般形式曲線與曲面的參數(shù)表示解析幾何的參數(shù)表示微分幾何的參數(shù)矢函數(shù)表示CAGD的基表示的參數(shù)矢函數(shù)形式基函數(shù)決定了曲線的整體性質(zhì)，當(dāng)基函數(shù)確定后，就決定了系數(shù)矢量是絕對(duì)矢量還是相對(duì)矢量，也就決定了所表示曲線的形狀。矢函數(shù)形式曲線方程的物理意義矢函數(shù)形式曲線方程：p=p(u)點(diǎn)動(dòng)成線，如果將u視為時(shí)間，則p(u)可看作一質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的變化運(yùn)動(dòng)的軌跡。其關(guān)于u的一階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢分別就是質(zhì)點(diǎn)的速度矢量和加速度矢量。有可能質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即曲線相同，但速度矢量和加速度矢量不同。曲線與曲面的參數(shù)表示在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)：在CAGD里，曲面大都采用基表示的一種特殊矢函數(shù)形式：基表示的矢函數(shù)形式的優(yōu)點(diǎn)總是能夠獲取幾何不變性易于界定形狀的范圍易于表示空間曲線易于計(jì)算形狀上的點(diǎn)易于處理無(wú)窮大斜率提供對(duì)曲線、曲面形狀控制的較多的自由度曲線的表示給定一個(gè)具體的單參數(shù)的矢函數(shù)，即給定一個(gè)具體的參數(shù)曲線方程，稱(chēng)之為給定了一個(gè)曲線的參數(shù)化(parametrization)，它即決定了所表示曲線的形狀，也決定了該曲線上的點(diǎn)與其參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)(即參數(shù)值)間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)曲線取任意參數(shù)時(shí)，參數(shù)域內(nèi)線段長(zhǎng)度之比即不等于曲線上對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度之比，也不等于對(duì)應(yīng)曲線段的弦長(zhǎng)之比。僅在曲線取自身弧長(zhǎng)的線性函數(shù)為參數(shù)時(shí)，參數(shù)域內(nèi)線段長(zhǎng)度之比即才等于曲線上對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度之比。曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不成立的點(diǎn)為奇點(diǎn)，如自交點(diǎn)。曲線的導(dǎo)矢曲線的導(dǎo)矢對(duì)曲線各分量分別對(duì)參數(shù)求導(dǎo)GADG中曲線的導(dǎo)矢幾何意義為曲線的切矢，是相對(duì)矢量正則曲線曲線的弧長(zhǎng)公式自然參數(shù)方程曲線取自身弧長(zhǎng)為參數(shù)曲線論的基本公式、曲率與撓率（Frenet）活動(dòng)標(biāo)架Frenet-Serret公式（基本公式）Frenet活動(dòng)標(biāo)架將曲線在一點(diǎn)處的三個(gè)單位矢量用來(lái)作為坐標(biāo)軸方向的基矢量，則在該點(diǎn)處構(gòu)成一個(gè)局部坐標(biāo)系。當(dāng)參數(shù)連續(xù)變化時(shí)，該坐標(biāo)系就連續(xù)發(fā)生平移和旋轉(zhuǎn)，成為曲線上的一個(gè)活動(dòng)坐標(biāo)系，稱(chēng)為Frenet活動(dòng)標(biāo)架。有了活動(dòng)標(biāo)架，則曲線在任一點(diǎn)處臨近的幾何行為或幾何性質(zhì)就可以在該點(diǎn)處的活動(dòng)標(biāo)架內(nèi)考察，該點(diǎn)處的任一個(gè)矢量就可表示成活動(dòng)標(biāo)架上三個(gè)基矢量的線性組合。三個(gè)基本矢之間的關(guān)系都是單位矢量相互垂直組成的體積為1曲率與撓率曲率k的幾何意義為曲線的單位切矢對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，因單位切矢對(duì)于弧長(zhǎng)的一階導(dǎo)矢其模長(zhǎng)等于曲率，故稱(chēng)為曲率矢，與主法矢同向。撓率的絕對(duì)值等于副法線方向?qū)τ诨￠L(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，其大于、等于、小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。曲線的弧長(zhǎng)、曲率、撓率是幾何不變量，三個(gè)基矢量是幾何不變矢，與參數(shù)選取無(wú)關(guān)。曲面論公式范圍奇點(diǎn)曲面的參數(shù)化u線與v線u向切矢與v向切矢曲面的單位法矢曲面表示曲面方程：p=p(u,v)曲面范圍：用兩個(gè)參數(shù)的變化區(qū)間所表示的uv參數(shù)平面上的矩形區(qū)域u1≤u≤u2，v1≤u≤v2給出。奇點(diǎn)：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不成立的點(diǎn)，以及切平面法矢為零的點(diǎn)曲面的參數(shù)化給定一個(gè)具體的曲面方程，稱(chēng)為給定了一個(gè)曲面的參數(shù)化。它即決定了所表示曲面的形狀，也決定了該曲面上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。曲面的參數(shù)化不是唯一的。如果固定其中一個(gè)參數(shù)，則曲面退化為單參數(shù)的矢函數(shù)，表示曲面上的一條等參數(shù)線。曲面的參數(shù)化曲面上一點(diǎn)的u線與v線曲面的u向切矢與v向切矢曲面上一點(diǎn)的單位法矢曲面的等距面曲面上的曲線及曲率性質(zhì)曲面上的曲線切矢曲率矢法曲率曲面的曲率性質(zhì)曲面上過(guò)一點(diǎn)具有相同切線方向的曲線有無(wú)數(shù)條，但這些曲線的曲率矢都位于該點(diǎn)處的法平面內(nèi)過(guò)曲面上一點(diǎn)具有相同切線方向的所有曲線在該點(diǎn)都具有相同的法曲率（非曲率矢）曲面上一點(diǎn)的法曲率總是沿著某一方向的法曲率，曲面上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)方向，就有無(wú)數(shù)個(gè)法曲率，其中的最值為主曲率高斯曲率（兩主曲率的乘積，決定雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)、橢圓點(diǎn)）與平均曲率（兩主曲率的均值）曲線曲面的幾何不變性基表示的曲線曲面的規(guī)范性劃分規(guī)范基表示部分規(guī)范基表示非規(guī)范基表示基表示中系數(shù)矢量的類(lèi)型判定：凡與規(guī)范基或部分規(guī)范基表示中具有規(guī)范性的那些基函數(shù)相聯(lián)系的系數(shù)矢量為絕對(duì)矢量，否則為相對(duì)矢量。非規(guī)范基表示中的系數(shù)矢量不能判定究竟是絕對(duì)矢量還是相對(duì)矢量。曲線曲面的幾何不變性概念曲線曲面的數(shù)學(xué)表示及其所表達(dá)的形狀不依賴(lài)于坐標(biāo)系規(guī)范基表示具有幾何不變性，僅需將原表示中的系數(shù)矢量作相同的坐標(biāo)變換即可獲得變換后的曲線與曲面部分規(guī)范基表示具有幾何不變性，需將原表示中的絕對(duì)系數(shù)矢量作相同的坐標(biāo)變換，而相對(duì)矢量?jī)H作旋轉(zhuǎn)變換非規(guī)范基不具有幾何不變性對(duì)非規(guī)范基表示的規(guī)范化處理在非規(guī)范基表示中加入零矢量，該項(xiàng)的基函數(shù)取為與其它所有基函數(shù)和為1則成為規(guī)范基表示；如取為與其它部分基函數(shù)和為1則成為部分規(guī)范基表示。參數(shù)化與參數(shù)變換重新參數(shù)化將曲線從表示為參數(shù)u的矢函數(shù)變成表示為參數(shù)t的矢函數(shù)參數(shù)變換后曲線關(guān)于新老參數(shù)的一階導(dǎo)矢平行，二階導(dǎo)如何？域變換u與t間的關(guān)系為線性函數(shù)，在對(duì)老參數(shù)的k階導(dǎo)矢相比，方向不變，僅模長(zhǎng)改變。曲線經(jīng)重新參數(shù)化后，其形狀不變，但對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生變化（域變換除外）用不同的方程描述同一條曲線，其間差別在于曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，僅在方向不變的域變換下，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不變。曲面的重新參數(shù)化給定一正則曲面p=p(u,v)，其中(u,v)?R，令：滿足Jacobi行列式不為零的條件：則得到參數(shù)曲面：此過(guò)程稱(chēng)之為曲面的重新參數(shù)化。Jacobi行列式不為零的條件保證變換后的曲面也是正則的。第三章參數(shù)多項(xiàng)式

插值與逼近3.1基本概念插值（interpolation）插值曲線被插曲線曲線插值法插值曲面被插曲面曲面插值法逼近（approximation）逼近曲線被逼曲線曲線逼近法逼近曲面被逼曲面曲面逼近法插值與逼近統(tǒng)稱(chēng)為擬合（fitting）多項(xiàng)式基采用多項(xiàng)式函數(shù)作為基函數(shù)即為多項(xiàng)式基，得到的曲面為參數(shù)多項(xiàng)式曲線、曲面多項(xiàng)式基的優(yōu)點(diǎn)：無(wú)窮次可微，易計(jì)算函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值n次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成n次多項(xiàng)式空間，其中任意一組n+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式都可作為一組基采用冪基的參數(shù)多項(xiàng)式曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化給每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予相應(yīng)的參數(shù)值，使其形成一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列，該序列稱(chēng)為關(guān)于參數(shù)的一個(gè)分割，每個(gè)參數(shù)值稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，以上過(guò)程稱(chēng)為對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化，它規(guī)定了這些數(shù)據(jù)點(diǎn)與參數(shù)域相應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用同樣的插值法，而數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化不同，將獲得不同的插值曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化方法均勻參數(shù)化法積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法向心參數(shù)化法修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法規(guī)范化處理多項(xiàng)式插值曲線及其特點(diǎn)曲線方程的待定系數(shù)矢量個(gè)數(shù)等于給定的插值條件即數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目?jī)缁囗?xiàng)式插值曲線及插值條件拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值曲線及插值條件最小二乘逼近插值條件（數(shù)據(jù)點(diǎn)）多于待定系數(shù)矢量插值條件矩陣形式解（法方程，Gaussian正交方程組）參數(shù)三次曲線能表示空間曲線的次數(shù)最低的多項(xiàng)式曲線，方程：三次埃爾米特基及其性質(zhì)參數(shù)三次曲線的幾何特征兩數(shù)據(jù)點(diǎn)分別是曲線段的兩端點(diǎn)，首末端切矢決定曲線段的形狀三次埃爾米特插值的域變換對(duì)域變換的依賴(lài)性：基與系數(shù)矢量都有變化由部分規(guī)范性需對(duì)幾何變換進(jìn)行特殊處理雙線性插值曲面張量積曲面方程準(zhǔn)線不一定位于曲面上，母線運(yùn)動(dòng)形成曲面的一族等參數(shù)線，同時(shí)形成了曲面曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化是給每一數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一對(duì)參數(shù)值一般采用雙向平均規(guī)范積累弦長(zhǎng)參數(shù)化參數(shù)（孔斯）雙三次曲面片差值于四個(gè)角點(diǎn)、四個(gè)角點(diǎn)處雙向偏導(dǎo)矢扭矢以及混合偏導(dǎo)矢參數(shù)（孔斯）雙三次曲面片弗格森雙三次曲面片定義在任意子矩形域上的參數(shù)雙參數(shù)曲面片第四章參數(shù)樣條曲線曲面函數(shù)曲線的光滑度用對(duì)其變量的可微性度量參數(shù)曲線的光滑度參數(shù)連續(xù)性與曲線的光順程度不一致幾何連續(xù)性反映曲線的光順程度不一致參數(shù)多項(xiàng)式組合曲線的連續(xù)性取決于各段間公共連接點(diǎn)處的連續(xù)性參數(shù)曲面的連續(xù)性（跨界切矢）參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性分片為雙參數(shù)多項(xiàng)式的張量積組合曲面，其參數(shù)連續(xù)性取決于公共邊界處的連續(xù)性C1分段三次埃爾米特插值給定數(shù)據(jù)點(diǎn)、切矢及參數(shù)分割，構(gòu)造一條C1分段三次多項(xiàng)式曲線，其分段表達(dá)式：切矢的確定方法弗密爾法（FMILL）貝塞爾法（Bessel）秋間法（Akima）優(yōu)良的局部支撐性質(zhì)采用相異的切矢模長(zhǎng)，相同的切線方向獲得一階幾何連續(xù)性三切矢連續(xù)性方程：C2分段三次埃爾米特插值即參數(shù)三次樣條插值曲線必須滿足的連續(xù)性條件，由，得參數(shù)三次樣條曲線參數(shù)三次樣條曲線的提出彈性細(xì)梁的應(yīng)變能問(wèn)題的簡(jiǎn)化假定，有邊界條件封閉曲線且整體C2連續(xù)則無(wú)需邊界條件曲線兩端點(diǎn)處的附加方程－邊界條件的確定方法切矢條件自由端點(diǎn)條件4.3.7參數(shù)三次樣條曲線的性質(zhì)唯一性由數(shù)據(jù)點(diǎn)、邊界條件、參數(shù)分割唯一決定收斂性插值曲線隨所取數(shù)據(jù)點(diǎn)增多將收斂被插曲線計(jì)算穩(wěn)定改動(dòng)一點(diǎn)或端點(diǎn)處邊界條件對(duì)曲線的影響將隨與該點(diǎn)距離的增大而迅速衰減整體性改動(dòng)一點(diǎn)或端點(diǎn)處邊界條件對(duì)整條曲線產(chǎn)生影響靈活性差由唯一性決定不易控制由整體性造成參數(shù)三次樣條曲線的光順性二階幾何連續(xù)（位置、切線方向、曲率矢）、不存在奇點(diǎn)與多余拐點(diǎn)曲率變化較小應(yīng)變能變化較小撓率變化較小弗格森樣條曲面（組合）給定呈拓?fù)潼c(diǎn)陣，雙方向參數(shù)分割取整數(shù)序列，構(gòu)造弗格森樣條曲面步驟如下：（1）對(duì)各行列數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造弗格森樣條曲線生成曲面的網(wǎng)格骨架。（2）生成定義于子矩形域上分片形式的弗格森雙三次樣條曲面弗格森樣條曲面在公共邊界處僅能達(dá)到一階連續(xù)孔斯雙三次樣條曲面將各角點(diǎn)混合偏導(dǎo)矢為非零矢量獲得二階參數(shù)連續(xù)各角點(diǎn)混合偏導(dǎo)矢需滿足的條件參數(shù)雙三次樣條曲面給定呈拓?fù)潼c(diǎn)陣，雙方向參數(shù)分割取任意遞增序列，分片參數(shù)雙三次曲面片貝齊爾曲線及其性質(zhì)貝齊爾曲線的數(shù)學(xué)表示控制頂點(diǎn)伯恩斯坦基函數(shù)伯恩斯坦基函數(shù)的性質(zhì)定義式非負(fù)性規(guī)范性端點(diǎn)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性函數(shù)遞推導(dǎo)數(shù)遞推最大值升階公式積分貝齊爾曲線的性質(zhì)零次貝齊爾曲線為一個(gè)點(diǎn)一次貝齊爾曲線是連接兩頂點(diǎn)的直線首末端點(diǎn)分別是首末頂點(diǎn)曲線在首末端點(diǎn)的k階導(dǎo)矢僅與多邊形首末k條邊有關(guān)幾何不變與仿射不變對(duì)稱(chēng)性凸包性變差減少性移動(dòng)第j個(gè)控制頂點(diǎn)將對(duì)曲線上參數(shù)為j/n的點(diǎn)處影響最大貝齊爾曲線的線性運(yùn)算貝齊爾曲線的計(jì)算（曲線上點(diǎn)、導(dǎo)矢、分割、升階）通過(guò)曲線的顯式表示計(jì)算德卡斯特里奧算法貝齊爾曲線的遞推定義拋物線的三切線定理n次貝齊爾曲線可定義為分別由前后n個(gè)控制頂點(diǎn)定義的兩n-1次貝齊爾曲線的線性組合：德卡斯特里奧遞推算法遞推公式中間控制頂點(diǎn)中間控制頂點(diǎn)的顯式定義當(dāng)參數(shù)從0變化到1時(shí)，第k級(jí)遞推的每個(gè)中間頂點(diǎn)都各掃描出一條由原始頂點(diǎn)bj+i定義的k次中間貝齊爾曲線，這些中間頂點(diǎn)再經(jīng)n-k級(jí)遞推后就得到了由原始頂點(diǎn)定義的n次貝齊爾曲線。貝齊爾曲線的導(dǎo)矢一階導(dǎo)矢高階導(dǎo)矢由德卡斯特里奧算法求一、二階導(dǎo)矢貝齊爾曲線的分割求解由曲線上一點(diǎn)分割曲線后形成的兩曲線段貝齊爾曲線的任意分割求解介于貝齊爾曲線上任意兩點(diǎn)之間的曲線段，由兩個(gè)一分為二的過(guò)程實(shí)現(xiàn)貝齊爾曲線的延拓求解曲線定義域外一點(diǎn)所在曲線段，由對(duì)原控制多邊形各邊進(jìn)行線性外插，并進(jìn)行ｎ級(jí)遞推（廣義德卡斯特里奧算法）實(shí)現(xiàn)貝齊爾曲線的升階名義次數(shù)真實(shí)次數(shù)升階公式用途：無(wú)限次的升階將使控制多邊形收斂為曲線本身增加曲線的柔性構(gòu)造曲面張量積貝齊爾曲面貝齊爾曲面的顯式定義曲線沿空間的運(yùn)動(dòng)軌跡形成張量積曲面曲面的控制頂點(diǎn)，控制網(wǎng)格，次數(shù)曲面的u線為m次貝齊爾曲線，v線為n次貝齊爾曲線德卡斯特里奧遞推定義

以u(píng)參數(shù)對(duì)n+1個(gè)u向控制多邊形進(jìn)行曲線的m次遞推，再對(duì)得到的n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的中間多邊形以v參數(shù)進(jìn)行n次遞推，得到的點(diǎn)為曲面上的點(diǎn)貝齊爾曲面的性質(zhì)p(0,0)=b0,0，p(1,0)=bm,0，p(0,1)=b0,n，p(1,1)=bm,n曲面網(wǎng)格的最外一圈頂點(diǎn)定義貝齊爾曲面的四條邊界；曲面邊界的跨界切矢只與該邊界的頂點(diǎn)及相鄰一排頂點(diǎn)有關(guān)；跨界二階導(dǎo)矢只與該邊界的頂點(diǎn)及相鄰兩排頂點(diǎn)有關(guān)幾何不變與仿射不變凸包性質(zhì)移動(dòng)頂點(diǎn)bi,j將對(duì)點(diǎn)p(i/m,j/n）影響最大偏導(dǎo)矢與法矢偏導(dǎo)矢法矢2.10B樣條曲線曲面（一）2.10.1B樣條與B樣條曲線的基本概念2.10.2B樣條曲線與貝齊爾曲線的差別2.10.3B樣條的遞推定義2.10.4B樣條的性質(zhì)2.10.5B樣條曲線的其他性質(zhì)2.10.6B樣條曲線的分類(lèi)2.10.7B樣條基的遞推計(jì)算2.10.1B樣條與B樣條曲線的基本概念B樣條曲線方程控制頂點(diǎn)B樣條基函數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量2.10.2B樣條曲線與貝齊爾曲線的差別基函數(shù)次數(shù)與控制頂點(diǎn)數(shù)間的關(guān)系貝齊爾曲線的基函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)，B樣條曲線的基函數(shù)為多項(xiàng)式樣條貝齊爾曲線是參數(shù)多項(xiàng)式曲線，B樣條曲線是參數(shù)樣條曲線貝齊爾曲線缺乏局部性質(zhì)，B樣條曲線具有局部性質(zhì)2.10.3B樣條的遞推定義截尾冪函數(shù)的差商定義德布爾－考克斯遞推定義

B樣條的遞推定義B樣條的支撐區(qū)間節(jié)點(diǎn)矢量為各B樣條支撐區(qū)間的并集0次B樣條與一次B樣條遞推公式的意義k次B樣條是兩個(gè)k-1次B樣條的凸線性組合，其兩個(gè)系數(shù)的分母為兩k-1次B樣條支撐區(qū)間的長(zhǎng)度，分子為其參數(shù)將其自身支撐區(qū)間劃分成的兩部分長(zhǎng)度。2.10.4B樣條的性質(zhì)遞推性規(guī)范性局部支撐性質(zhì)可微性在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)部無(wú)限次可微，在節(jié)點(diǎn)處k-r次可微。B樣條曲線的局部性質(zhì)k次B樣條曲線上參數(shù)為的一點(diǎn)p(u)至多與k+1個(gè)控制頂點(diǎn)有關(guān)，與其他控制頂點(diǎn)無(wú)關(guān)；移動(dòng)該曲線的第i個(gè)控制頂點(diǎn)di至多將影響到定義在第i個(gè)k次B樣條支撐區(qū)間（ui，ui+k+1）上那部分曲線的形狀，對(duì)曲線的其余部分不發(fā)生影響。B樣條曲線的定義域定義域B樣條曲線的分段表示B樣條曲線的局部性質(zhì)與定義域例給定控制頂點(diǎn)di(i=0,1,…,8)，求所定義Ｂ樣條曲線的有關(guān)量？(1)節(jié)點(diǎn)矢量(2)曲線定義域(3)曲線段數(shù)(4)定義在[u6,u7]上曲線段由哪些控制頂點(diǎn)定義？(5)移動(dòng)頂點(diǎn)d3將影響哪些曲線段的形狀？d7又如何?(6)計(jì)算[u6,u7]上的三次樣條基及該段曲線將涉及哪些節(jié)點(diǎn)?2.10.5B樣條曲線的其他性質(zhì)可微性與參數(shù)連續(xù)性ｋ次Ｂ樣條曲線在定義域內(nèi)非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)部無(wú)限次可微,在定義域內(nèi)節(jié)點(diǎn)處則是k-r次可微。比貝齊爾曲線更強(qiáng)的凸包性順序k+1個(gè)頂點(diǎn)相重時(shí)，該曲線段退化到這一重合點(diǎn)；順序k+1個(gè)頂點(diǎn)共線時(shí)，該樣條曲線段為一直線段。磨光性質(zhì)次數(shù)越高，B樣條曲線距離定義它的控制多邊形越遠(yuǎn)，曲線越光滑。幾何不變性與仿射不變性重節(jié)點(diǎn)對(duì)B樣條的影響節(jié)點(diǎn)重復(fù)度每增加１，B樣條的支撐區(qū)間中減少一個(gè)非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間，B樣條在該重節(jié)點(diǎn)處可微性降一次均勻B樣條基在曲線定義域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)區(qū)間圖形相同內(nèi)節(jié)點(diǎn)均勻分布，端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k+1的情況為準(zhǔn)均勻由節(jié)點(diǎn)矢量定義的k次B樣條基為k次伯恩斯坦基2.10.6B樣條曲線的分類(lèi)0次B樣條曲線就是控制頂點(diǎn)點(diǎn)列1次B樣條曲線為控制多邊形B樣條曲線的分類(lèi)均勻所有節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均布準(zhǔn)均勻端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k+1，內(nèi)節(jié)點(diǎn)均布分段貝齊爾端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k+1，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度kn/k為正整數(shù)一般非均勻所有節(jié)點(diǎn)任意分布端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度不大于k+1，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度不大于k端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度應(yīng)為k+1，定義域應(yīng)為[0,1]均勻B樣條曲線B樣條基的圖形二次均勻B樣條曲線特點(diǎn)計(jì)算簡(jiǎn)單端點(diǎn)幾何性質(zhì)不明準(zhǔn)均勻B樣條曲線端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k+1，內(nèi)節(jié)點(diǎn)均布具有同次貝齊爾曲線的端點(diǎn)幾何性質(zhì)分段貝齊爾曲線所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度取k，首末端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度取k+1由一組順序首尾相接且同為k次的貝齊爾曲線組成，曲線各段相對(duì)獨(dú)立通過(guò)插入節(jié)點(diǎn)可將其他類(lèi)型B樣條曲線轉(zhuǎn)換為分段貝齊爾曲線n需為k的整數(shù)倍難以達(dá)到高階幾何連續(xù)非均勻B樣條曲線端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度取k+1，定義域取規(guī)范參數(shù)域節(jié)點(diǎn)矢量的確定將分段連接點(diǎn)連接形成的多邊形，使用積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方法同時(shí)進(jìn)行規(guī)范化處理將分段連接點(diǎn)與控制