參數(shù)估計解決的主要問題是什么？點估計與區(qū)間估計的區(qū)別是什么？

5.1點估計所謂點估計就是由樣本x1,x2,…xn確定一個統(tǒng)計量

用它來估計總體的未知參數(shù)，稱為總體參數(shù)的估計量。當(dāng)具體的樣本抽出后，可求出樣本統(tǒng)計量的值。用它作為總體參數(shù)的估計值，稱作總體參數(shù)的點估計。1.無偏性(unbiasedness)

設(shè)為總體未知參數(shù)的估計量若則稱是的無偏估計量，稱具有無偏性。如果是有偏估計量，則它的偏差量為偏差=5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)注:具有無偏性。

，對于，具有無偏性5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)2．一致性（consistency） 如果對任意小的正數(shù)，有則稱是的一致估計量，稱具有一致性，可以證明均具有一致性。5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)3．有效性

若都是的無偏估計量且

或

則稱較為有效估計量。的有效估計量5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)4．羅—克拉美不等式兩個以上的無偏估計量具有最小方差最佳無偏估計量一個估計量羅—克拉美不等式檢驗非最佳無偏估計量5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)4．羅—克拉美不等式 對于一個無偏估計量的方差在一般的條件下，其方差永遠(yuǎn)不會小于一個正數(shù)，這個正數(shù)是的下限，它依賴于總體的概率密度函數(shù)和樣本容量n

即:注：當(dāng)?shù)扔诓坏仁接叶藭r，這時稱為最佳 無偏估計量。5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)[例5.1]若，是總體均值的最佳無偏估計量。［證］5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)羅—克拉美下限值為

為的最佳無偏估計量5.1.1衡量估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)1.特征數(shù)法： 用總體特征數(shù)對應(yīng)的樣本特征數(shù)作為其點估計5.1.2點估計的常用方法

極大似然原理的直觀想法是:一個隨機(jī)試驗如有若干個可能的結(jié)果A,B,C,….若在一次試驗中,結(jié)果A出現(xiàn),則一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大,也即試驗條件對A出現(xiàn)有利.或者說在試驗的很多可能條件中，認(rèn)為應(yīng)該是使事件A發(fā)生的概率為最大的那種條件存在.

極大似然估計的基本思想5.1.2點估計的常用方法例：假若一個盒子里有許多白球和紅球,而且已知它們的數(shù)目之比是3:1,但不知是白球多還是紅球多.設(shè)隨機(jī)地在盒子中取一球為白球的概率是p.如果有放回地從盒子里取3個球,那么白球數(shù)目X服從二項分布如果樣本中白球數(shù)為0,則應(yīng)估計p=1/4,而不估計p=3/4.因為具有X=0的樣本來自p=1/4的總體的可能性比來自p=3/4的總體的可能性要大.一般當(dāng)X=0,1時,應(yīng)估計p=1/4;而當(dāng)X=2,3時,應(yīng)估計p=3/4.2．最大似然法

設(shè)總體X的概率分布為

或概率密度為其中是未知參數(shù)。

如何求極大似然估計量呢？5.1.2點估計的常用方法求最大似然估計量的步驟為:(1)對給定的總體X，寫出似然函數(shù)(2)列出似然方程(3)求解上述方程，得關(guān)于的解即為的最大似然估計量。5.1.2點估計的常用方法含多個參數(shù)令似然方程或最大似然解5.1.2點估計的常用方法［例5.2］從正態(tài)分布總體X抽取隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn。求的最大似然估計量。解因為:所以，X的概率密度數(shù)函數(shù)為5.1.2點估計的常用方法因此，似然函數(shù)其對數(shù)函數(shù)5.1.2點估計的常用方法求得似然方程組即即解方程組得5.1.2點估計的常用方法例5.3從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取80件，發(fā)現(xiàn)有10件廢品，試用最大似然法估計這批產(chǎn)品的廢品率

點估計就是用一個點(或一個數(shù))去估計未知參數(shù)。區(qū)間估計是一個區(qū)間去估計未知參數(shù)。例：估計明年GDP增長在7%-8%之間，比說增長8%更容易讓人們相信，這是因為給出7%-8%已把可能出現(xiàn)的誤差考慮了。5.2.1區(qū)間估計的概念5.2區(qū)間估計5.2.1區(qū)間估計的概念的樣本使得置信度1-α5.2區(qū)間估計置信度1－α下θ的置信區(qū)間：1-α是置信度，置信度也稱為置信概率α稱為顯著性水平則稱5.2.1區(qū)間估計的概念

是隨機(jī)區(qū)間，不同的樣本觀測值就會得到不同的區(qū)間。置信區(qū)間表達(dá)了區(qū)間估計的精確度，置信概率表達(dá)了區(qū)間的可靠性；而顯著性水平表達(dá)了區(qū)間的不可靠的概率。α=0.01含義是???置信概率定的越大（即可靠性大），置信區(qū)間相應(yīng)也越大（估計精確性越小）一.總體均值的區(qū)間估計 總體服從正態(tài)分布,σ2已知時 當(dāng)

時，（5－7）根據(jù)區(qū)間估計的定義，在1－α置信度下，總體均值μ的置信區(qū)間為：（5－8）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計即：

（5－9）從而有（5－10）即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為：（5－11）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計[例5.5]

已知某零件的直徑服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測得平均直徑為202.5mm，已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.5mm，試建立該種零件平均直徑的置信區(qū)間，給定置信度為0.95。

=202.5,

n=10,1－α=0.955.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計

即計算結(jié)果為：[200.95,204.05]5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得μα/2=1.96所以在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為解：已知σ2未知時

（1）n≥30時，只需將中的σ用S近似代替即可（2）n<30時，由

（5－12）所以

（5－13）即（5－14）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計所以：（5－15）即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為（5－16）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計n≥30時，只需將

中的σ用S近似代替即可。n<30時,由σ2未知時5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計[例5.6]某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每人每天完成作業(yè)時間為120分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30分鐘，試以95％的置信水平估計該大學(xué)全體學(xué)生平均每天完成作業(yè)時間。解：

1-α=0.95μα/2=1.96在95％的置信度下，μ的置信區(qū)間為5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計由上：即[114.12,125.88]5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計二.總體方差的區(qū)間估計（5－17）

（5－18）（5－19）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計所以在1-α置信度下：（5－20）（5－21）σ2的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信區(qū)間為5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)某批產(chǎn)品的應(yīng)力服從正態(tài)分布，為了確定這批產(chǎn)品的應(yīng)力方差，隨機(jī)抽取25件進(jìn)行試驗，測得他們的應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差S=100.取a=0.05,對這批產(chǎn)品的應(yīng)力方差進(jìn)行區(qū)間估計三、總體比率的區(qū)間估計根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n較大時，時，二次分布近似正態(tài)分布。即將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，得（5－27）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計在給定置信度為時，有（5－28）括號內(nèi)5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計

記5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計于是有解得p的置信區(qū)間為

（5－29）5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計另一種近似解法：由于整理得：5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計（5－30）其中中的未知，可用來代替。

5.2.2單個總體參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)某批產(chǎn)品的100個樣品中，得一級品60個，求這批產(chǎn)品的一級品率p的置信水平為0.95的置信區(qū)間。一、兩個總體均值之差的估計設(shè)兩總體X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，由兩總體分別獨立的抽取容量為n1和n2的樣本，？？5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較1.兩個總體方差σ12，σ22，已知，

在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為（5－31）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較2.兩個總體方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，且兩樣本容量均≥30，由S12和S22分別估計σ12和σ22，即可（2）σ12=σ22=σ2，σ2未知，（5－32）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12≠σ22且兩樣本容量均≥30由S12和S22分別估計σ12和σ22，即可5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12=σ22=σ2σ2未知在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較（5－33）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較二、兩個總體方差比的區(qū)間估計由于（5－34）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信區(qū)間為（5－35）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較三、兩個總體比例之差的區(qū)間估計設(shè)兩個總體比例分別為P1和P2，為了估計P1-P2，分別從兩個總體中各隨機(jī)抽取容量為n1和n2的兩個隨機(jī)樣本，并計算兩個樣本的比例（5－36）5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較[例5.7]某減肥用品公司對其所作的報紙廣告在兩個城市的效果進(jìn)行了比較，其分別從兩個城市中隨機(jī)抽取了800名成年人，其中看過該廣告的比例分別為試求:兩城市中看過該廣告的成年人比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間。解：由于n1，n2均為大樣本，1-α=0.95，μα/2=1.965.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較p1-p2的置信區(qū)間為故在95%置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為（0.011，0.049）。5.2.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的比較5.3樣本容量的確定需要考慮問題：(1)要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間？(2)對于構(gòu)造的置信區(qū)間來說，想要多大的置信度？即我們想要多大的可靠度？5.3樣本容量的確定在總體均值的區(qū)間估計時，半置信區(qū)間的寬度為：可得5.3.1估計總體均值時，樣本容量的確定樣本容量n與總體方差、允許誤差、置信度有以下關(guān)系：必要樣本容量n與總體方差成正比。2．在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越小。3.樣本容量n與置信度成正比。5.3.1估計總體均值時，樣本容量的確定[例5.8]一家廣告公司想估計某類商店去年所花的平均廣告費有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為1800000。如置信度取95%，并要使估計值處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？解：已知這家廣告公司應(yīng)抽選28個商店作樣本（注意抽取樣本數(shù)總是整數(shù)，所以n應(yīng)圓整成整數(shù)）。5.3.1估計總體均值時，樣本容量的確定估計總體比例時，允許誤差為：

（5－40）由上式可得出估計總體比例時，確定必要樣本容量的公式。由于總體比率是未知的，因此要用樣本比率代替（5－41）5.3.2估計總體比例時，樣本容量的確定[例5.9]一家市場