連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布和

隨機(jī)變量之間的獨(dú)立1

內(nèi)容復(fù)習(xí)二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布但邊緣分布卻不能唯一確定聯(lián)合分布連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)35即即6設(shè)已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布若則稱(chēng)為在X=xi

的條件下，Y的條件分布律二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律7xy-yyy設(shè)9xy-yy10定義若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，fY(y)在點(diǎn)y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱(chēng)為Y=y

的條件下X

的條件分布函數(shù)，記作稱(chēng)為Y=y

的條件下X

的條件概率密度函數(shù)，記作11注意：對(duì)于每一fY(y)>0的y處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是y的函數(shù),x

是常數(shù),對(duì)于每一fX(x)>0的x處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是x的函數(shù),y

是常數(shù),

類(lèi)似于乘法公式：13類(lèi)似于全概率公式類(lèi)似于Bayes公式14例1設(shè)求解y=x1115例2

已知求17解y=x11當(dāng)fX(x)>0時(shí)，即0<x<1時(shí)，當(dāng)fX(x)=0時(shí)，f(x,y)=0故18x+y=11y=x10.5y=x110.519§3.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性——將事件的獨(dú)立性推廣到隨機(jī)變量定義設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若對(duì)于任何則稱(chēng)隨機(jī)變量X

和Y相互獨(dú)立

兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性實(shí)數(shù)

x,y都有21由定義可知二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立22二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立即二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布23故將代入即得25例3

已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)(2)討論X,Y是否獨(dú)立？26判斷連續(xù)型二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的

兩個(gè)重要結(jié)論

設(shè)f(x,y)是連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，r(x),g(y)為非負(fù)可積函數(shù)，且則(X,Y)相互獨(dú)立且29利用此結(jié)果，不需計(jì)算即可得出(1)中的隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的.再如，服從矩形域{(x,y)|a<x<b,c<y<d}上的均勻分布的二維隨機(jī)變量(X,Y),X,Y是相互獨(dú)立的.30若則X,Y是相互獨(dú)立的.且其邊緣分布為31

設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(Y)也相互獨(dú)立.例如，若X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量則aX+b,cY+d也相互獨(dú)立；X2,Y2也相互獨(dú)立；32隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到n

維隨機(jī)變量若則稱(chēng)隨機(jī)變量X

1,X

2,,X

n

相互獨(dú)立33

若兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同的分布,不能說(shuō)這兩個(gè)隨機(jī)變量相等.

如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互獨(dú)立，則X-11-110.250.25Ypij0.25