第1課時(shí)

正方形及其性質(zhì)19.3正方形第19章

矩形、菱形與正方形1課堂講解正方形的定義正方形邊的性質(zhì)正方形角的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升同學(xué)們觀察下列一組圖片，你發(fā)現(xiàn)了那些幾何圖形：1知識(shí)點(diǎn)正方形的定義知1－講定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形；要點(diǎn)精析：(1)正方形的四條邊相等，說明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四個(gè)角都是直角，說明正方形是特殊的矩形．即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－講例1下面四個(gè)定義中不正確的是(

)A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形B．有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C．有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形D．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形B1下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．正方形是平行四邊形B．正方形是菱形C．正方形是矩形D．菱形和矩形都是正方形知1－練2已知，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是(

)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BC

D．BC＝CD知1－練2知識(shí)點(diǎn)正方形邊的性質(zhì)知2－導(dǎo)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．知2－講正方形邊的性質(zhì)：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行.知2－講例2如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝3，EC＝1.連結(jié)AE，點(diǎn)F在射線AB上，且滿足CF＝AE，則A，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為________．1或7知2－講∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.在Rt△ADE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，∴BF＝DE＝3.∵點(diǎn)F在射線AB上，∴分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，AF＝AB－BF＝4－3＝1；②當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.導(dǎo)引：1

正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．四個(gè)角都相等B．四條邊相等C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相平分2如圖，正方形ABCD的面積為2，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(

)A．2B．

C．4D．

知2－練知2－練3

(中考·畢節(jié))如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(

)A．3B．4C．5D．63知識(shí)點(diǎn)正方形角的性質(zhì)知3－講動(dòng)手操作：制作一張正方形紙片，通過折疊并觀察，回答下列問題.問：它是軸對(duì)稱圖形嗎？有幾條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系？有什么數(shù)量關(guān)系？1.正方形的性質(zhì)：(1)①角：四個(gè)角都是直角；②對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③既是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸，又是中心對(duì)稱圖形；④面積為邊長(zhǎng)的平方或?qū)蔷€平方的一半．(2)正方形的特殊性質(zhì)：①正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；②周長(zhǎng)相等的四邊形中，正方形的面積最大．2.易錯(cuò)警示：正方形具備其他四邊形的所有性質(zhì)，應(yīng)用時(shí)要細(xì)心尋找．知3－講例3如圖，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC

的大小.分析：由正方形的特殊性質(zhì)，可知∠DOC＝90°.易證△ABO≌△CBO，從而可得∠ABD＝同理可得∠DAC＝45°.知3－講例4已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求證：EF∥AB.導(dǎo)引：要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．知3－講解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.又∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA.)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.知3－講通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．總結(jié)知3－講例5如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．導(dǎo)引：知3－講線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易獲解．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm.知3－講解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線垂直平分且相等等性質(zhì)解題，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問題的三把鑰匙．總結(jié)知3－講1

已知正方形紙片ABCD的邊AB長(zhǎng)2cm.求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)和面積.(長(zhǎng)度精確到0.1cm)2

(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度數(shù)是________．知3－練3

(中考·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF＝20°，則∠AED的度數(shù)是________．知3－練4

(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC等于