案例5.1銷售肥皂成員：高明秀、盧怡彤、張蓮新、高星露、李存?zhèn)?、劉楠、桑亞東成本收益平衡問題在資源分配問題中，各種資源的使用是受限制的，問題的目標(biāo)是最有效地利用各種資源。對(duì)于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動(dòng)的姿態(tài)，他們指明哪些收益必須實(shí)現(xiàn)，并且要以最低的成本實(shí)現(xiàn)所指明的收益。這樣，通過指明每種收益的最低可接受水平（minimumacceptablelevel），以及實(shí)現(xiàn)這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本與收益之間的適度平衡。對(duì)于任何成本收益平衡問題，大部分工作將放在識(shí)別所有的活動(dòng)和收益以及收集相關(guān)的數(shù)據(jù)上。需要三種數(shù)據(jù)：每種收益的最低可接受水平、每一活動(dòng)對(duì)相應(yīng)收益的貢獻(xiàn)、每種活動(dòng)的單位成本。解決案例5.1所需要的假設(shè)1.各類廣告受眾不重疊2.隨著廣告量的增加，廣告單位成本不變3.廣告供給不限制（供給一定能滿足需求）4.在任一平臺(tái)所做的每一次額外的廣告都會(huì)帶來相同的銷售增長(zhǎng)，而不考慮已經(jīng)做了多少?gòu)V告利博公司廣告組合問題Profit&GambitCo.Advertising-MixProblemTelevisionPrintMediaRangeNameCellsUnitCost($millions)12AdvertisingUnitsC14:D14IncreasedSalesE8:E10IncreasedMinimumIncreasedSalesPerUnitAdvertisingC8:D10IncreaseinSalesperUnitofAdvertisingSalesIncreaseMinimumIncreaseG8:G10StainRemover0%1%3%>=3%TotalCostG14LiquidDetergent3%2%18%>=18%UnitCostC4:D4PowderDetergent-1%4%8%>=4%TotalCostTelevisionPrintMedia($millions)AdvertisingUnits4310TV30.710PM048最初的最優(yōu)解為，4單位的電視廣告和3單位的印刷媒體廣告，總成本為$10million

可行域TV30.713PM08此時(shí)最優(yōu)解為：3.33單位的電視廣告和4單位的印刷媒體廣告，總成本為$11.33million

可行域TV30.710PM08此時(shí)最優(yōu)解為：4.33單位的電視廣告和3單位的印刷媒體廣告，總成本為$10.33million

可行域TV30.710PM048此時(shí)最優(yōu)解為：4單位的電視廣告和3單位的印刷媒體廣告，總成本為$10million，不發(fā)生改變

可行域如果去污劑的銷量最小增加值為1%，其他不變，去污劑的銷量增加值為4%，洗衣液的銷量增加值為18%，洗衣粉的銷量增加值為13%，電視廣告投入3.33單位，印刷媒體投入4單位，總成本為1133萬美元。如果洗衣液的銷量最小增加值為1%，其他不變，去污劑的銷量增加值為3%。洗衣液的銷量增加值為19%，洗衣粉的銷量增加值為8%，電視廣告投入為4.33單位，印刷媒體投入為3單位，總成本為1033萬美元。如果洗衣粉的銷量最小增加值為1%，其他不變，去污劑的銷量增加值為3%，洗衣液的銷量增加值為18%，洗衣粉的銷量增加值為8%，電視廣告投入4單位，印刷媒體投入3單位，總成本是1000萬美元。去污劑銷量增加的最小增加值廣告投放單位總成本增加的成本電視印刷媒體（百萬美元）（百萬美元）43100%4.5712.1438.8571%4.5712.1438.8570.0002%4.5712.1438.8570.0003%43101.1434%3.333411.3331.3335%2.667512.6671.3336%26141.333洗衣液銷量增加的最小增加值廣告投放單位總成本增加的成本電視印刷媒體（百萬美元）（百萬美元）43100%0361%0360.0002%0360.0003%0360.0004%0360.0005%0360.0006%0360.0007%0.33336.3330.3338%0.66736.6670.3339%1370.33310%1.33337.3330.33311%1.66737.6670.33312%2380.33313%2.33338.3330.33314%2.66738.6670.33315%3390.33316%3.33339.3330.33317%3.66739.6670.33318%43100.33319%4.333310.3330.33320%4.667310.6670.33321%53110.33322%5.333311.3330.33323%5.667311.6670.33324%63120.33325%6.333312.3330.33326%6.667312.6670.33327%73130.33328%7.333313.3330.33329%7.667313.6670.33330%83140.33331%8.2863.07114.4290.42932%8.5713.14314.8570.42933%8.8573.21415.2860.42934%9.1433.28615.7140.42935%9.4293.35716.1430.42936%9.7143.42916.5710.429洗衣粉銷量增加的最小增加值廣告投放單位總成本增加的成本電視印刷媒體（百萬美元）（百萬美元）43100%43101%43100.0002%43100.0003%43100.0004%43100.0005%43100.0006%43100.0007%43100.0008%43100.000我們就平衡問題對(duì)每個(gè)函數(shù)的約束進(jìn)行了分析，最優(yōu)估計(jì)如下所示：假如洗衣液和洗衣粉增加的銷量保持不變，使得去污粉增加的銷量發(fā)生變化，當(dāng)其銷量的最小增加量的變化范圍為2.1%-9%時(shí)，可以保持現(xiàn)有的廣告投入量，因?yàn)楦鶕?jù)我們的計(jì)算所得，此時(shí)的最小成本不會(huì)發(fā)生變化。同樣，我們利用相同的計(jì)算方法可以得到當(dāng)去污粉和洗衣粉的銷量增加量不變而洗衣液銷量的最小增加量在6%-30%之間變化時(shí)，保持現(xiàn)有的廣告投入可以使得成本最小。類似的，洗衣液的銷量的最小增加量的變化范圍為0%-8%。（1）由敏感性報(bào)告可知三種產(chǎn)品的銷量最小增加值允許的增加值分別為0.06,0.12,0.04，而當(dāng)三種產(chǎn)品最小銷售增量分別變化0.01時(shí)，均在各自影子價(jià)格有效的允許變化范圍內(nèi)，總成本的增加量分別為各自的影子價(jià)格乘以百分比，因此噴霧劑最小銷售增加值變?yōu)?.04時(shí)，總成本增加1.3333333，洗衣液最小銷量增加值為0.19時(shí)，總成本增加0.3333333，洗衣粉最小銷量增加值為0.05時(shí)，總成本不變。（2）利用敏感性報(bào)告，我們可知第一個(gè)函數(shù)約束（噴霧去垢劑）的影子價(jià)格為133.33333，其右端值的允許增量為0.06，允許減量為0.00857，所以其允許的變化范圍為0.02143至0.09；第二個(gè)函數(shù)約束（洗衣液）的影子價(jià)格為33.33333，其右端值得允許增量為0.12，允許減量為0.12，所以其允許的變化范圍為0.06至0.3，第三個(gè)函數(shù)約束（洗衣粉）的影子價(jià)格為0，其右端值的允許增量為0.04，允許減量為1E+30，所以其允許的變化范圍為0至0.08：根據(jù)這些允許變化范圍，我們反過來觀察問題C中得到的結(jié)果，在表1中0.03—0.06的變化范圍內(nèi)，總成本遞增量為1.3333333，等于其影子價(jià)格，表二中0.12—0.3的變化范圍內(nèi)，總成本的遞增量為0.3333333，等于其影子價(jià)格，表三中0—0.8變化范圍中，總成本不變，同樣滿足其影子價(jià)格為0。推翻假設(shè)1現(xiàn)實(shí)生活中，電視和印刷媒體并不是完全獨(dú)立的去發(fā)揮作用。存在這樣的情況，有部分人群會(huì)在看到利博公司投放的電視廣告的同時(shí)，還看到印刷媒體廣告。此時(shí)，在考慮這部分人群所帶來的銷量的增加時(shí)，如果仍沿用原先的模型去解決的話，顯然會(huì)導(dǎo)致在各自媒體上做一單位廣告而帶來的相應(yīng)產(chǎn)品銷量的估計(jì)增加比例，被重復(fù)計(jì)算。因此，在這種情況下，我們就需要對(duì)這個(gè)“重疊部分”進(jìn)行考慮。通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和資料，針對(duì)于這兩種方式的廣告投發(fā)的重疊率我們無法獲取在具體的值，我們建議利博公司通過市場(chǎng)調(diào)研的方式，或者通過以往廣告投放時(shí)的后端監(jiān)測(cè)及效果數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（可以采用谷歌廣告監(jiān)測(cè)工具DCM，其中，跨維度覆蓋面報(bào)告可以提供重疊數(shù)據(jù)），從而去估計(jì)該重疊率。目前，我們只能暫且估計(jì)重疊率為5%，看在此情況下，利博公司該如何決策。基于此，我們對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步改進(jìn)。在考慮此問題時(shí)，我們?cè)黾右粭l假設(shè)：H：假設(shè)一個(gè)購(gòu)買者最多只能購(gòu)買各類產(chǎn)品的各一件。（確保銷量增加比例與人群相對(duì)應(yīng)）首先，廣告的總成本計(jì)算不變，仍是Min成本=1TV+2PM噴霧去污劑：只通過印刷媒體廣告增加銷售量，所以它不必考慮“重疊部分”1%PM>=3%洗衣液：兩種途徑的廣告受眾重疊率為5%，而且我們假設(shè)一個(gè)購(gòu)買者最多只能購(gòu)買各類產(chǎn)品的各一件，在此條件下，只有總量的95%才可以轉(zhuǎn)化為有效的銷量增加值，所以我們將模型改為：（1-5%）（3%TV+2%PM）>=18%同理，得到洗衣粉對(duì)應(yīng)的模型：（1-5%）（-1%TV+4%PM）>=4%在這個(gè)模型中，-1%與95%相乘，我們發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值大于-1%，這也說明在考慮重疊率的情況下，電視廣告給洗衣粉帶來的“銷量增加值”增加了。這是因?yàn)?，之前本問題中曾提到“洗衣粉增加份額為-1%的原因是洗衣液的電視商業(yè)廣告會(huì)帶走一些洗衣粉的銷售額”，但是當(dāng)我們考慮如果有人既看電視又看印刷廣告時(shí)，在這種情況下，我們認(rèn)為，由于洗衣粉印刷廣告的作用，這將為洗衣粉“贏回”一些人群，或者說是銷量。我們得到最終模型：最小化成本=1TV+2PMs.t.噴霧去污劑的銷量增加：1%PM>=3%洗衣液的銷量增加：（1-5%）（3%TV+2%PM）>=18%洗衣粉的銷量增加：（1-5%）（-1%TV+4%PM）>=4%以及TV，PM>=0根據(jù)excel分析的結(jié)果顯示，與原先所求得的最優(yōu)解相比，電視廣告的投入量增加了。印刷媒體的廣告量不變，總成本增加。推翻假設(shè)2假設(shè)“隨著廣告量的增加，廣告單位成本不變”不成立。首先我們需要進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，預(yù)估當(dāng)廣告數(shù)量達(dá)到何值時(shí)（假設(shè)為a1，a2），其單位成本發(fā)生改變，改變有兩種方式：1）數(shù)量到達(dá)a之后，每增加一單位廣告的成本為另一常數(shù)值；2）數(shù)量到達(dá)a之后，每增加一單位廣告的成本遞減。由此可知若為情形2），則變?yōu)榉蔷€性規(guī)劃問題，所以在此不對(duì)情形2）進(jìn)行討論，只對(duì)情形1）加以討論。討論如下：根據(jù)調(diào)查當(dāng)電視廣告數(shù)量大于a1（a1>=4或a1=2）時(shí)，其單位成本變?yōu)?.5（百萬），印刷媒體廣告數(shù)量大于a2（a2>=3或a2=2）時(shí)，其單位成本為1（百萬）。a1>=4,a2>=3時(shí)

我們知道（4，3）是我們?cè)诩僭O(shè)廣告單位成本不變時(shí)的最優(yōu)解，所以當(dāng)廣告單位成本發(fā)生改變的最小數(shù)值仍大于最優(yōu)解時(shí)，其對(duì)于模型最優(yōu)解和最小成本均不產(chǎn)生影響。a1=2,a2>=3時(shí)此時(shí)a1=2<4，所以其對(duì)最優(yōu)解和最小成本均會(huì)產(chǎn)生影響。因?yàn)樵瓘V告單位成本不變時(shí)的最優(yōu)解為（4，3），所以我們可知，對(duì)于電視廣告的投放量大于2個(gè)單位，所以進(jìn)行新的規(guī)劃