第六章數(shù)列

第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第一部分六年高考題薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010浙江理)(3)設(shè)S“為等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，84+%=0,貝汁邑=

§2

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通過8a2+%=0，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為8勺=°，解得q=-2,帶入

所求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公

式，屬中檔題

2.(2010全國卷2理)(4).如果等差數(shù)列｛4｝中，a3+a4+a5=12,那么

6Z|+電+…+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).

【解析】％+4+“5=3%=12,%=4,：.q+。2--------1-?7==7a4=28

3.(2010遼寧文)(3)設(shè)S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知3s3=4-2,3S2=a3-2,

則公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

a

解析：選B.兩式相減得，3“3=。4-。3，4—4a3,/.q=—=4.

a3

4.(2010遼寧理)(6)設(shè)｛a.｝是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，S“為其前n項(xiàng)和。已知a2al=1,

§3=7,則S5=

、15,、31,、33,、17

(A)一(B)—(C)一(D)一

2442

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了同學(xué)們解決問題的

能力。

【解析】由a?a,=l可得a：/=1,因此q=二，又因?yàn)镾3=q(l+q+/)=7,聯(lián)力兩

q-

111”(I—5)31

式有(一+3)(——2)=0,所以q=—，所以凝=------72-=-)故選及

qq2J4

2

5.(2010全國卷2文)⑹如果等差數(shù)列｛4｝中，a3+a4+tz5=12,那么q+2+?…+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。

..%+4+%=]2,...%=4%+4+—.+%=37、(％+%)=7%=28

6.(2010安徽文)(5)設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S“=〃2,則%的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】a8=58-S7=64-49=15.

[方法技巧】直接根據(jù)an=5?-5?_,(n>2)即可得出結(jié)論.

7.(2010浙江文)(5)設(shè)s,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，8a2+%=。則叢=

(A)-ll(B)-8

(05(D)ll

解析：通過8a2+%=。，設(shè)公比為4，將該式轉(zhuǎn)化為8%+。2/=0，解得q=-2,帶入

所求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公

式

8.(2010重慶理)(1)在等比數(shù)列｛〃“｝中，％0]0=82007，則公比q的值為

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

解析：:.q=2

“2007

9.（2010廣東理）4.已知｛〃“｝為等比數(shù)列，S是它的前〃項(xiàng)和。若。2?%=2q,且。,

與2%的等差中項(xiàng)為9,則s$=

745

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：設(shè)｛%｝的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,出,%=%?44=2q,即。4=2。由

%與2%的等差中項(xiàng)知ci+2%=2x—即

為1A474

1/C5、1/C5c、1

%=7（2x7_6z4）=T（2x7-2）=7-

24244

,即q=La4=axq=a^—=2,即q=]6.

a4828

10.（2010廣東文）

4.已知數(shù)列5}為等比數(shù)列，名是它的前”項(xiàng)和.若如y=期且4與

25的等差中項(xiàng)為:，則邑=

A.35B.33*CAR.**V3*?1*^?VDW.WW2W9to

解：a2-a3=a^q?a{g'=2al==2

3、5_?351q2./

a.+.a*q"=2x；—**■+4q=——?q=不,a1=——=---=16

9y

16（1-A）

故：S5=-------4=32（1-±）=327=31,選C

1--32

11.（2010山東理）

（9）設(shè)｛生｝是等比數(shù)列，則"a：<生<生”是數(shù)列｛4｝是遞噌數(shù)列的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件、

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條化

【答案】C

【解析】若已知a]<a2<a3，則設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q,因?yàn)閍i〈a2〈a3，所以有aJaMVaiq?,解得q>l,

且a-0,所以數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列卜J是遞噌數(shù)列，則公比q>l且a/0,所以

a^a^ajq2.即a]<a2<a3，所以a]〈a2<a3是數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列的充分必要條件.

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，屬保分題.

12.（2010重慶文）（2）在等差數(shù)列｛《,｝中，%+為=10,則%的值為

（A）5（B）6

（C）8（D）10

【答案】A

解析：由角標(biāo)性質(zhì)得q+與=2%，所以。5=5

二、填空題

1.（2010遼寧文）（14）設(shè)S“為等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，若邑=3,56=24，則

S3=3q+—~J=3

2,解得。1=一1

解析：填15.,a=q+8d=15.

d=29

S6=6a,+6；54=24

2.（2010福建理）11.在等比數(shù)列｛a“｝中，若公比q=4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列

的通項(xiàng)公式%=

【答案】4.

【解析】由題意知q+4q+16q=21,解得q=l,所以通項(xiàng)%=4'L

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

3.（2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2（x〉0）的圖像在點(diǎn)（a*,a/）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

〃為正整數(shù)，a,=16,則a,+a?+ak

解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。

在點(diǎn)（a.,處的切線方程為：y—a/=2%（x—%）,當(dāng)y=0時，解得x=",

所以徽吟,q+…5=16+4+1=21。

三、解答題

1.（2010上海文）21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2

個小題滿分8分。

已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且5“=〃一5?！耙?5,“cN*

⑴證明：｛%—1｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛S,,｝的通項(xiàng)公式，并求出使得S,用>S“成立的最小正整數(shù)〃.

解析：（1）當(dāng)n=1時，ai=-14；當(dāng)時，a,尸S-S,」=-5a+5a"一+1,W.a-1=-（0,,.,-1），

n6

又&-1=-15#0,所以數(shù)列｛a“-l｝是等比數(shù)列；

（2）由⑴知:%—1=—15,（焉），得a”=l—15.（'）,從而

S“=75?圖+〃-90（〃eN*）；

由S+由S>,得d<—，n>log,—+1?14.9>最小正整數(shù)ml5.

16）55j25

2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分）

已知｛a｝是公差不為零的等差數(shù)列，&=1,且a”as,4成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)；（II）求數(shù)列｛2T的前〃項(xiàng)和S.

解（I）由題設(shè)知公差存0,

由a,=l,a”a,4成等比數(shù)列得f=匕第，

11+2”

解得d=l,d=0（舍去），故面,）的通項(xiàng)a“=l+（/?-1）X1=n.

（11）由（I）知2“"=2”,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

S?=2+22+23+---+2"==2n<l~2.

1-2

3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）

已知｛《,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

q+a?—2（—i----）>q+/+%=64（------1------1）

axa2'a3a4a5

（I）求｛qj的通項(xiàng)公式；

（n）設(shè)b“=&+—）2,求數(shù)列收｝的前〃項(xiàng)和T?。

an

【解析】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)、前〃項(xiàng)和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。

（1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于“與d的方程求得“與d,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）由（1）中求得數(shù)列通項(xiàng)公式，可求出BN的通項(xiàng)公式，由其通項(xiàng)公式化可知其和可

分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。

4.（2010江西理）22.（木小題滿分14分）

證明以下命題：

（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c（b〈c）,使得川°?成等差數(shù)列。

（2）存在無窮多個互不相似的三角形△n,其邊長4,b?C“為正整數(shù)且

a：，b：c/成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

（1）考慮到結(jié)構(gòu)要證/+。2=2b2,:類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值12,52,72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整

數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過?個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三

角形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當(dāng)片，就C：成等差數(shù)列，則=c；—b；,

分解得：（2+an）（bn-an）=（%+2）（c“-2）

選取關(guān)于n的一個多項(xiàng)式，4〃（〃2一1）做兩種途徑的分解

4〃(〃2-1)=(2〃_2)(2/+2//)=(2/-2〃)(2"+2)4〃(r-1)

an=-2〃一1

2

對比目標(biāo)式，構(gòu)造（bn=n+l（?>4）,由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

Cn="2+2〃-1

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m,n,若△m.△n相似：則三邊對應(yīng)成比例

m2-2m-1_m2+1_m2+2m-1

n2-2n-\n2+1n2+2n-1

由比例的性質(zhì)得：竺匚=竺里=>"?=〃，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

n-1n+1

5.（2010安徽文）（21）（本小題滿分13分）

設(shè)…,C“，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在X軸的正半軸上，且都與直線

y=相切，對每一個正整數(shù)〃，圓都與圓C,+1相互

外切，以表示G的半徑，已知匕,｝為遞增數(shù)列.

（I）證明：為等比數(shù)列；

（H）設(shè)4=1,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和.

r?

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概

括能力以及推理論證能力.

【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)C,的圓心為（4,0）,得4=2/;,同理得

2?+1=2/;,+1,結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即｛/J中

4M與/的關(guān)系，證明匕｝為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求｛/｝的通項(xiàng)公式，代入數(shù)

列2,然后用錯位相減法求和.

解：（1）將直線丫=承斜角記為，則有tan=3與sin*,

設(shè)明圓心為（,公，則由題意得知,4=2rn

4+1=2%+],從而4+將伐（N，9+%]=29+]4n=21；

解得r?+i=31；

故場今比的第悵數(shù)列。

nn

（PI由于，松曲，曲面，rn=3-'-=n*3'-

記S”=1+2+..…+2,則有

r>r2*

S。=1+2*3-|+3*3-2+……〃*3”"

S

半=1*3-|+2*3-2+……+（〃_1）*3?+〃*3-"

①②，得

9Q

—^=1+3-1+3-2+...+3""-〃*3一"

3

1-3-"33

—〃*3-"=——（〃+-）*3-”,

222

91（加3_9T2〃+3）*3~

4224

【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出

關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)。“與a的之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出

通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題,若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)

成的數(shù)列時，通常是利用前n項(xiàng)和S“乘以公比，然后錯位相減解決.

6.（2010重慶文）（16）（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分.）

已知｛怎｝是首項(xiàng)為19,公差為-2的等差數(shù)列，S,為｛q｝的前〃項(xiàng)和.

（I）求通項(xiàng)a,及S”；

（H）設(shè)也-a“｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式及其前

〃項(xiàng)和北.

解：(I)因?yàn)槟恰故鞘醉?xiàng)為%=19.公差d=-2的等差數(shù)列.

所以。.=19=-2n*21,

S、-I9n+—?(-2)?-a5?20n.

(n)由題意6,-a.=3?T,所以A=3-'-2n+21.

T.=S.+(1+3?…+3-')

a-n:+20n+3;.

2

7.(2010浙江文)(19)(本題滿分14分)設(shè)a,,d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為al(公差為d的等差

數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S?,滿足55s6+15=0。

(I)若Ss=5,求§6及a*

(II)求d的取值范圍。

<I)第：川籍。苫.-3.

%-S,?-8.

一一”?7.

所以S.=?3,<1(s7.

(H)解何為a*?J￡?O.

所以《$叫?13八6多?*15=0.

即入」?IW**I-0.

故*?

所以8

故d/；JR價范網(wǎng)為-2JS:7ds?2丹.」

8.(2010北京文)(16)(本小題共13分)

已知I。"為等差數(shù)列，且為=—6，%=0。

(I)求141的通項(xiàng)公式；

(II)若等差數(shù)列I勿I滿足伉=—8,%=%+%+的，求?〃?的前n項(xiàng)和公式

解：(I)設(shè)等差數(shù)列他,』的公差1。

因?yàn)椤?=—6,。6=°

%+2d=—6

所以《解得q=—10,d=2

6+5d=0

所以%=-10+(w-l)-2=2n-12

(II)設(shè)等比數(shù)列也,｝的公比為q

因?yàn)橐?q+a2+4———24,b——8

所以—8q=—24即q=3

所以｛包｝的前"項(xiàng)和公式為S"="a")=-3")

i-q

9.(2010四川理)(21)(本小題滿分12分)

已知數(shù)列伯”｝滿足&=0,32=2,且對任意以〃eV都有

azar-1+ain-1—2a^n-x+2(m-n)2

(I)求&?，35；

(II)設(shè)證明:｛。是等差數(shù)列;

(III)設(shè)cf>=(4”一&)q"-'(QWO,n《N),求數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和S〃.

本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解

決問題的能力.

解：(1)由題意,零/〃=2,1,可.得&=2&—a+2=6

再令勿=3,??=1,可得55=253—51+8=20........................2分

⑵當(dāng)〃64*時,由己知(以〃+2代替㈤可得

<32n+3+32n-l=2&2〃+1+8

于是［425+1)+1-—(&〃+【—@”-1)=8

即bn+\—bn=8

所以｛bn｝是公差為8的等差數(shù)列.....................................5分

(3)由(1)(2)解答可知｛'是首項(xiàng)為b、=出一a=6,公差為8的等差數(shù)列

則blt=8n—2,即&"〃一/〃-1=8)一2

另由已知(令加=1)可得

+一I)：

2

那么%+1_a=+生〃-1—2〃+1

2

=2〃

于是cn=2nq~\

當(dāng)q=\時，S,=2+4+6+....+2〃=〃(〃+1)

當(dāng)oWl時，S,=2?q+4?d+6?Q+....+2/7?Q~[.

兩邊同乘以仍可得

qSn=2?4+4?q+6??’+....+2n?q.

上述兩式相減得

(1—(7)S=2(l+Q+q+....+qi)—2nq

=2.匕j,

i—q

1—(n+l)q〃+nq"”

i-q

"q"“一(幾+l)q"+1

所以S?=2

(q—l)2

〃(幾+1)(q=l)

綜上所述,Sn=<〃q"i—(〃+l)q"+l12分

(q*1)

2(q—l)2-

10.（2010全國卷1理）（22）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知數(shù)列｛4｝中，a,=l,a?+1=c~—.

a?

（i）設(shè)也=」_,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

2an-2

（II）求使不等式%<an+l<3成立的c的取值范圍.

分析：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查夕

析、歸納、探究和推理論證問題的能力，在解題過程中也滲透了對函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查

第（口）小題難度較大，學(xué)生不易得分。

6-2,..1_26.422

解：（I）由己知有句抬一2=---------2=+2,.，?端=4b?+2.,也田+-=4(2+-)

2J2七'-—2a?-2a^-2

717117

.?.｛4+今是一個首項(xiàng)為-L公比為4的等比數(shù)列.h+±=-24"-】即a=-±.4”7-4

333333

（口）由。1=1,。2=。-上=得C>2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c>2時，4〈限

%

（1）當(dāng)門=1時，。2=。---->%，命題成立;

%

(2)假設(shè)"=々時，ak<,那么當(dāng)〃=幺+1時，ak+2=c--^―>c--=ak+^

ak

由（1）、（2）可知當(dāng)c>2時，an<an^

c+-411_

當(dāng)c>2時，令儀=-------------，由%+—<a?+i+—=C，得分<a?

24%

當(dāng)2vc?吧時，a?<a<3.

3

當(dāng)c吟時,a-—'.?*=表3一心料一口一向?/3-1)，

a—1

而當(dāng)?shù)?gt;log3-------時，。一見川一3,。在>3.不滿足題意故舍去。

a-3

綜上C的取值范圍為

11.（2010山東理）（18）（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛4｝滿足：%=7,%+%=26,｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

（I）求％及S“；

(II)令b?=-^―j-(/?GN*),求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,因?yàn)?=7,%+%=26,所以有

q+2d=7

解得q=3,d=2,

2。1+10d=26

2

所以a〃=3+2(〃-l)=2n+l；Sn=3n+x2=n+2n。

11-1C11)

(II)由(I)知a=2n+l,所以b而—；——二--------——

〃a/—1(2n+l)2-l4n(n+l)4nn+l

n

"4223nn+14n+14(n+l)

n

即數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；

4(n+l)

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,

熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。

2009年高考題

一、選擇題

1.（2009年廣東卷文）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為正數(shù)，且%?a9=2a52，啰=1，則％=

A.—B.——C.y/2,D.2

22

【答案】B

【解析】設(shè)公比為q,由已知得即d=2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的

公比為正數(shù)，所以q=故％=&=二=也，選B

q近2

2.（2009安徽卷文）已知低）為等差數(shù)列，為+&+%=I?！穉?+&+與=99,貝/力等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】?；“I+a3+as=105即3a,=105a,=35同理可得?4=33二公差（/=?4-a,=-2/.

a20=+（20-4）xd=1.選Bo

【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“.若%是％與%的等比

中項(xiàng)，Sg=32,則So等于

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由4=4%得（q+3d）2=（q+2d）（q+6d）得24+3d=0,再由

$=8q+—d=32得2q+7d=8則d=2,q=—3,所以

S2=104+二90d=60,.故選C

1012

4.（2009湖南卷文）設(shè)S〃是等差數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和，已知出=3,?6=11,則S7等

于（）

A.13B.35C.49D.63

【解析】$="也=『="2=49?故選，

%=q+d=3

或由《%=1+6x2=13.

%=q+5d=11

所以邑=空S誓1=49.故選C.

5.（2009福建卷理）等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”,且S3=6,%=4,則公差d等于

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］:S?=6=Q（q+%）且。3=4+2d。［=4d=2.故選C

6.（2009遼寧卷文）已知｛4｝為等差數(shù)列，且。7-2%=-1，％=°，則公差d=

A.-2B.——C.—D.2

22

【解析】a?-2ai=aa+4d—2（a^+d）=2d=—1=d=——

2

【答案】B

7.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，首項(xiàng)6=1,%是力和牝的等比中

項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】設(shè)公差為d,則（1+d）2=l?（l+4d）.d￥0,解得d=2,，=100

8.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和為S“，已知氏一+區(qū)川一片=0,

S2&=38,則機(jī)=

A.38B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以，am_l+am+｝=2am,由%-+。,什「屋=0,得：

所以，-2,又邑“38,即創(chuàng)巧3=38,即（2f

X2=38,解得m=10,故選.C。

9..（2009重慶卷文）設(shè)｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，q=2且％,%,4成等比數(shù)列，

則｛q｝的前〃項(xiàng)和S“=（）

222

nInn5nn3幾）

A.-----1-----B.-----1-----C.-----1-----D.vT+rt

443324

【答案】A

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,則根據(jù)題意得（2+2d）2=2<2+5d）,解得d=g或

n（n）n~〃

d=O（舍去），所以數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和=2〃+f—1、]]=1+彳7

二、填空題

10.（2009全國卷I理）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$9=72,則/+%+%=.

答案24

解析?.?｛”“｝是等差數(shù)歹山由$9=72,得.?.§9=9%,%=8

/.出+〃4+。9=（。2+旬）+%=（%+。6）+〃4=3%=24?

11.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比q=L,前〃項(xiàng)和為S“，則區(qū)=

2%

答案：15

61,（1—<y4）3S41—/1U

解析對于S4=------------,%=44、，一=------=15

1一4%q（1-4）

12.（2009北京文）若數(shù)列｛4｝滿足：q=1必川=2a”（〃eN*）,則%=

前8項(xiàng)的和S8=.(用數(shù)字作答)

答案225

.解析本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)

算的考查.

%=\,a2=2a]=2g=2%4,%=2a3=8,%=2%=16,

28-1

易知§8=255，應(yīng)填255.

13.(2009全國卷II文)設(shè)等比數(shù)列｛怎｝的前n項(xiàng)和為s,。若q=1,.%=4S3,則%=

X

答案：3

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由q=1k6=4S3得/=3故a產(chǎn)ad=3

14.(2009全國卷H理)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%=5%則顯=

解析?.?｛仆｝為等差數(shù)列，.?.員=%=9

i"S55%

答案9

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且6s5-553=5，則為=

解析VS?=nai+-n(n—l)d

2

/.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d

.,.6S5-5S3=30ai+60d-(15ai+15d)=15ai+45d=15(ai+3d)=15a.i

答案I

三、解答題

*i2

16.(2009浙江文)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，Sn=kn+nt其中憶是常數(shù).

(I)求〃]及4；

(II)若對于任意的msN”,%，％所，%,”成等比數(shù)列，求女的值.

解(I)當(dāng)72=I,%=S[=左+1,

2

n>2,a〃=Sn-S_]=kn~+n-[k(n-1)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

經(jīng)驗(yàn)，〃=1,(*)式成立，a”=2kn-k+T

(II)??&-癡成等比數(shù)列，，4「二%%〃」

即(4攵加一攵+=(2km-k+1)(8七膂一攵+1),整理得：mk[k-1)=0,

對任意的meN*成立，/.k=0或女=1

17.(2009北京文)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=p〃+q(〃￡N*,P>0).數(shù)列｛"｝定義

如下：對于正整數(shù)倒勾是使得不等式?！ㄖ艹闪⒌乃小ㄖ械淖钚≈?

(I)若p=g,q=一；,求&;

(II)若p=2,q=-1,求數(shù)列也“｝的前2小項(xiàng)和公式;

(III)是否存在0和9,使得超=3機(jī)+2(機(jī)eN*)?如果存在，求0和<7的取值范圍；如

果不存在，請說明理由.

【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.

解(I)由題意，得?！?一n—,解—n—>3>得”2—.

“23233

二,〃一,N3成立的所有〃中的最小整數(shù)為7,即&=7.

233

(II)由題意，得勺=2”一1,

對于正整數(shù)，由42加，得力2爸L

根據(jù)然的定義可知

當(dāng)，”=2攵一1時.，b“,=k(kwN")；當(dāng)加=2%H寸，b,“=k+l(kGN").

4+仇+…+%”=(4+4+…+%"-|)+伍2+a+,?,+%)

=(l+2+3+---+/n)+[2+3+4+---+(/n+l)]

tn(m+\\m(m+3],

=-....乙+—------=m-+2m.

22

(III)假設(shè)存在〃和g滿足條件，由不等式+及p>0得〃2仁工.

P

:粼=3〃?+2(MGN*),根據(jù)超的定義可知，對于任意的正整數(shù)w都有

3/n+1<—―-<3/n+2,即一2p-q4（3〃-1）小<-p-q對任意的正整數(shù)力都成立.

P

當(dāng)3p—1>0（或3p—1<0）時，得6<一正義（或女士幺），

3p-l3p-l

這與上述結(jié)論矛盾！

I9121

當(dāng)3p_]=0,即p=]時，得一§—qW0<—§—q,解得—

；?存在4和g,使得幻=3m+2（團(tuán)￡N"）；

121

夕和0的取值范圍分別是p=,,--<q<.

18.（2009山東卷文）等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S〃，已知對任意的〃EN，，點(diǎn)

（〃,S“），均在函數(shù)y="+〉0且bw1力0均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

H4-1

（11）當(dāng)b=2時，記b〃=——（〃EN+）求數(shù)列｛"J的前〃項(xiàng)和7；

也

解：因?yàn)閷θ我獾摹╳N+,點(diǎn)（〃,S“），均在函數(shù)y=//+r（b>0且均為常數(shù)）的

圖像上.所以得S“=6"+r,

當(dāng)〃=1時，％=S]=b+r,

lnn

當(dāng)〃22時，/=Sn-S,,.,=b"+r-(b"-+r)=b-b-'=(b-l)b"-',

又因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，所以廠=—1,公比為b,所以a“=（b—W

⑵當(dāng)b=2時，％=（I）*=2T2=*=卷上幫

234〃+1

r

則(=中+尹+5+…+2^

234nn+\

小外+無+-三+2"+2

1n+\

相減，得/=￡+?+/+5+???-)-----------------

2〃+i2〃+2

1

>(2"，)n+1_31n+\

123

22〃+242"+2

1--

2

31H+13〃+3

所以7；

22"2,,+122,,+1

【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及己知S“求勺的基本題型,

并運(yùn)用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前〃項(xiàng)和7；.

19.（2009全國卷II文）已知等差數(shù)列｛%｝中，a3a7=-16,4+。6=。,求｛%｝前n項(xiàng)

和外

解析：本題考查等差數(shù)列的基木性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。

解：設(shè)｛”“｝的公差為d,則

(q+2d)(q+6J)=-16

+3d+q+5d=0

。；+8曲+12/=-16

即《

a]=.4d

q=8

解得《

cl=—2

因止匕Sn=一8〃+"1）二〃（〃-9）,或S“二8〃一〃1）=-n^n-9）

20.（2009安徽卷文）已知數(shù)列?。那皀項(xiàng)和&=z/+z%,數(shù)列｛可｝的前n項(xiàng)和

式=2-4

（I）求數(shù)列｛%｝與小｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)q=片4，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n23時，4+1<%

【思路】由“=（，，=，）可求出乙和勿，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在

卜“一S“T522）

求出％和包后，進(jìn)而得到c“，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

【解析】（1）由于q=S]=4

22

當(dāng)〃N2時，an=s〃一s,—二(2n+2n)-[2(n-l)+2(〃-1)]=4nam=4n(nGN*)

又當(dāng)x2〃時"=7；—a_Q_6Q-(2-%)...2bn=bn_｝

：.數(shù)列｛〃,｝項(xiàng)與等比數(shù)歹（l,其首項(xiàng)為1,公比為g

C-16(〃+4*3(〃+])2

(2)由(1)知G=b=16/?2?

nG16n2.2〃2

由屋<1得(〃+D<1即〃2-2〃一1〉0：.”〉1+6■即“23

。2〃

又〃23時（”+?2<1成立，即二旦<1由于C“>0恒成立.

21G

因此，當(dāng)且僅當(dāng)〃23時，Cll+i<Cn

21.(2009江西卷文)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%n"CcosZy-sii?3-),其前〃項(xiàng)和為S”.

⑴求S.；

⑵b?=工，求數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和7；.

H-4

/、二十nrc?22〃乃」,

解AT1：(1)由于cos~2------sin——=cos------，故

333

S3K=(%+。2+。3)+(“4+%+。6)+…+(4*-2+U3k-\+

=(-*+32)+(--+6)+..+(-紗d3+(3f)

222

1331⑻—5%(%+4)

------1--------!-???+

22-2~-—2—一

k(4—%)

2

k(4—9k)(31)2-3k-21

S3k-2=S31------------------1----------------=—k=■------------------

22236

n1

n=3k-2

~3~6,

(n+l)(l-3n)

n=3k-\(ZwN*)

6

“(3〃+4)

n=3k

6

9〃+4

n-4"2-4"

113229n+4

——Ir--1---d--

24424"

I229〃+4]

4T=-[13+—+?■?+I

"24

兩式相減得

行l(wèi)999/2+4.l[一幣9〃+4]Q19M

3T=-[r1ia3+-+---+------------]=-[r1ia3+--7---------]=r-—r-r,

-1232n+,

"244"4"2