三角函數(shù)式的化簡與求值【考綱要求】1．誘導(dǎo)公式：能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．2．同角三角函數(shù)根本關(guān)系理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：；．3．和與差的三角函數(shù)公式〔1〕會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.〔2〕能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.〔3〕能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4．簡單的三角恒等變換能運用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換〔包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶〕.【命題規(guī)律】三角函數(shù)式的化簡與求值在客觀題中進(jìn)行考查通?？蓡为毭}進(jìn)行考查，試題難度中低檔為主，小巧靈活，重視轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；在解答題中，常常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合、與正弦定理和余弦定理結(jié)合，以中檔題為主，堅持以“能力立意〞的命題趨勢，主要考查考生的等價變換能力、運算求解能力、邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化的思想．預(yù)計2023年的高考對三角函數(shù)式的化簡求值仍將會繼續(xù)保持穩(wěn)定，堅持考查在小題中單獨命題考查，在大題中與解三角形要結(jié)合，命題形式會更加靈活、新穎．【典型高考試題變式】〔一〕誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例1【2023四川】=＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得．【方法技巧歸納】有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解，因此必須明確每類誘導(dǎo)公式的功能與作用：誘導(dǎo)公式“〞型的作用是把任意角化為之間的同名三角函數(shù)值；誘導(dǎo)公式“〞型的作用是把負(fù)角化為正角的同名三角函數(shù)值；誘導(dǎo)公式“〞型的作用是把之間角化為之間角的同名三角函數(shù)值；誘導(dǎo)公式“〞型的作用是把之間角化為之間角同名三角函數(shù)值；誘導(dǎo)公式“〞的作用是正弦〔切〕與余弦〔弦〕之間三角函數(shù)名稱的變換．【變式1】【例題中的角度改變，函數(shù)名不變】〔〕A．B．C．D.【答案】B【解析】由題意可得：，應(yīng)選B．【變式2】【例題中的角度改變，函數(shù)名改變】的值是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】=，應(yīng)選A.〔二〕同角三角函數(shù)根本關(guān)系的應(yīng)用例2【2023全國Ⅲ】假設(shè)，那么＿＿＿＿＿＿．A．B．C．1D．【答案】或【解析】＝＝＝，應(yīng)選A．【方法技巧歸納】同角三角函數(shù)的根本關(guān)系的根本功能就是轉(zhuǎn)化功能，利用它可以使函數(shù)種類減少，次數(shù)降低，項數(shù)減少等，從而到達(dá)簡化運算的目的．常用有五種轉(zhuǎn)化途徑：〔1〕正弦與余弦的互化；〔2〕、“1〞和正弦、余弦平方和的互化，即“〞；〔3〕化正弦、余弦為正切，即；〔4〕化正切為正弦、余弦，即；〔5〕正弦、余弦和〔差〕與積的互化，即．【變式1】【例題中的條件不改變，所求三角函數(shù)式改變】假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以＝＝，應(yīng)選D．【變式2】【例題中的條件與結(jié)論進(jìn)行交換】，那么〔〕【答案】〔三〕倍角公式的應(yīng)用例3【2023山東】,那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】，選D．【方法技巧歸納】二倍角公式的正用、逆用、變形用是公式的種主要應(yīng)用手段，特別是二倍角的余弦公式，其變形公式在求值與化簡中有廣泛的應(yīng)用，在綜合使用兩角和與差、二倍角公式化簡求值時，要注意以下幾點：(1)熟練掌握公式的正用、逆用和變形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相對性；(4)注意角的范圍；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、異名化同名、異角化同角等．掌握二倍角的兩個特殊變式：〔1〕＝；〔2〕．【變式1】【例題中的函數(shù)名稱改變，同時強化條件】,且為第二象限的角，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因為,且為第二象限的角，所以，于是，應(yīng)選B．【變式2】【例題的條件與結(jié)論角改為了倍角與差角】，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】，應(yīng)選A．〔四〕兩角和與差的公式的應(yīng)用例4【2023新課標(biāo)】，，那么=__________．【答案】【方法技巧歸納】根據(jù)單角的三角函數(shù)值求和角〔或差角〕的三角函數(shù)，通常將結(jié)論角利用條件角來表示，利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系化為相關(guān)角的三角函數(shù)后，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可求解．常見的配角技巧：；；；；，等等．【變式1】【例題條件中的單角變?yōu)楹徒牵覝p少角的取值范圍，結(jié)論中三角函數(shù)式略有改變】，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】，解得，故＝＝，應(yīng)選B．【變式2】【例題中的角和名稱改變，條件與結(jié)論交換】假設(shè)，，那么的值為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，得，所以．結(jié)合兩角和差正余弦公式有：，應(yīng)選A．【數(shù)學(xué)思想】1．方程思想在三角函數(shù)的應(yīng)用主要表達(dá)在：〔1〕通過建立方程〔組〕求三角函數(shù)值或角；〔2〕通過建立方程〔組〕求相關(guān)的參數(shù)．2．轉(zhuǎn)化與化歸的思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用主要表達(dá)在：〔1〕角的轉(zhuǎn)化，如和角、差角、倍角與單角之間的相互轉(zhuǎn)化；〔2〕三角函數(shù)的名稱之間的轉(zhuǎn)化，，主要是利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系與誘導(dǎo)公式來實現(xiàn)．3．分類討論思想在三角函數(shù)中應(yīng)用主要表達(dá)在：〔1〕遇到同角三角函數(shù)的根本關(guān)系中的平方關(guān)系時，確定三角函數(shù)的符號時，可能要涉及到角的象限的討論；〔2〕利用誘導(dǎo)公式時，如果遇到含有“〞時，可能要考慮分為奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論．【處理三角函數(shù)化簡與求值問題注意點】1．在運用同角三角函數(shù)根本關(guān)系化中的平方關(guān)系時，必須要注意判斷角的范圍或角所在的象限；2．熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號問題和使用原那么，如果出現(xiàn)的形式時，需要對的值進(jìn)行分類討論，以確定三角函數(shù)值的符號．3．熟練掌握公式的正用、逆用和變形使用，以及常值代換的應(yīng)用，和〔差〕角、倍角、單角之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，注意分析角間關(guān)系、所求三角函數(shù)式與公式間的差異，正確選用相應(yīng)公式．4．三角函數(shù)式化簡必須做到五個“盡量〞：〔1〕能求出值的應(yīng)求出值；〔2〕使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；〔3〕使項數(shù)盡量少；〔4〕盡量使分母不含三角函數(shù)；〔5〕盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．【典例試題演練】1．【重慶市巴蜀中學(xué)2023屆高三第二次診斷】〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】原式等于，應(yīng)選D．2．【江西省贛州市2023屆高三第二次模擬】的值為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由，應(yīng)選B．3．【2023屆廣西玉林市、貴港市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測】假設(shè)，那么〔〕A．B．-2C．D．2【答案】A【解析】由，知，那么，應(yīng)選．4．【山西省孝義市2023屆高三下學(xué)期高考考前質(zhì)量檢測三〔5月〕】已有角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知，，∴，應(yīng)選A．5．【2023屆廣西陸川縣中學(xué)高三文上學(xué)期二模】假設(shè)，那么的值為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】,那么原式，應(yīng)選C．6．【福建省福州第一中學(xué)2023屆高三5月質(zhì)檢〔最后一模〕】，那么的值()A．2B．C．3D．【答案】C【解析】,應(yīng)選C．7．是第一象限角，且，那么的值是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因為是第一象限角，且，所以，所以，所以，應(yīng)選B．8．【四川省大教育聯(lián)盟2023屆高中畢業(yè)班第三次診斷】為銳角，假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C9．【2023屆淮北市高三第二次模擬】滿足，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】，應(yīng)選A．10．【河南省2023屆普通高中高三4月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】，那么=〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】，故，故．應(yīng)選B．11．【遼寧省莊河市高級中學(xué)2023屆高三第四次模擬】為第二象限角，，那么的值為〔〕A．B．C．D．【答案】C12．【2023屆湖南省邵陽市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考】假設(shè)，那么實數(shù)的值為()A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，，，，應(yīng)選A．13．【河北省唐山市2023-2023學(xué)年度高三年級第二次模擬】，均為銳角，且，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，均為銳角，且，所以＝，即，那么＝，應(yīng)選A．14．【山東省德州市2023屆高三下學(xué)期4月二?！?，，且，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C15．【重慶市市2023屆高三第一次診斷】_______．【答案】【解析】．16．【四川省成都市9校2023屆高三第四次聯(lián)合模擬】是第二象限角，且，，那么__________．【答案】【解析】由是第二象限角，且，得，所以．17．【湖南省2023屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練卷〔三〕】計算的值等于__________．【答案】【解