4．3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升【課程標(biāo)準(zhǔn)】(1)了解反函數(shù)的定義．(2)了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一反函數(shù)的定義(1)定義：如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中_____________，只有________與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù)．(2)記法：y＝f－1(x).任意一個(gè)y的值唯一的x狀元隨筆1.函數(shù)f(x)＝x2有反函數(shù)嗎？為什么？提示：沒有．若令y＝f(x)＝1，則x＝±1，即x值不唯一，不符合反函數(shù)的定義．2．什么樣的函數(shù)一定有反函數(shù)？提示：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二反函數(shù)的求法對(duì)調(diào)y＝f(x)中的x與y，然后從x＝f(y)中求出y得到．知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系(1)圖象：關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；(2)定義域、值域：原函數(shù)的________與其反函數(shù)的________相同；原函數(shù)的________與其反函數(shù)的________相同．(3)單調(diào)性：原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性________．定義域值域值域定義域相同知識(shí)點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)狀元隨筆指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，一個(gè)函數(shù)的定義域是另一個(gè)函數(shù)的值域，而且它們的單調(diào)性相同．函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax定義域________________值域________________單調(diào)性0<a<1時(shí)，為________；a>1時(shí)，為________R(0，＋∞)(0，＋∞)R減函數(shù)增函數(shù)基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．函數(shù)f(x)＝log4x與g(x)＝4x的圖象(

)A．關(guān)于x軸對(duì)稱

B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱答案：D解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函數(shù)f(x)＝log4x與g(x)＝22x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

答案：B解析：由于函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，則f(x)＝logax，則f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.3．若函數(shù)f(x)＝2x的反函數(shù)為f－1(x)，則f－1(1)＝________．0解析：令2x＝1，則x＝0，所以f－1(1)＝0.4．若函數(shù)y＝f(x)的圖象位于第一、二象限，則它的反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象位于(

)A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第二、三象限 D．第一、四象限答案：D解析：結(jié)合函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于y＝x對(duì)稱得出，即可得出反函數(shù)位于第一、四象限．課堂探究·素養(yǎng)提升題型1判斷函數(shù)是否有反函數(shù)(邏輯推理)例1下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是(

)A．

B．

C．

D．xx>0x＝0x<0f(x)10－1xx是有理數(shù)x是無(wú)理數(shù)g(x)10x12345h(x)－12042x12345l(x)－2－1034【答案】

D【解析】對(duì)A，因?yàn)閒(x)＝1時(shí)，x為任意的正實(shí)數(shù)，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此f(x)的反函數(shù)不存在；對(duì)B，因?yàn)間(x)＝1時(shí)，x為任意的有理數(shù)，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此g(x)的反函數(shù)不存在；對(duì)C，因?yàn)閔(x)＝2時(shí)，x＝2或x＝5，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此h(x)的反函數(shù)不存在；對(duì)D，因?yàn)閘(x)的值域?yàn)閧－2，－1，0，3，4}中任意一個(gè)值，都只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，因此l(x)的反函數(shù)存在．方法歸納判定函數(shù)存在反函數(shù)的方法(1)逐一考查值域中函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量的取值，如果都是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(2)確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，如果函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(3)利用原函數(shù)的解析式，解出自變量x，如果x是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．

1．判斷函數(shù)是否單調(diào)．2．求出x.3．推導(dǎo)出f

－1(x)的解析式．

方法歸納求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟(1)求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；(2)從y＝f(x)中解出x；(3)x，y互換并注明反函數(shù)的定義域．

1．函數(shù)在定義域內(nèi)的值域．2．求x.3．解出f－1(x).

題型3反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，4)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，0)，求a，b的值．函數(shù)與反函數(shù)圖象上相應(yīng)點(diǎn)關(guān)于y＝x對(duì)稱．

反函數(shù)的自變量值即原函數(shù)的函數(shù)值．

【答案】

B方法歸納利用反函數(shù)的性質(zhì)解題互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖象上任一成對(duì)的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則點(diǎn)(b，a)必在其反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象上．跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(1，7)，其反函數(shù)f－1(x)的圖象過點(diǎn)(4，0)，求f(x)的表達(dá)式．兩點(diǎn)關(guān)于y＝x對(duì)稱．解析：∵y＝f－1(x)的圖象過點(diǎn)(4，0)，∴y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(0，4)，∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1，7)，∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.(2)已知函數(shù)f(x)＝1＋2lgx，則f(1)＋f－1(1)＝(

)A．0

B．1C．2

D．3答案：C解析：根據(jù)題意：f(1)＝1＋2lg1＝1，若f(x)＝1＋2lgx＝1，解得x＝1，則f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.題型4指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系例4

已知lga＋lgb＝0，函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是(

)(1)由lga＋lgb＝0得ab＝1.(2)f(x)與y(x)互為反函數(shù)．【答案】

B

方法歸納利用反函數(shù)的性質(zhì)識(shí)圖指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，二者的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，在有關(guān)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知識(shí)問題中利用這一性