2022浙江省湖州市埭溪中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（,）的圖象如圖所示則（

）A.B.C.D.參考答案：D【分析】正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，又有σ越小圖象越瘦長，得到正確的結(jié)果．【詳解】根據(jù)課本中對正太分布密度函數(shù)的介紹知道：當(dāng)正態(tài)分布密度函數(shù)為，則對應(yīng)的函數(shù)的圖像的對稱軸為：，∵正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，∴第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，只能從A，D兩個答案中選一個，∵σ越小圖象越瘦長，得到第二個圖象的σ比第三個的σ要小，第一個和第二個的σ相等故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查密度函數(shù)中兩個特征數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎(chǔ)題．2.曲線圍成的區(qū)域面積是A．

B．

C．24

D．32參考答案：B略3.如圖是函數(shù)的大致圖象，則等于A.1

B.0

C. D. 參考答案：B略4.已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長方形OABC中隨機(jī)投擲1點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在陰影部分的概率為（

）附：若隨機(jī)變量，則，.A.0.1359 B.0.7282 C.0.8641 D.0.93205參考答案：D【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和性質(zhì)，再利用面積比的幾何概型求解概率，即可得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可得：，故所求的概率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型中概率的計(jì)算，以及正態(tài)分布密度曲線的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的對稱性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知三個不等式：

（1）ab>0（2）（3）bc>ad

以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個數(shù)為（）

A．1B.2C.3D.4

參考答案：解析：運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行推理，從較復(fù)雜的分式不等式（2）切入，去尋覓它與（1）的聯(lián)系。

（2）

(溝通與（1）、（3）的聯(lián)系)

由此可知，（1）、（3）（2）；（1）、（2）（3）；（2）、（3）（1）；

故可以組成的正確命題3個，應(yīng)選C6.對于平面和異面直線，，下列命題中真命題是（

）．A．存在平面，使， B．存在平面，使，C．存在平面，滿足， D．存在平面，滿足，參考答案：D選項(xiàng)，如果存在平面，使，，則，與，是異面直線矛盾，故不成立；選項(xiàng)，如果存在平面，使，則，共面，與，是異面直線矛盾，故不成立；選項(xiàng)，存在平面，滿足，，則，因?yàn)?，是任意兩條異面直線，不一定滿足，故不成立；選項(xiàng)，存在平面，使，，故成立．綜上所述，故選．7.已知直線,平面,且,給出下列命題(

)

①若∥，則m⊥；

②若⊥，則m∥;

③若m⊥，則∥；

④若m∥，則⊥

其中正確命題的個數(shù)是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B8.等比數(shù)列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，則a6+a7=（）A．64 B．﹣64 C．32 D．﹣32參考答案：D【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解通項(xiàng)公式即可求解a6+a7的值．【解答】解：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2+a3=4，a4+a5=16，即a2q+a2=4，=16，解得：q2=4．那么：a6+a7==16×4=64．故選：A．9.拋物線的準(zhǔn)線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：D拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，且開口向右，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選D.

10.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】化簡，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案?！驹斀狻坑捎冢缘墓曹棌?fù)數(shù)是，故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法公式以及共軛復(fù)數(shù)的定義。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一名同學(xué)想要報(bào)考某大學(xué)，他必須從該校的7個不同專業(yè)中選出5個，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的順序填寫志愿表．若A專業(yè)不能作為第一、第二志愿，則他共有種不同的填法（用數(shù)字作答）．參考答案：1800【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、在除A之外的6個專業(yè)中，任選2個，作為第一、二志愿，②、第一二志愿填好后，在剩下的5個專業(yè)中任選3個，作為第三四五志愿，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、由于A專業(yè)不能作為第一、第二志愿，需要在除A之外的6個專業(yè)中，任選2個，作為第一、二志愿，有A62=30種填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5個專業(yè)中任選3個，作為第三四五志愿，有A53=60種填法，則該學(xué)生有30×60=1800種不同的填法；故答案為：1800．12.已知函數(shù)，則＝______________。參考答案：13.(1)下面算法的功能是

。(2)下列算法輸出的結(jié)果是（寫式子）

(3）下圖為一個求20個數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語句為

參考答案：(1)統(tǒng)計(jì)x1到x10十個數(shù)據(jù)中負(fù)數(shù)的個數(shù)。(2)(3）i>20

14.已知圓的極坐標(biāo)方程，則該圓的圓心到直線的距離是______________________。參考答案：15.等差數(shù)列{an}中，，，則當(dāng)Sn取最大值時，n的值為__________．參考答案：416.設(shè)P是橢圓上任意一點(diǎn)，、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則cos∠P的最小值是___________________參考答案：17.過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸左側(cè)），則=．參考答案：3【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則可知AA1∥OF∥BB1，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知==，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得xA+xB和xAxB的表達(dá)式，進(jìn)而可求得xAxB=﹣（）2，整理后兩邊同除以xA2得關(guān)于的一元二次方程，求得的值，進(jìn)而求得．【解答】解：如圖，作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直線AB方程為y=xtan30°+即y=x+，與x2=2py聯(lián)立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0兩邊同除以xA2（xA2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案為：3【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及比例線段的知識．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.火車站對乘客退票收取一定的費(fèi)用，具體辦法是：按票價(jià)每10元（不足10元按10元計(jì)算）核收2元；2元以下的票不退.試寫出票價(jià)為x元的車票退掉后，返還的金額y元的算法的程序框圖.參考答案：19.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量解答以下問題：（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)B到平面OCD的距離.參考答案：作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,（3分）(1)

（5分）設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得

（7分）

（9分）(2)設(shè)與所成的角為,

,與所成角的大小為

（13分）(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,

由,得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為（15分）20.(本小題滿分12分)已知⊙H被直線x-y-1=0,x+y-3=0分成面積相等的四個部分,且截x軸所得線段的長為2。(I)求⊙H的方程;(Ⅱ)若存在過點(diǎn)P(0,b)的直線與⊙H相交于M，N兩點(diǎn),且點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍參考答案：（I）設(shè)的方程為，因?yàn)楸恢本€分成面積相等的四部分，所以圓心一定是兩直線的交點(diǎn)，易得交點(diǎn)為，所以.……………………2分又截x軸所得線段的長為2，所以.所以的方程為.…………………4分（II）法一：如圖，的圓心，半徑，過點(diǎn)N作的直徑，連結(jié).當(dāng)與不重合時，，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；當(dāng)與重合時，上述結(jié)論仍成立.因此，“點(diǎn)是線段的中點(diǎn)”等價(jià)于“圓上存在一點(diǎn)使得的長等于的直徑”.…………………6分由圖可知，即，即.……8分顯然，所以只需，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………12分法二：如圖，的圓心，半徑，連結(jié)，過作交于點(diǎn)，并設(shè).由題意得，所以，…………6分又因?yàn)?，所以，將代入整理可得，……………?分因?yàn)?，所以，，解?…………12分

21.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a為實(shí)數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）的極大值為﹣2，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若a＜0，且對任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），從而求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值，從而求出a的值即可；（3）即a≥，設(shè)g（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）a=1時，f（x）=lnx+x，f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，故切線方程是：y﹣1=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣1=0；（2）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=+a=，a≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值，a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）遞增，在（﹣，+∞）遞減，故f（x）的極大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，若函數(shù)y=f（x）的極大值為﹣2，則ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；（3）若a＜0，且對任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，即x∈[1，e]時，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．即a≥，設(shè)g（x）=，則g′（x）=，當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增，∴當(dāng)x∈[1，e]時，g（x）≤g（e）=，∴a＜0，且對任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，0）．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．22.(本小題滿分14分)已知平面上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等.（I）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)(在第一象限).若求直線的方程；（III）在滿足（II）的條件下，試問在曲線上是否存在一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交拋物線于兩點(diǎn)，使得？若存在，