空間幾何體的三視圖、表面積及體積1．[2015·全國卷Ⅰ改編]圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖12-1所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝________．圖12-1圖12-22．[2015·北京卷改編]某三棱錐的三視圖如圖12-2所示，則該三棱錐的表面積是________．3．[2015·浙江卷改編]某幾何體的三視圖如圖12-3所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________．圖12-3圖12-44．[2015·重慶卷改編]某幾何體的三視圖如圖12-4所示，則該幾何體的體積為________．5．[2015·山東卷改編]在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________．6．[2015·江蘇卷]現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________．7．[2015·上海卷]若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2π，則其母線與軸的夾角的大小為________．8．[2015·全國卷Ⅱ改編]已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．考點一三視圖與直觀圖題型：選擇、填空分值：5分難度：中等熱點：三視圖及相關(guān)計算1圖12-5在如圖12-5所示的空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()圖12-6A．①和②B．③和①C．③和④D．④和②[聽課筆記][小結(jié)]找空間幾何體的三視圖，關(guān)鍵要找出空間幾何體的頂點在投影面上的正射影，再看各棱在投影面上的正射影；根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，基本思路是根據(jù)三視圖的畫法進行逆向思考，借助已知的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合題目要求進行肯定或者否定的判斷．要特別注意三視圖中“眼見為實、不見為虛”的畫法規(guī)則．式題若某幾何體的三視圖如圖12-7所示，則此幾何體的直觀圖是()圖12-7圖12-8考點二空間幾何體的表面積與體積題型：選擇、填空分值：5分難度：中等熱點：根據(jù)空間幾何體的三視圖，計算表面積和體積2(1)如圖12-9，網(wǎng)格上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．32＋4πB．24＋4πC．12＋eq\f(4π,3)D．24＋eq\f(4π,3)圖12-9圖12-10(2)已知某幾何體的三視圖如圖12-10所示，正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)[聽課筆記][小結(jié)]高考中求空間幾何體的體積和表面積的試題往往與三視圖結(jié)合，先要根據(jù)空間幾何體的三視圖還原空間幾何體，弄清楚空間幾何體的結(jié)構(gòu)，再進行計算．體積的計算需要知道空間幾何體的底面積和高，多面體表面積的計算需要把各個面的結(jié)構(gòu)弄清楚，分別計算各個面的面積，求和得表面積．在計算面積時要弄清楚是求表面積(全面積)，還是求側(cè)面積．式題(1)某幾何體的三視圖如圖12-11所示，則該幾何體的表面積為()A．8＋2eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．12＋4eq\r(3)D．16＋4eq\r(3)圖12-11圖12-12(2)某幾何體的三視圖如圖12-12所示，則其體積為()A.eq\f(2,3)(π＋1)B.eq\f(4,3)(π＋1)C.eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(1,2)))D.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(1,2)))高考易失分題11三視圖、直觀圖、體積問題的綜合范例圖12-13某籃球架的底座的三視圖如圖12-13所示，則其體積為()A.eq\f(470＋10\r(30),3)B．175C．180D．295＋10eq\r(2)失分分析該類試題最容易把空間幾何體的結(jié)構(gòu)弄錯，其次是計算錯誤，求體積時不能準確進行割補，求面積時出現(xiàn)遺漏或重復等．高考預測圖12-14某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖12-14所示，其中側(cè)視圖是一個邊長為2的正三角形，則這個幾何體的體積是()A．2cm3B.eq\r(3)cm3C．3eq\r(3)cm3D．3cm3考點三多面體與球題型：選擇、填空分值：5分難度：中等熱點：多面體外接球的表面積和體積計算3圖12-15如圖12-15，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點．將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為()A.eq\f(\r(6)π,8)B.eq\f(\r(6)π,6)C.eq\f(\r(6)π,4)D.eq\f(\r(6)π,2)[聽課筆記][小結(jié)]如果一個多面體內(nèi)接于一個球，那么它的各個面的多邊形都是圓的內(nèi)接多邊形，球心到各個頂點的距離都等于球的半徑．式題已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，BC＝eq\r(3)，若球O的體積為eq\f(20\r(5),3)π，則這個直三棱柱的體積等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)

空間幾何體的三視圖、表面積及體積■核心知識聚焦1.2[解析]由三視圖可知，此組合體的前半部分是一個底面半徑為r，高為2r的半圓柱（水平放置），后半部分是一個半徑為r的半球，其中半圓柱的一個底面與半球的半個圓面重合，所以此幾何體的表面積為2r·2r＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)πr2＋πr·2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.2.2＋2eq\r(5)[解析]根據(jù)三視圖可得到直觀圖（如圖所示）.取D為BC的中點，根據(jù)題意可知，AD⊥BC，AD＝2，BC＝2，SA＝1，且SA⊥平面ABC.在Rt△SAB中，SB＝eq\r(1＋4＋1)＝eq\r(6)，同理SC＝eq\r(6)，所以△SBC是等腰三角形，所以BC邊上的高SD＝eq\r(6－1)＝eq\r(5).所以三棱錐的表面積是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).3.eq\f(22,3)cm3[解析]該幾何體是一個正方體和一個四棱錐的組合體，其中正方體的體積為8cm3，四棱錐的體積為eq\f(8,3)cm3，故組合體的體積為eq\f(22,3)cm3.4.eq\f(1,3)＋π[解析]該幾何體是一個三棱錐與圓柱一半的組合體，其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＋eq\f(1,2)×π×12×2＝eq\f(1,3)＋π.5.eq\f(5π,3)[解析]旋轉(zhuǎn)后的幾何體為一個底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐，所求幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5,3)π.6.eq\r(7)[解析]設(shè)新的底面半徑為r，則總體積為eq\f(1,3)πr2×4＋πr2×8＝eq\f(28πr2,3)，原有橡皮泥的體積為eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8＝eq\f(196π,3)，根據(jù)題意eq\f(28πr2,3)＝eq\f(196π,3)，解得r2＝7，即r＝eq\r(7).7.60°[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則其側(cè)面積為πrl，過軸的截面面積為rh，eq\f(πrl,rh)＝2π，得eq\f(h,l)＝eq\f(1,2)，此即為圓錐的母線與軸的夾角的余弦值，故圓錐的母線與軸的夾角為60°.8.144π[解析]如圖所示，當OC⊥平面AOB時，三棱錐O-ABC的體積最大，此時V三棱錐O-ABC＝V三棱錐C-AOB＝eq\f(1,3)S△AOB·R＝eq\f(1,6)R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π.■考點考向探究考點一三視圖與直觀圖例1D[解析]由三視圖及空間直角坐標系可知，該幾何體的正視圖顯然是一個直角三角形且內(nèi)有一條虛線（一銳角頂點與其所對直角邊中點的連線），故正視圖是④；俯視圖是一個鈍角三角形，故俯視圖是②.故選D.變式題A[解析]該幾何體是正方體的一部分，結(jié)合三視圖的特點可知直觀圖為選項A中的圖.考點二幾何體的表面積與體積例2（1）A（2）A[解析]（1）該幾何體是由一個底面邊長為2、高為3的正四棱柱和一個半徑為1的球組成的，故其表面積為2×22＋4×2×3＋4π×12＝32＋4π.（2）如圖，該幾何體的直觀圖為單位正方體中的一個三棱錐，即三棱錐B-A′C′D′，其體積為正方體體積的eq\f(1,6)，即該幾何體的體積為eq\f(1,6).變式題（1）D（2）A[解析]（1）該幾何體是一個四棱柱，其直觀圖如圖所示，其中上、下、左、右四個面都是邊長為2的正方形，前、后兩個面都是底邊長為2，高為eq\r(3)的平行四邊形，故其表面積為4×2×2＋2×2×eq\r(3)＝16＋4eq\r(3).（2）該幾何體是一個四棱錐與一個半球的組合體.四棱錐的高為1，底面正方形的對角線長為2，其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)；半球的半徑為1，其體積為eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3).所以該幾何體的體積為eq\f(2,3)＋eq\f(2π,3)＝eq\f(2,3)（π＋1）.高考易失分題11范例B[解析]該籃球架的底座的直觀圖如圖所示，如果把左、右兩個側(cè)面作為底面，則它是一個柱體.底面積為12×1＋eq\f(6＋5,2)×1＝eq\f(35,2)，高為10，故其體積為eq\f(35,2)×10＝175.高考預測B[解析]該幾何體的直觀圖如圖，其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×（1＋2）×2×eq\r(3)＝eq\r(3)（cm3）.考點三多面體與球例3A[解析]折起后的圖形是棱長為1的正四面體，其直觀圖如圖，它可以看作是一個棱長為eq\f(\r(2),2)的正方體被截去四個角后得到的幾何體，所以它與原正方體具有相同的外接球.棱長為eq\f(\r(2),2)的正方體的體對角線長為eq\f(\r(6),2)，故其外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)，所以外接球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6)π,8).變式題B[解析]由球的體積公式得球的半徑R＝eq\r(5)，由AB＝AC＝1，BC＝eq\r(3)得△ABC是頂角為eq\f(2,3)π的等腰三角形，其外接圓半徑r＝1，所以球心到三棱柱底面的距離為2，所以此三棱柱的體積為eq\f(1,2)×1×1×sineq\f(2,3)π×4＝eq\r(3).■教師備用例題例1（配例1使用）[2015·全國卷Ⅱ]一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)[解析]D幾何體的直觀圖為正方體ABCD-A1B1C1D1截去了一個三棱錐A-A1B1D1，如圖所示.易知V三棱錐A-A1B1D1＝eq\f(1,6)V正方體，所以eq\f(V三棱錐A-A1B1D1,VB1D1C1-ABCD)＝eq\f(1,5)，故選D.例2（配例2使用）[2015·陜西卷]一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4[解析]D該幾何體是底面半徑為1、母線長為1的圓柱被其軸截面截開的半個圓柱，其表面積為eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×eq\f(1,2)×π×12＋2×2＝3π＋4.例3（配例2使用）[2015·全國卷Ⅰ]《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋的內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”.已知一斛米的體積為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛[解析]B由題意，題中圖形為四分之一圓錐，設(shè)圓錐的底面半徑為R，則由eq\f(πR,2)＝8得R＝eq\f(16,π)，所以V米＝eq\f(1,4)V圓錐＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))eq\s\up12(2)×5＝eq\f(320,3π)≈eq\f(320,9)（立方尺），所以eq\f(320,9)÷1.62≈21.95≈22（斛）.例4（綜合應用）[2015·湖南卷]某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能