1111二式理七面用一、利二項(xiàng)式定理展開(kāi)式某一項(xiàng)或指項(xiàng)的系例1

(x

)

的展開(kāi)式中，含的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有（A．4項(xiàng)

B．3項(xiàng)

C．2項(xiàng)

D．項(xiàng)策略：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí)．解：

(x)

的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

r

r()

(3)rrx

r

rx

r

，當(dāng)

r

時(shí)，含x的項(xiàng)的冪指數(shù)為正整數(shù)．故選擇答案B．點(diǎn)評(píng)利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式的某一項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)實(shí)際上就是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的考查，此類問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)．二、利二項(xiàng)式定理展開(kāi)式系數(shù)和例2

若

)

x

R

，則

(a)a)a)

)

_________數(shù)字作答）策略：本題考查賦值法在求解二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和中的應(yīng)用．解：令

(xx)

，則

f(0)

，

f(1)

，即

(a)a)a)a

)2003a

)2004

．點(diǎn)評(píng)賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和的有效方法通過(guò)對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達(dá)到解題目的．三、利二項(xiàng)式定理冪指數(shù)n例3

若2x展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比，xx等于（）A．4．6C．8D．10策略：要求n的值，只需據(jù)題目條件建立一個(gè)關(guān)于的方程即可．解：

1

x)

(x

，1

由題意，得由題意，得，令

，則

2

．r

C

r

1

r令

r，r所r

．C2CCrr2Cr

2

r

．r

，∴

化簡(jiǎn)得

2(kk

，解k4．

．故選擇答案B．點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理求冪指數(shù)n主要是體現(xiàn)了方程思想在二項(xiàng)展開(kāi)式中的應(yīng)用，我們只要根據(jù)題目條件建立關(guān)于的方程，即可獲解．四、利二項(xiàng)式定理明整除題例4

求證3

nnN

能被64除．策略：把

拆成與8倍數(shù)有關(guān)的和式．證明：

3

n

n

C

8

n8

，C

都是自然數(shù)，∴上式各項(xiàng)均為的倍數(shù)，3

nnN

能被64除．點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理證明整除（或求余數(shù)）問(wèn)題，通常把底數(shù)拆成與除數(shù)的倍數(shù)有關(guān)的和式．五、利二項(xiàng)式定理近似值例

的近似值，使誤差小于0．001．策略：因0.9980.002)

，所以可以用二項(xiàng)式定理來(lái)計(jì)算．解：

(10.002)

0.002)0.002)

，2

∵

0.002)0.001

．即第3以后的項(xiàng)的絕對(duì)值都小于0.001，∴從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)可以忽略不計(jì)，即

0.998

．點(diǎn)評(píng)：由

)Cxxx

知，當(dāng)x的絕對(duì)值與相比很小且足夠大時(shí)，

，

，…，

等項(xiàng)的絕對(duì)值就會(huì)更小，因此在精確度允許的范圍之內(nèi)可以忽略不計(jì)．因此可以使用近似計(jì)算公式

)

nx

．在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問(wèn)題對(duì)精確度的要求，來(lái)確定對(duì)展開(kāi)式中各項(xiàng)的取舍．六、利二項(xiàng)式定理明組合問(wèn)題例6

求證：

)

)

)

)

(2!)!n!

．策略：觀察等式

(2)!!n!

的特點(diǎn)，想到構(gòu)造等式

)x))

，利用同一項(xiàng)的系數(shù)相等進(jìn)行證明．證明：已知x

)

x)

C

C

)(

C

，由于

的系數(shù)為第一個(gè)因式中xr

的系數(shù)與第二個(gè)因式中x

的系數(shù)的乘積的和，即

(

C

C

（這是因?yàn)?/p>

r

的系數(shù)

r

與

的系數(shù)

相等）而在

(1

的展開(kāi)式中的系數(shù)C，因此原等式恒成立．點(diǎn)評(píng)對(duì)于本題的解決，基于對(duì)等式的認(rèn)真觀察分析基礎(chǔ)之上，充分利用展開(kāi)式系數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行合理構(gòu)造．七、利二項(xiàng)式定理明不等例7求證：

12

3(nN

≥策略：因?yàn)?/p>

1n

11nn

1n

，所以我們可以借助放縮法來(lái)3

1n211n21證明．證明：

1n

11nnn

，因?yàn)楦黜?xiàng)均是正數(shù)，N所以去掉第二項(xiàng)以后的各項(xiàng)得

；1n

11nn

(n1(·2!3!n!n12!3!!

11