2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬（乙卷）試題文科數(shù)學

【解析版】

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合A=k，—IM},8={0,1,2,3,4},求4八8=（）

A.{-2,-1,0,1,2）B.{-1,0,1,2,3,4}C.{-2,-1,0,1,2,3,4}D.{0,1,2}

2.設（l+2i）x=l+yi（i是虛數(shù)單位，XGR,yeR）,則|x+yi卜（）

A.2亞B.>/5C.2D.近

3.已知命題p：Ht€R,sinx+cosx<-l；命題/若正實數(shù)x,y滿足x+4y=l,則則下列命題中

xy

為真命題的是（)

A.P2B.(「p)△夕C.pM-yq)D.Tp7G

+cosfx--）的最大值是（）

4.函數(shù)f(x)=sin|

I3

A超

B.1C.73D.2

2

'x+y<3

5.若x,y滿足約束條件<x-y<-\,則z=2x+y的最大值為（)

x>0

A.1B.2C.3D.4

6.已知sin(a-￡jjljcos(2a+卦（）

=r

7_7c22

A.一B.C."D.——

9~999

7.在區(qū)間0,y內任取一個數(shù)x,使得不等式百sin2x+cos2x<有成立的概率為（）

A.-B.-D

63-1-i

8.下列結論中正確的是（）

A.當0<x<2時，工一，無最大值x+￡的最小值為3

B.當x?3時，

X

C.當x>0且xwl時，lgx+;—22D.當x<0時，x+-<-1

IgXX

9.已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，若/卜+￡|為偶函數(shù)且"1)=3,則〃2021)+/(2022)=()

A.—3B.—5C.3D.6

10.在長方體中,和CD,與底面所成的角分別為30。和45°,異面直線\D和CD,所成

角的余弦值為()

A3B.正C.逅D.巫

4434

11.雙曲線C:)，=1(〃>02>0)的焦距為4,圓Y+y2=4與雙曲線C及C的一條漸近線在第一象限

的交點分別為A,B,若點B的縱坐標是點A縱坐標的2倍，則C的方程為().

12.已知函數(shù)f(x)=or-e*,Vxe(l,+a)),f(x)<alnx+a-ex,則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo.l]C.(-℃,e)D.(-(?,e]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a=(l,2),b=」/區(qū),<?=(2,-1),則:.[=

14.已知拋物線方程為丁=4x,直線/:x+y+應=0,拋物線上一動點P到直線/的距離的最小值為.

15.AABC中，三內角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,已知‘一+—^=」一，則tanAlanC的值為

cosAcosCcosB

16.已知三棱錐P-ABC的每條側棱與它所對的底面邊長相等，且AABC是底邊長為30，面積為當?shù)?/p>

等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題，每個考生都

必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分

17.(12分)

某市為遏制新型冠狀病毒肺炎的傳播，針對不同的風險區(qū)，施行了不同的封控政策.為保障封控區(qū)人民

群眾日常生活和核酸檢測的順利進行，現(xiàn)面向全市招募志愿者，從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按

年齡分成5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(2)若從第2,4組中用分層抽樣的方法抽取5名志愿者，再從這5名志愿者中抽取2名志愿者負責某中風

險小區(qū)的日常生活物資的運輸工作，求這2名志愿者來自同一年齡分組的概率.

18.(12分)

已知四棱錐P—A3co的底面ABC。為矩形，AB=6,AD=2,E為中點，AE±PB.

(1)求證：AEJ_平面尸5￡)；

(2)若8。，平面R4E,%=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

19.(12分)

已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，$2=；，?2?4=16.

(1)求｛為｝的通項公式；

8

⑵若斗二E—，求數(shù)列也｝的前〃項和7”?

1U&2a〃+3IUO2a〃+4

20.（12分）

已知橢圓C：捺+卓=1(。*0)的左、右焦點分別為"，乙，點加［，()滿足|M￡|+M|=2a,且

△加百用的面積為

(1)求橢圓C的方程；

(2)設橢圓C的上頂點為尸，不過點P的直線/交C于A,8兩點，若R4LP3,證明直線/恒過定點.

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=e'-*+2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若。=2時，求/")的單調區(qū)間；

(2)設g(x)=e、+e-，,若對任意xwR,均存在與e［-l,2］,使得/(x)>g(x0),求實數(shù)。的取值范圍.

(-)選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為(「為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為

F=2+cos0(。為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

［y=sin°

(1)求直線/的普通方程和曲線C的極坐標方程；

(2)若直線/和曲線C交于A,B兩點，且麗=3而，求實數(shù)上的值.

23.［選修45不等式選講］(10分)

已知函數(shù)〃x)=|2x—a|—|2x+3|,g(x)=|x—2|.

(1)當〃=1時，解不等式/(x)N2；

⑵若/(%)Mg(x)在xe[0,1]時有解，求實數(shù)〃的取值范圍.

答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4=卜,_143},8={0,1,2,3,4},求4口8=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,04,2,3,4)

C.{-2-1,0,1,2,3,4}D.{0,1,2}

【解析】解不等式V-143得一2Vx42,^A={X|X2-1<3}={X|-2<X<2),

所以AcB={x|-24x42}c{0,1,2,3,4}={0,1,2},故選：D

2.設(l+2i)x=l+yi(i是虛數(shù)單位，xeR,yeR),則,+刊=()

A.2yj2B.75C.2D.近

【解析】因為(l+2i)x=l+yi,所以x=l,y=2x=2,

所以|x+)可=+2?=\/^.故選：B

3.已知命題p:*eR,sinx+cosx<-l；命題。:若正實數(shù)x,y滿足x+4y=l,則,+，29,則下列命題中

xy

為真命題的是()

A.〃八4B.(「p)八qC./?A(-I^)D.Tp7G

【解析】因為sinx+cosx=&sin(x+?),可知一0<sinx+cosxW夜，

所以王￡/?2訪工+85%<一1,命題〃為真命題；

-■+=(--+--)(x+4y)=5+”+—+2、軍=9,

xyxyxy\xy

當且僅當X=2，y=，等號成立.命題q為真命題.故命題。入4為真命題.故選：A

36

4.函數(shù)/(x)=sin(x-g]+cos(x-f]的最大值是()

A.—B.1C.6D.2

2

【解析】/(x)=sinxcos^-cosxsin^+cosxcosy4-sinx-siny

G.11G./z.

=——sinx——cosx+—cos無+——sinx=V3sinx,

2222

丁TKsinxKl,?,?函數(shù)/(x)的最大值是G.故選：C.

x+y<3

5.若x,y滿足約束條件,x-1,則z=2元+y的最大值為()

x>0

A.1B.2C.3D.4

【解析】根據(jù)題意，作出可行域，進而根據(jù)z的幾何意義求得答案.

如圖，作出可行域.

由Z的幾何意義可知，當直線Z=2x+y過點c時取得最大值，聯(lián)立［"+'=3C（］,2）,則z的最大值為

［x-y=-l

2xl+2=4.故選：D.

6.已知sin(a-?)=g,貝！]8$(21+專)=()

又sin(c-5)=；,故cos(2a+4^)=2x(g]-1=].故選：B.

jr

7.在區(qū)間0,-內任取一個數(shù)x,使得不等式&sin2x+cos2K〈百成立的概率為()

A,-B.-C.-D.-

6336

【解析】因為6sin2x+cos2x<百，所以sin(2x+^]<*^,

3乃7t

解得女)----<x<k/rH,keZ,

412

因為xe0,y,所以xe。6,

所以百sin2x+cos2x<石的解集的區(qū)間長度為毒+弓-?)=。，

￡

32

-=-故選C

則所求概率P=乃3

2一

8.下列結論中正確的是()

A.當0<x42時，x-1無最大值B.當xN3時，x+—1的最小值為3

Xx-1

C.當x>0且x#l時，1g龍+JW2D.當x<0時，x+-<-1

1gXX

【解析】選項A,由)，=兌丫=-1都在(o,2]單調遞增，故〉=X-’在(0,2]單調遞增，因此y=x-!?在(0,2]

XXX

3

上當x=2時取得最大值選項A錯誤；

選項B,當X>1時，x-l>0,tex+—=x-l+-^—+1>2j(x-l)x—i―+1=3,當且僅當x-l,

x-1x-1vx-1x-l

即％=2時等號成立，由于1之3,故最小值3取不到，選項B錯誤；

選項C,令x=o.l,lgx=-l,此時lgx+J一<0,不成立，故C錯誤；

lgx

選項D,當x<0時，-x>0,fex+-=4(-x)+(--!-)]<-2,當且僅當x=L,即x=—1時，等號成立，故

XXX

x+’W-l成立，選項D正確

X

故選：D

9.己知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，若/1+號為偶函數(shù)且"1)=3,則“2021)+〃2022)=()

A.-3B.-5C.3D.6

【解析】因為+為偶函數(shù)，

所以函數(shù)“X)關于直線X=；對稱，則有必+“=〃-x),

因為“X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以〃x)=—〃T)J(0)=0,

所以《|+x)=-〃x),所以〃3+x)=/(x)

所以“X)是以3為周期的周期函數(shù)，

故/(2021)=/(3x674-1)=/(-1)=-/(1)=-3,/(2022)=/(0)=0,

所以〃2021)+/(2022)=-3.故選：A.

10.在長方體ABCC-AMGR中，和C。,與底面所成的角分別為30。和45。，異面直線A。和CR所成

角的余弦值為（）

.7342「巫Vio

?DR?----L.----nL*?-----

4434

【解析】連接AB,BD,則BAt//CD、,

所以NBAQ為異面直線AQ和C"所成角，

因為在長方體A8CO-ABG2中，A。和CR與底面所成的角分別為30。和45°,

所以NADA=30°,ZD,CD=45°,

設A41=a,則==所以8。=2。，48=伍，\D=2a,

在中，由余弦定理得，

A.B2+A.D2-BD22a2+4a2-4a2_M

COS/網。=

2A.BA.D2?y/la-2a4

所以異面直線AQ和C"所成角的余弦值為YZ,故選：B

4

11.雙曲線C:「一馬=1（a>0力>0）的焦距為4,圓V+y2=4與雙曲線C及C的一條漸近線在第一象限

crh2

的交點分別為A,3,若點8的縱坐標是點A縱坐標的2倍，則C的方程為（）.

r2v22222

A.--一匕=1B.犬2_2_=]C.--一匕=1D.---/=1

623223

22

【解析】由題意，雙曲線C:=-4=l（a>01>0）的焦距為4,

ab-

可得2c=4,即c=2,即/+從=4,

又由雙曲線的一條漸近線方程為y=

a

聯(lián)立方程組—=,整理得好生y?=4,即y2=〃，可得%=匕，

X2+/=4廿

（22

2x.__2v_i

2=

又由方程組“2b,整理得（。2+從》2=4/?2一/從，

x2+y2=4

即4y2=(4-/).〃=/,可得以=]_

因為點B的縱坐標是點A縱坐標的2倍，可得6=2x0,解得6=1,

2

2

所以a=拒方=百，所以雙曲線的方程為會-y2=[.故選：D.

12.已知函數(shù)f(x)=ox—e",Vx￡(l,+oo),/(x)valnx+a-er,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(f,e)D.(-8,e]

【解析】由已知alnx+a-ex>ax:-eX,得e、-ex+〃(lnx+l-x)>0,

令夕⑺b-er+aQnx+l-x),%>1,

則d(x)=e*-e+a(/-1),可得以1)=0,"⑴=0,

(1)當aVO時，(p,(x)=et-e+?(--1)>0,Q(x)在"+?>)上單調遞增,

”(x)>e(l)=O,成立；

(2)當a>0時，令”(無)=e"—e+a(—1),貝ij/(x)=e'—T-

XX

令iz(x)=e”一/,則M(x)=e、+?>0,

〃'")在(1,-KO)上單調遞增，「.〃'(x)>M⑴=e-。

①當aWe時，u(x)>wz(l)=e-6r>0

〃(x)在(1,+℃)上單調遞增，二.u(x)>w(l)=0

*(x)在(L-H?)上單調遞增，「.(pM>,(1)=0,成立；

②當a>e時，/(l)=e-avO,E)=-e>0，

???玉ow(l，A),/(%o)=O,當％￡(L%O)，/(%)<O，?.?"(%)在(L/)上單調遞減,

即9。)在a，/)上單調遞減，此時有“ax”⑴=。，，刎幻在a,%)上單調遞減,

(p(x)<(P(X)=0,矛盾；綜上a<e.

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知4=(1,2),五二(一1,加)，al1b。=(2,—1),則反"=

【解析】,.?￡/萬,/.lxm=2x(-l),即加=一2,.?4=(一1,一2),又"=(2,—1),

.,.^c=-lx2+(-2)x(-l)=0

14.已知拋物線方程為V=4x,直線/:x+y+夜=0,拋物線上一動點P到直線/的距離的最小值為.

【解析】設與直線/平行且與拋物線相切的直線方程為X+)，+M=O,

[x+y+m=O,,,

由〈J,,得J+4y+4機=0,則A=16—166=0,得，篦=1,

[y=4x

所以切線方程為x+y+i=o,

所以拋物線上一動點P到直線/的距離的最小值為]=區(qū)二1=紀巨，

x/22

15.AA3C中，三內角A,B,C所對的邊分別為“，h,c,已知‘一+」一=一?一,則tanAlanC的值為

cosAcosCcosB

sinAsinCsinB

【解析】解法一:由正弦定理得--------F-------

cosAcosCcos8

.sinAcosC+cosAsinC_sinB.sin（A+C）sinB

cosAcosCcosBcosAcosCcosB

——-----------=--------,cosAcosC=cosB,ERcos/4cosC=—cos（A+C）,

cosAcosCcos3

/.cosAcosC=-cosAcosC+sinAsinC,即sinAsinC=2cosAcosC,

即tanAtanC=2.

解法二：由正弦定理得竺4+...tanA+tanC=tan3=Tan（A+C）,

cosAcosCcosB

tanA+tanC

tanA+tanC=-又YOVA+CVTI,

1-tantanC

；?tanA+tanCwO,l-tanAtanC=-l,即tanAtanC=2.

16.已知三棱錐P-ABC的每條側棱與它所對的底面邊長相等，且AABC是底邊長為3萬，面積為當?shù)?/p>

等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.

【解析】三棱錐P-A3C可以嵌入一個長方體內，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，如圖,

設PA=BC=3,PB=AC=PC=AB=x,

長方體交于一個頂點的三條棱長為〃，b,c,

通，解得x=5.

貝電ABC=QX3&JX：

由題得/+/=p*=(3&『=18,a2+c2=AC2=25,b2+c2=PC2=25,

解之得。=3,b=3,c=4.

所以該三棱錐的外接球的半徑為R=年＞+c2.=—2+32r42=叵

所以該三棱錐的外接球的表面積為S=4%R2=4萬X

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題，每個考生都

必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分

17.(12分)

某市為遏制新型冠狀病毒肺炎的傳播，針對不同的風險區(qū)，施行了不同的封控政策.為保障封控區(qū)人民

群眾日常生活和核酸檢測的順利進行，現(xiàn)面向全市招募志愿者，從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按

年齡分成5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

顏率

0.02

().01

O*202530354045年齡/每

(1)求”的值；

(2)若從第2,4組中用分層抽樣的方法抽取5名志愿者，再從這5名志愿者中抽取2名志愿者負責某中風

險小區(qū)的日常生活物資的運輸工作，求這2名志愿者來自同一年齡分組的概率.

【解析】⑴???(0.01+0.04+0.07+a+0.02)x5=l,.1.a=0.06.

(2)V0.04:0.06=2:3,

從第2組中抽取2名志愿者，記為A,B；從第4組中抽取3名志愿者，記為c,d,e.

從這5名志愿者中抽取2名志愿者的所有基本事件為：AB,Ac,Ad,Ae,Be,Bd,Be,cd,ce,de,共

10種，

其中2名志愿者來自同一年齡分組的有：AB,cd,ce,de,共4種，

4

所求概率為是「=0.4.

18.(12分)

已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。為矩形，AB=五,AD=2,E為BC中點，AE1PB.

(1)求證：A￡J_平面PQ；

(2)若平面E4E,24=2,求四棱錐尸-ABC。的體積.

【解析】(1)設AE與8。的交點為M,

tanNMEB=——=>/2,tanNMBE=——==—5=>

BEBC2四

/.tanNMEBtanNMBE=1,

.?.在ABME中，NMBE+/MBE=901：.ZBME=90,即AE_LBD.

又AEA.PB,BDCPB=B,BD,PBu平面PBD,，AE_L平面

(2)連接PM，；8。，平面以場，HWu平面R鉆，ABD1PM,

又；A￡_L平面PBO,HWu平面尸8￡),/.AEVPM,

又；AEQBD=M,：.PM_L平面A8CO,

又AMu平面ABC。，PMAM,

在RtA4B￡中，AEA.BM,AB=0，BE=1,

....AB225/3.2瓜

??AM=------=------,??PM=vPA~-AM2=------,

AE33

四棱錐產一ABCD的體積VpABCD=-SmcD-PM='x2x而巫=處.

r-nlt^U3/Tz/iiJVU339

19.(12分)

已知正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為，，S2=1,生%=16.

(1)求｛凡｝的通項公式；

⑵若￡=--------J——，求數(shù)列出｝的前〃項和人

10§2an+3,1°§2。〃+4

【解析】⑴由已知可得，設等比數(shù)列｛叫的公比為/因為4>0,。必=(%)2=16,

所以%=4或%=-4（舍去），邑可得，"?+"）=a,解得

=4［4=4

所以4=qq"T=《4"T=4"-2,故｛%｝的通項公式為4=4"一2（〃€N*）

（2）由第（1）問可知，a,,=4"-2（〃eN*）,

所以a?=叫2B+24"+2=2B+4

log2+3log,4log22=2n+2,log2*=log,log22=2〃+4,

所以仇=1----------號一=—2（）

1嗎4+3既2（2〃+2）（2〃+4）（九+1）（〃+2）〃+1n+2

LLl、tEer/1、z11、,I1、11、■,?11、H

所以刀,=2［（5-3）+（//+（+...+（zQ-Q）］=2（5—QXQ,

數(shù)列我｝的前n項和7,為一二（〃eN*）.

20.（12分）

己知橢圓C：「■+%=1"?＞o）的左、右焦點分別為"，工，點"［，|）滿足防|+|M|=2a,且

△MKK的面積為;.

（1）求橢圓c的方程；

（2）設橢圓C的上頂點為P,不過點尸的直線/交C于A,B兩點，若PALPB,證明直線/恒過定點.

IQ3

【解析】⑴由SVMS『挪用則耳段=2=2c,所以C=1

y.\MF\+\MF^=2a,則點M在橢圓上

1Q

所以*?+京=1,又〃2=6+1,聯(lián)立解得=4/2=3

22

所以橢圓C的方程；—+^=1,

43

（2）由題意尸（0,6）,根據(jù)條件直線AB的斜率必存在，

設直線A8的方程為＞=履+〃?（，〃片6）,4（5,》）,8（々,必），

y=kx+m

由〈Jy2，得（4攵2+3*+8hnx+4〃?2-12=0,

-F-——1

43

22

所以x+毛=^^小，A=（8^m）-4（4）t+3）（W-12）＞0（*）,

由叢_LP3,則西?麗=0,

PAPB=（X］，X—石）-6卜王/+卜?一也乂必一石）

+（左升+%一加-加一々（玉+工（加一

=XjX26）（5+6）=（1+42）&%+（6）2）+6）

=(1+4空涔("一沖翁+(機-可=7m2-6拒m-3

=0

3+4公

所以7〉-6月”-3=0,即(7機+6)(加—6)0,即〃?=—■或加=6（舍）

7

C（

將〃?=一口代入（*）A=64X->0成立.

7

所以直線AB的方程為y=Ax-乎，所以直線AB恒過點

21.（12分）

已知函數(shù)f(x)=e'-公+2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若。=2時，求/")的單調區(qū)間;

(2)設g(x)=e，+eT,若對任意xeR,均存在與e[-l，2],使得/(x)>g(x0),求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)若a=2時，/(x)=e'-2x+2,則/'(x)=e"-2,

令F(x)=e，-2>0,得x>ln2,令/'(x)=e，-2<0,得x<ln2,

所以/(X)在(y,ln2)上單調遞減，在(In2,+/)上單調遞增.

(2)由題意可知，即求/(x)>g(7>),nhl成立的”的取值范圍，

因為g(x)=e、+eT,%e[-1,2],所以e'eLe?],

e

所以e、+eT22(當且僅當x=0時取等號)，

即g(%)mM=2,即求f(x)=e"-奴+2>2對任意xeR成立的0的取值范圍，

當。<0時，/r(x)=e'-a>0,此時/(x)在R上單調遞增，

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且有f(-)=e"-3+2=e"-l<0<2，不滿足/(x)mb,>2；

a

當a=0時，易知〃x)>2,顯然成立;

當a>0時，令/'(x)=e*-4>0,得x>lna,令/"(x)=e*-"0,得xclna,

A/(x)在(《,ln“)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增，

所以/(x)而1,=/(lna)=a-alna+2,所以