考試時間：__________分鐘試題總分班級________學號___________姓名___________任課教師__________一.選擇題每小題3分,共15分),vΑ設ugrad(uv)vu)0u)0div(rot)0|z|zz|zz|z||z|．21212(zz)ArgzArgz2iiArg1212(z)zf00zzni)設n2nnnn1111f(z)sinzz1(z2二.填空題(每小題4分,共20分)yz8uM214x3z1,()ii=e(2k)k,=i2zz2|z|5(z)sinzcosz[f(z]．f，則=02將,1zwi)iz11三計算題(每題12分,共60分)．矢量場Aziz的散度和旋度jxek2222y解:矢量場A的雅可比矩陣為22zy2z222A0zy2zy…………….4分22x2e0yy所以Ayzzcosy0z(ycosy)………………...8分22222otA(xe2zsiny)i2x(yze)j(02xyz)k………….12分2y2y2y12.已知調(diào)和函數(shù)(,)vxy，且f(2)0，求解析函數(shù)()(,)iv(,)fzxy222xyxy22vv……………(4分)x222y222(xy)xy()xy2xyx2xyiy2222()fzvivi(xy)(xy)(xy)222yx222222(x)21………………(8分)2222(xy)z11f(z)c所以，又因為f(2)0，可得，于是cz211f(z)…..…………(12分)2z（其余方法可類似得分）2113.將函數(shù)f(z)在以下圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù).zz)2(1).0|1(2).0|1|1zz11111）f(z)，而，所以n1zz)1zz)22n111n2(n2)z，0|z1……………..(6分)n1nzz)z2n1n1n11111（2）f(z)，而((z，所以nnz)zz1z12n01((z(z((z，0|z1|1...（12分）n2nnnzz)2n0n214．求下列函數(shù)的奇點并判斷其類型包括)5(zz2)23(1).()fz(2).f(z)1ez(sin)z3解：（1）解方程1e0，得zzLn((2ki，k0,2,若設zLn((2ki，k2,，則易知z為f(z)的孤立奇點，另kk外，因e)|e)|0zzzzkzzk所以，由零點的定義知z為1e的一級零點，從而知z為f(z)的一級極點。zkkz不是孤立奇點……………………..(6分)（2）z1是f(z)的2級極點；z2時f(z)的可去奇點。除去z外的所有整數(shù)是f(z)的3級極點。z不是孤立奇點…………......………(12分)（詳見課本153315．求下列積分12x(1).dz(2).z(zzxx1432|z|81）做c:|z，c:|z1|0.25，c:|z1|0.25，則123111dzi，dzdziz(zzz(zzz(zz3331C2C3所以1dz0………….(6分)z(zz3|z|8z2（2）令f(z)，由zz1(zz0，得上半平面奇點42222zz1421313z22i，z2i2211i4i1iResf(z),zResf(z),z，124i所以x2dx2iResf(z),zResf(z),z(12分)214231xx四．證明題(5分)1若在z1內(nèi)，f(z)解析，并且f(z)，則f(0)e(n1)!。(n)1zn!f(z)f(0)證因(n)dz………(2分