第3講三角函數(shù)與解三角形

ー、單選題

1.(2022.全國?高考真題(理))雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳,ん,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為0,過耳作。

的切線與C的兩支交于",N兩點(diǎn),且CoSNKNK=ヌ,則C的離心率為()

A.好B.-C,旭D.—

2222

2.(2022?全國?高考真題)若Sin(＜z+ガ)+cos(α+4)=20cos(α+7)sin∕?,則()

A.tan(二一夕)=1B.tan(α+/)=1

C.tan(α—/7)=-1D.tan(α+4)二一1

3.(2022?全國?高考真題)記函數(shù)y(X)=Sin"+?)+仇の＞())的最小正周期為ア.若與＜T＜乃,且y=f(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(9,2)中心對(duì)稱,則一0=()

A.1B.-C.-D.3

22

4.(2022?全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)人わ=Sin(OX+1)在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則0的

取值范圍是()

^513、「5191(138^∣＜1319^

A.B.C.—D.-7-,—

_36丿!_36丿163」V66_

5.(2022?全國?高考真題(理))沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計(jì)算圓弧長

度的“會(huì)圓術(shù)'',如圖,AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧,。是的43中點(diǎn),ク在45上,C。丄A5.“會(huì)

圓術(shù)”給出4B的弧長的近似值S的計(jì)算公式:s=A8+9.當(dāng)OA=2,NAOB=60。時(shí),S=()

B-?c??0-?6-⑵22?全國?高考真題

(理))函數(shù)y=(3yτ)cosx在區(qū)間一封的圖象大致為()

7.（2022?全國?高考真題（文））將函數(shù)“公

若C關(guān)于y軸對(duì)稱,則。的最小值是（）

?

A.cD

6b?7?I-I

8.（2021.全國.高考真題（文））函數(shù)，（X）=Sinミ+COSう的最小正周期和最大值分別是（）

A.3π和λ∕2B.3兀和2C.6兀和0D.6π和2

2兀25兀

9.（2021,全國?高考真題（文））COS-----COS—)

1212

\_「五D.B

A.bし?----

2?T2

10.（2021.全國.高考真題（理））把函數(shù)y=〃x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的ヨ倍，縱坐標(biāo)不變,

再把所得曲線向右平移《個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin（xπ

的圖像,貝リア（X）=（）

Xπ

A?S嗚哈B.sin—I—

212

C.sinh?-??D.sin2x+—

【12

H.（2021.全國?高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測(cè)

海島的高.如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,。石和ドG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度,

稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和都稱為“表目距”，Ge與E”的差稱為"表目距的差”則海島的高

AB=()

B

表高X表距I表高X表距為加

B.表目距的差表咼

表目距的差

表高X表距表咼X表距ー非

C.+表距n表目距的差表距IiE

表目距的差

12.(2021?全國?高考真題(文))在AA6C中,已知8=120。,AC=曬,AB=2,則BC=)

A.1B.y∣2C.√5D.3

13?（2021?全國?高考真題（文））若To,{∣,tan2α=舞?,則tanα=（

)

Bc?TD.半

ん書-Y

14.（2021?全國?高考真題（理））2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位:m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有A,B,

C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足N/VcE=45。，ZABC'=60。.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)

的仰角為15。,88'與CC’的差為100;由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'3'C'的高度

差A(yù)4'-CC'約為（百之1.732）（）

15.（2021.全國.高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7SinX-J單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

⑹（2021.全國?高考真題）若tan32,ボ喘翳二（）A.-|B.-|C.|D.|

二多選題!7.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)ア（X）=Sin（2x+⑼（〇＜9＜兀）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,

則（）

/(X)在區(qū)間((),工

A.單調(diào)遞減

AX)在區(qū)間卜^|,一?

B.有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線ズ=ク是曲線y=/(X)的對(duì)稱軸

6

y=且-X是曲線y=∕(χ)的切線

D.直線

2

18.(2021.全國.高考真題)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)片(COSa,sine),鳥(CoSガ,一Sin尸)，

A（CoS（α+尸）,sin（α+ガ）），4（1,0）,則（）

A.I西=I西IB.四=國

C.OAOPy=O^O^D.OA-OPx=OF^OP^,

三、填空題

19.(2022全國?高考真題(理))記函數(shù)/(力=8$(的+8)3>0,0<°<兀)的最小正周期為ア,若/(???,

TT

X=§為イ(X)的零點(diǎn),則。的最小值為.

?Γ

20.(2022?全國?高考真題(理))已知△43C中,點(diǎn)。在邊BC上,ZADB=I20。,4)=2,8=280.當(dāng)ク?

AB

取得最小值時(shí),BD=

21.(2021?全國?高考真題(文))已知函數(shù)ア(x)=2CoS(S+の的部分圖像如圖所示，則7

22.(2021?全國?高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=2cos(5+の的部分圖像如圖所示，則滿足條件

7萬4た

/ω-/fw-f>0的最小正整數(shù)X為.

四、解答題

24.(2022?全國?高考真題)記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為ゐんc,分別以4,b,C為邊長的三個(gè)

正三角形的面積依次為5“邑,邑,已知H-S?+S3=3,SinB=丄.

⑴求AABC的面積;

(2)若SinASinC=,求わ.

3

25.(2022?全國?高考真題)記AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知デム=即2,⑴

1+smAl+cos2B

若C=勻,求B；

(2)求之巨的最小值.

C

26.(2022?全國?高考真題(文))記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c?已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=28,求C；

(2)證明:2a2=b2+c2

27.(2022?全國?高考真題(理))記^ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為スんc,已知

SinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(I)證明:2α2=ft2+c2;

(2)若Q=5,cosA=—,求/iABC的周長.

28.(2021?全國?高考真題)在^ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長分別為。、わ、h=a+lfc=4+2..

(1)若2sinC=3sinA,求^ABC的面積;

(2)是否存在正整數(shù)。,使得^ABC為鈍角三角形?若存在,求出。的值;若不存在,說明理由.

29.(2021?全國?高考真題)記^ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,J已知わ2=砒,點(diǎn)ハ在邊AC

上,BDsinZABC=αsinC.

(1)證明:BD=b?,

(2)若">=2f>C,求COSNASC

第3講三角函數(shù)與解三角形

ー、單選題

1.（2022.全國?高考真題（理））雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳,ん,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為ハ,過ぐ作。

的切線與C的兩支交于",N兩點(diǎn),且CoSNKNK=ヌ,則C的離心率為（）

A.好B.-C.業(yè)?D.—

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在X軸,設(shè)過ス作圓。的切線切點(diǎn)為G,可判斷N在雙曲線的右支,設(shè)/fJNQ=α,

ΛF2FlN=β,即可求出Sina,Sin夕,CoS",在AKKN中由SinNE出N=Sin（α+ガ）求出SinNス及N,再

由正弦定理求出∣MφI遇I,最后根據(jù)雙曲線的定義得到2?=3α,即可得解:

【詳解】

解:依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在X軸,設(shè)過”作圓。的切線切點(diǎn)為G,

所以。G丄N冗,因?yàn)镃OSN耳N心=ラ＞（）,所以N在雙曲線的右支，

所以I。GI=α,|O周=c,|G娼=わ,設(shè)NGNg=α,KF、N=β,

由COS/耳NK=—,即COSa=—,則Sina=士,sin/?=—,cos/?=—,

555cc

在△尼耳N中,SinNKgN=Sin(萬一αーガ)=sin(α+/?)

.C.ハ4。3。3。+4。

=sinacosβ+cosasinp=—x—+—x—=---------,

5c5c5c

由正弦定理得エ=粵=年

SlnasinpSInN片外N2

所以W用=きsin/GgN=言=IN用=寺Sinガ=,x@=芋

乂防TM=網(wǎng)F咅=絲!生=2”，

所以2h=3α,即セ=コ,

a2

故選:C

2.(2022?全國?高考真題)若sin(α+4)+cos(α+尸)=2&cos(a+；｝in/?,則()

A.tan(＜Z-尸)=1B.tan(α+/)=1

C.tan(a-＞9)=-lD.tan(α+/?)=-1

【答案】C

【解析】

【分析】

由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn),結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】

由已知得:sinacosβ+cosa？,mβ+cosacos-sin?sin∕7=2(cosa-sina)sinβ,

即:SinaCOs/y-COSaSin/?+COSaCOS￡+SinaSin夕=(),

即:sin(α—1)+cos(α—/)=(),

所以tan(&-7?)=-1,

故選:C

3.(2022?全國?高考真題)記函數(shù)/(X)=Sin(OX+?)+伙の＞〇)的最小正周期為T.若そ＜7＜乃,且y=人め

的圖象關(guān)于點(diǎn)(キ,21中心對(duì)稱,則/(ミ)=()

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A【解析】

【分析】

由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)解析式,代入即可得解.

【詳解】

由函數(shù)的最小正周期ア滿足M<T<τ,得ア<女<乃,解得2<0<3,

33ω

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（3,2）對(duì)稱,所以當(dāng)。+?=版?メeZ,且ル=2,

所以の=_丄+2%,んGZ,所以の=/（x）=Sin（gx+?）+2,

所以7'0=sin（;乃+:[+2=1.

故選:A

4.（2022?全國?高考真題（理））設(shè)函數(shù),（X）=Sin（Ox+三）在區(qū)間（〇,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的

取值范圍是（）

^513、「519I門38^∣<1319^

A.-，—B.C.—D.—,-7-

_36丿[36丿<63」166_

【答案】C

【解析】

【分析】

由ズ的取值范圍得到"V+キ的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組,解得即可.

【詳解】

解:依題意口J得<υ>0,因?yàn)閄W（O,萬），所以0x+7T彳,。1+?j,

要使函數(shù)在區(qū)間（0,%）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又y=sinx,xe（g,3，）的圖象如下所示:

5I萬』。,."J3/8<138^

一<ωπ+-<3π,解得一<ω<-,mgι|Jω∈—.

2363\63_

故選:C.

5.(2022?全國?高考真題(理))沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計(jì)算圓弧長

度的“會(huì)圓術(shù)'如圖,AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧,C是的んB中點(diǎn),。在AB上,8丄ΛB?“會(huì)

CD2

圓術(shù)’’給出48的弧長的近似值S的計(jì)算公式:S=AB+-.當(dāng)。4=2,NAo8=60。時(shí),S=()

ll-3√3

11-4且c9-3√3D9-4け

【答案】B

【解析】

【分析】

連接。C,分別求出A3,OC,8,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】

解:如圖,連接。C,

因?yàn)镃是A8的中點(diǎn)，

所以O(shè)C丄AB,

又C。丄AB,所以。,C,￡>三點(diǎn)共線，

即OD=OA=OB=2,

又ZAO3=60°,

所以AB=OA=OB=2,

則OC=G?CD=2-√3，

故選:B.

6.(2022.全國.高考真題(理))函數(shù)y=(3*-3τ)cosx在區(qū)間ー5,?I的圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】

由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】

令ア(X)=)cosx,xe-?,?,

則/(r)=(3——3りcoS(T)=—(3*—3ー、)cosX=—/(X),

所以〃対為奇函數(shù),排除BD;又當(dāng)Xe(O仁)時(shí),3?'-ザ＞0,CoSX＞0,所以〃対＞(),排除C.

故選:A.

7.(2022.全國.高考真題(文))將函數(shù)/(X)=Sin"+計(jì)。＞0)的圖像向左平移さ個(gè)單位長度后得到曲線

C?若C關(guān)于?軸對(duì)稱,則。的最小值是()

A.-B.—C.—D.~

6432

【答案】C

【解析】

【分析】

先由平移求出曲線C的解析式,再結(jié)合對(duì)稱性得竽+?=]+版",keZ,即可求出。的最小值.

【詳解】

由題意知:曲線C為y=sin]の[X+]]+。=Sin(OX+等+10,又C關(guān)于N軸對(duì)稱，貝リ

ωπππ、、r

------1---=----FK7Γ,んWZ,

解得の=9+2にたwZ,又。＞(),故當(dāng)氏=()時(shí),。的最小值為，

故選:C.

8.(2021?全國?高考真題(文))函數(shù)『(X)=S嗚+cosう的最小正周期和最大值分別是()

A.3兀和近B.3π和2C.6兀和后D.6π和2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.

【詳解】

由題，/(?)=sin→cos=√2f?ysin→?y-cos√2sinf→^T_2p

所以/(イ)的最小正周期為^T-叩，

JJ?厶?X?ユ)、つ?J

3

最大值為√L

故選:C.

9.(2021.全國.高考真題(文))cos2?-cos2()A.?B.BC.—D.

322

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得C(√二一C(√?=c0?-sin2??再由二倍角公式即可得解?

【詳解】

由題意,

故選:D.

10.(2021?全國?高考真題(理))把函數(shù)y=/は)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的^?倍,縱坐標(biāo)不變,

再把所得曲線向右平移I?個(gè)單位長度，得到函數(shù)?=Sin卜一斎的圖像,則ハ幻=()

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一:從函數(shù)y=∕(χ)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序,逐次變換,得到ぎ=/[2卜:ーヨリ，即得

再利用換元思想求得y=/W的解析表達(dá)式;

解法二:從函數(shù)y=sin(x-?)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q,利用平移伸縮變換法則得到y(tǒng)=f(χ)的解析表達(dá)

式.

【詳解】

解法一:函數(shù)y=∕(χ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的ラ倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=∕Qχ)的圖象，再

π

把所得曲線向右平移q個(gè)單位長度,應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象,

根據(jù)已知得到了函數(shù)ぎ=卜-?

Sin的圖象，所以/2,イ=sin(%----,令r=2,則

tππtπ

X=—+—,X----=—H-----

234212

所以，(り=Sin

y=sin(x-

解法二:由已知的函數(shù)チ逆向變換,

π

第一步:向左平移;個(gè)單位長度,得至リy=sin(x+]-?=sinIXH---的圖象,

3I12

Xπ

第二步:圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=Sin—+一的圖象,

212

Xπ

即為y="x)的圖象,所以〃X)=Sin—+一

212

故選:B.

11.(2021?全國?高考真題(理))魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測(cè)

海島的高.如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,OE和ドG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度,

稱為‘‘表高’'，EG稱為“表距”，GC和E〃都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高

AB=()

?表高X表距主亠?表高X表距オ亠

a,表目距的差十表咼b?表目距的差表咼

表高X表距

ɑ磊黑+表距D.ー表距

表目距的差

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】

如圖所示:

亠，，L山一ラ4DEEHFGCG

由平面相似可知,益=說，益=就，而

DE=FG,所以

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE—EH=CG-EH+EG,

AB~AH~ACAC-AH~CH

CG-EH+EGEGxDE表高X表距

即AB=×DE=+DE+表高.

CG-EHCG-EH表目距的差

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式,圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.

12.(2021?全國?高考真題(文))在AΛBC中,已知3=120。,AC=曬,AB=2,貝リBC=()

A.1B.√2C.√5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于8C長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】

設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理:が=ど+どー2accos8可得:19=O2+4-2×α×c×cosl20,

即:α2+2a-15=0,解得：α=3(α=-5舍去)，

故BC=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角;

(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角;

(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.

13.(2021?全國?高考真題(文))若ae[o,g].tan2a=cosa,則ta∏α=()

V2J2-s?nɑ

?√15r√5?√5n715

15533

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得tan2α=半?yún)^(qū)=黑空等,再結(jié)合已知可求得Sina=丄,利用同角三角函數(shù)

cos2al-2sιna4

的基本關(guān)系即可求解.

【詳解】

へcosaCsin2a2sinacostzCoSa

?.?tan2a=-----------/.tan2a=----------=-----------ユ——=------,

2-Sinacos2al-2sina2-Sina

?.?α∈(θ,スい.?.cosα≠0,----------;一二-------,解得Sina=丄,

I2)l-2sin^a2-sintz4

r—?一√15Sina√1D

.?.cosa=√l-sιn^a=-----，.?.tana=--------=------.

4cosa15

故選:A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查三角函數(shù)的化筒問題,解題的關(guān)鍵是利用:倍角公式化筒求出sinα.

14.（2021?全國?高考真題（理））2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位:m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有A,B,

C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影ズ8'（’滿足/4て0=45。,NA0C'=6〇。?由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)

的仰角為15。，88'與CC’的差為100;由8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A3'C’的高度

差A(yù)A'-CC’約為（6a1.732）（）

A

【答案】B

【解析】

【分析】

通過做輔助線,將已知所求量轉(zhuǎn)化到ー個(gè)三角形中,借助正弦定理,求得んダ,進(jìn)而得到答案.

過C作C“丄85',過B作比>丄ん4',

故ん4'-CC'=AA'-(3ダー幽=んT-防,+Ioo=">+1OO,

由題,易知ふAΓ>3為等腰宜角三角形,所以AD=DB.

所以AA'—CC'=DB+100=A'8'+100.

因?yàn)?BCH=I5。,所以C"=C'8'=--------

tan15°

在△4ダ。中,由正弦定理得:

A,B,C,B,100100

sin450sin75otan!5ocosl5osinl5o

∕Σ歷

而sin15o=sin(45o-30o)=sin45ocos30°-cos45osin30o='

斫Dl1θθ×4×——

”以A'ダ=ー尸ー?=100(√3+1)≈273,

√6-√2

所以んT-CC=A’ダ+100。373.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將ん4'-CC’的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為A9+100.

15.(2021?全國?高考真題)下列區(qū)間中,函數(shù)/(X)=7sin(x一斎單調(diào)遞增的區(qū)間是()

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2E?-g<x-m<2b?+g(%eZ),利用賦值法可得出結(jié)論.

262

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=sinス的單調(diào)遞増區(qū)間為(2ん;"チ2セア+チ)(ん∈Z),

對(duì)于函數(shù)ア(力=7Sin(X-,由2kπ--<x--<2kπ+-^keZ),

I6丿262

取ス=(),可得函數(shù)

A選項(xiàng)滿足條件,B不滿足條件;

取ん=1,

,CD選項(xiàng)均不滿足條件.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=4sin（＜ur+の形式，再求y=Asin（s+の

的單調(diào)區(qū)間,只需把のX+?？醋饕粋€(gè)整體代入?=Sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把0化為正數(shù).

貝リSine(I+sin2の

16.（2021?全國?高考真題）若tan。=一2)

sinθ+cosθ

AYB-^td?I

【答案】C

【解析】

【分析】

將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn),然后增添分母（I=Sin29+CoSノノ）,進(jìn)行齊次化處理,化為

正切的表達(dá)式,代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】

將式子進(jìn)行齊次化處理得:

sin6(1+sin26)sin^(sin2夕+COS?e+2sindcosθ)

=SinWSin。+CoSの

sin+cossin8+COSe

Sine(Sin6+cosのtai?9+tan。4-22.,,C

-------------=-----=—?改磔fib：C?

sin20+cos20l+tan~Θ1+45

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛:本題如果利用tan。=一2,求出Sine,cos6的值,可能還需要分象限討論其正負(fù),通過齊次化處

理，可以避開了這ー討論.

二、多選題

（2022?全國?高考真題）己知函數(shù)/'（X）=Sin（2x+c）（0＜e＜兀）的圖像關(guān)于點(diǎn)管,（）］中心對(duì)稱,則（

17.)

AX）在區(qū)間（（）,D單調(diào)遞減

A.

B./（X）在區(qū)間（一五,五有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線ス二;是曲線y=.fω的對(duì)稱軸

6

y=當(dāng)一"是曲線ア”）的切線

D.直線

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【詳解】

由題意得:/^yJ=sin^y+<j?1=0?所以行+9=E,?∈Z.

H卩タ=----ι-?π,?∈Z,

夕2π

又()＜。＜兀,所以ん=2時(shí),=3一

Z、

r5

兀

當(dāng)

時(shí)

對(duì)

AX∈ー+2π∈=Sin“圖象知y=/(x)在((),訂上是單調(diào)遞減;

-一

122X3

Lvノ32

對(duì)B,當(dāng)“(-こ，野)時(shí),2x+feR片),由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(x)只有1個(gè)極值點(diǎn),由

2x+笄=子,解得尤=*即X=稱為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

對(duì)C,當(dāng)X=ア時(shí),2x+==3兀,/e?θ,直線X=タ不是對(duì)稱軸;

6366

對(duì)D,由y'=2cos(2x+竺=一1得:cosf2x÷一!んれ,ロへ2π2πへ,"へ2π4兀….C

,解得2xH------------F2ス兀2.xH------------F2ATT,左∈Z,

23333

從而得:X=Aπ或X=二+E,攵EZ

3

所以函數(shù)アハ乃在點(diǎn)。奇處的切線斜率為ん=yし=2cos(=_1,

切線方程為:y-^^=-(N-O)即y=^--x.

故選:AD.

18.(2021?全國?高考真題)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)［(coSa,sinα),E(CoSガ,-sin/?),

A(CoS(α+∕7),sin(α+/?)),A(1,O),則()

A?I網(wǎng)=同B.同=畫

C.OAOPy=OPcO^D.OA-OPx=OP1O^t

【答案】AC

【解析】

【分析】

UUUUUli

A、B寫出西,OP2,APt,的坐標(biāo),利用坐標(biāo)公式求模,即可判斷正誤:C、D根據(jù)向量的坐標(biāo),應(yīng)

用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn),即可判斷正誤.

【詳解】

A：OR=(COSa,sina),OP2=(COS尸,-sin/?),所以|西∣=√cos?a+sii?α=1.|西|=&CoS尸)？+(-sin/)コ=1,

故IORl=IO2I,正確;

B:AI↑=(cosa-1,sina),A^二(CoS尸ー1,一sin/),所以

222

I|=J(COSa-1＞+sina=＞∕cosa—2cosa+1+sin~a=λ∕2(Γ-CoSa)=卜SIrr—=2|Sin§,同理

22

IAP21=λ∕(cθs∕^-l)+sin/?=21siny|,故|産|,|ス冃|不?定相等，錯(cuò)誤;

C:由題意得:OAoP3=IXCoS(α+尸)+()χsin(α+4)=8s(α+ガ)，

OPxOP2=cosa`∞s/?+sina?(—sinβ)=cos(α+β)?正確;

D:由題意得:OA'OPx=IXCOSa+0XSina=CoSa,OP1OP7t=cosβ×cos(tz+/7)÷(―sin/9)×sin(tz+∕7)

=cos(β+(α÷β))=cos(α÷2β),故一般來說次.西ナ邇?的故錯(cuò)誤;

故選:AC

三、填空題19.(2022?全國?高考真題(理))記函數(shù)，(x)=8s(&x+シ)(の＞(),〇＜。＜兀)的最小正周期為ア,

若f6=與,X=う為/(X)的零點(diǎn),則。的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】

首先表示出T,根據(jù)/(T)=孝求出。,再根據(jù)X=ビ為函數(shù)的零點(diǎn),即可求出の的取值,從而得解;

【詳解】

解:因?yàn)楗?x)=COS(3X+9),(の＞(),。＜。＜兀)

所以最小正周期ア=型,因?yàn)?(Γ)=cosf69?—÷=cos(2π+?9)=COS￠7=?,

又()＜:シ＜兀,所以タ=看,即〃ス)=CoS"+

又ス=W為“X）的零點(diǎn),所以その+ラ=￡+她れZ,解得の=3+9NZ∈Z,

9962

因?yàn)椁?gt;0,所以當(dāng)ん=（）時(shí)％in=3;

故答案為:3

20.（2022?全國?高考真題（理））己知AΛBC中,點(diǎn)り在邊BC上,ZADB=120°,AD=2,CD=2BD,當(dāng)外

AB

取得最小值時(shí),BD=.

【答案】T3-l##-l+>/3

【解析】

【分析】

設(shè)8=2%>=2m>o,利用余弦定理表示出C1后,結(jié)合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】

設(shè)CD=2BD=2m>Q,

則在△"￡>中,AB'=BD-+Ab1-IBD-ADcosZADB=w2+4+2m,

在?ACD中,AC2=CD1+AD2-2CD-ADcosZADC=4m1+4-4m，

22

AC_4nr+4-4ffl_4(m+4+2/n)-12(l+m),12

4

所以AB2，ガ+4+2，"2=-------------

∕π+4+2m(加+1)+-----

`丿,n÷l

≥4-----?ニーZ1-2ゝG3L

^つ萬ハ3,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=—?即ル=6一1時(shí),等號(hào)成立,

2.(/H+1)-----7H+1

Vノ〃?+1

所以當(dāng)去取最小值時(shí),^=√3-l.

AB

故答案為:?/?-1.

【分析】

首先確定函數(shù)的解析式,然后求解，(I)的值即可.

【詳解】

31、冗TT3乃2/T

由題意可得:-T=-,ΛT=^,tυ=-=2,

41234T

.13τt._134_._.13/._\

旳、

?X=-----ωx+φ=2x-------?-φ=2kπy：.φ-2kπ--πyk∈Z),

Cππ?ゝ5ππ

令ス=1可得:展一看,據(jù)此有:小)=2COS戸一斎ノ2cos2×-------=2cos——=-G.

6266

故答案為:-也.

【點(diǎn)睛】

己知於)=んns(<υx+o)(A>O,s>0)的部分圖象求其解析式時(shí),A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)

の和。,常用如下兩種方法:

(D由の=芋即可求出。;確定タ時(shí),若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)’‘橫坐標(biāo)則

令OM?+0=0(或ωxo+φ-π),即可求出φ.

(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo),利用ー些己知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖形解出の和の若

對(duì)んの的符號(hào)或?qū)的范圍有要求,則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

22.(2021?全國?高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=2cos(5+ジ)的部分圖像如圖所示,則滿足條件

lπ4だ

fω-f