2020年一模匯編——解析幾何填空題【普陀1】若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)為___________.【答案】2【解析】拋物線的性質(zhì)：，所以【黃浦3】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.【答案】4【解析】由題拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，易得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4【青浦3】直線和直線的夾角大小是【答案】【解析】設(shè)夾角為，則，故夾角【靜安3】若直線和直線的傾斜角分別為和則與的夾角為_____.【答案】【解析】【靜安4】若直線的一個法向量為，則若直線的斜率_____.【答案】【解析】，則單位向量，【寶山5】以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程是.【答案】【解析】焦點(diǎn)，半徑【松江5】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上的點(diǎn)滿足，則【答案】【解析】由橢圓定義得：，又，聯(lián)立得：【虹口6】拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為_________.【答案】1【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到直線的距離【楊浦7】橢圓焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，若，則【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所以，，，所以【奉賢7】若雙曲線的漸近線方程為，它的焦距為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程為，可知或；由焦距為得出，，求得的值【普陀8】設(shè)橢圓，直線過的左頂點(diǎn)交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若是等腰三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則的長軸長等于_________.【答案】【解析】由題知、，設(shè)，有、，所以，解得，將代入得，整理得的長軸長【崇明8】若雙曲線的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為10，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．【答案】【解析】由題意得，，，標(biāo)準(zhǔn)方程為【楊浦9】在直角坐標(biāo)平面中，，，動點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋O(shè)，則，，，，【崇明9】已知，若直線與互相垂直，則的最大值等于___________.【答案】【解析】兩直線互相垂直得，，代入得，，最小值為【寶山9】已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，則圓與直線相交所得的弦長為___________.【答案】【解析】直線方程為，圓心到直線的距離【奉賢9】設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，為動點(diǎn)，，，過點(diǎn)作軸于，過作軸于點(diǎn)，與不重合，與不重合，設(shè)，則點(diǎn)的軌跡方程是______________.【答案】【解析】設(shè)，點(diǎn)，則，又，，于是，由此能求出曲線的方程?！军S浦9】已知、為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的兩條漸近線的夾角為___________.【答案】【解析】由題意可知代入雙曲線方程得則漸近線方程為，故夾角為。【浦東10】若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】可以轉(zhuǎn)化成與有交點(diǎn)，則可知過定點(diǎn)為圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的半圓，兩圖像有交點(diǎn)可得可得 【徐匯10】過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)（在軸的上方），為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且，則到直線的距離為____________.【答案】【解析】由拋物線可知,則，與拋物線聯(lián)立得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上且，得，所以，則到直線的距離為【虹口11】如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的焦距為【答案】【解析】由，可知得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，漸近線為【靜安11】設(shè)雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為________.【答案】【解析】,時，可知【奉賢12】已知直線上有兩個點(diǎn)、，已知，，，滿足，若，，則這樣的點(diǎn)有_________個.【答案】3【解析】設(shè)，則，則或；直線截得的線段長為：；當(dāng)時，有2個點(diǎn)；當(dāng)時，恰好有一個點(diǎn)，共3個點(diǎn).選擇題【閔行13】已知直線的斜率為，則直線的法向量為（）【A】【B】【C】【D】【答案】【解析】根據(jù)法向量與直線斜率的關(guān)系。【徐匯13】過點(diǎn)，且與直線有相同方向向量的直線的方程為（）【A】【B】【C】【D】【答案】B【解析】由題意得，原直線的方向向量為，所以所求直線方程為，所以答案選B【奉賢13】已知點(diǎn)，曲線的方程，曲線的方程，曲線的方程，則“點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)在曲線上”的（）【A】充分非必要條件【B】必要非充分條件【C】充分必要條件【D】既非充分又非必要條件【答案】A【解析】，選A【青浦15】過拋物線（）的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦和，則的值為（）【A】【B】【C】【D】【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，過焦點(diǎn)的弦，【徐匯15】若圓和圓沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）【A】【B】【C】【D】【答案】D【解析】圓表示圓心為，半徑為的圓；圓表示圓心為，半徑為的圓；圓心距離為。由題意得，兩個圓相離或者內(nèi)含，若兩個圓相離，則有，解得；若兩個圓內(nèi)含，則有，解得;故的取值范圍為【浦東15】以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）【A】 【B】 【C】 、【D】【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，故，長軸為，即，那么，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案選B.【崇明15】如圖，在底面半徑和高均為的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)．已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離等于 【A】 【B】1【C】 【D】PEPECODBA【解析】如圖1所示，過點(diǎn)作,垂足為，因?yàn)槭悄妇€的中點(diǎn)，圓錐的地面半徑和高均為，所以,。在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)，，所以，，，即為的中點(diǎn)，所以該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐的頂點(diǎn)的距離為。【黃浦16】設(shè)曲線的方程為，動點(diǎn)、、、在上，對于結(jié)論：①四邊形的面積的最小值為48；②四邊形外接圓的面積的最小值為25；下面說法正確的是（）【A】①錯②對【B】①對②錯【C】①②都錯【D】①②都對【答案】D【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故②正確解答題【奉賢19】平面內(nèi)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為4.（1）若點(diǎn)是第二象限內(nèi)的一點(diǎn)且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)平面內(nèi)有關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩定點(diǎn)，，判別是否有最大值和最小值，請說明理由？【答案】（1）；（2）最大值，最小值【解析】（1）由條件知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓所以，，所以點(diǎn)的軌跡方程是-----------3分設(shè)，由得-----------2分由，點(diǎn)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為-----------2分（2）設(shè)-----------1分、，因?yàn)槭顷P(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個定點(diǎn)，所以、、、為定值----------1分，所以因?yàn)椋?---------1分（*）-----------2分由、為定值，知（*）式在左右端點(diǎn)時有最大值-----------1分在上下端點(diǎn)時有最小值----------1分【楊浦20】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線得焦點(diǎn)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若為等腰直角三角形，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)（3）弦經(jīng)過點(diǎn)，過弦上一點(diǎn)作直線的垂線，垂足點(diǎn)為，求證:“直線與拋物線相切”的一個充要條件是“為弦的中點(diǎn)”?！敬鸢浮浚?）（2）（3）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)為，則，解得又在第一象限（2）易得由等腰直角三角形得，在拋物線上，代入得（3）過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)中點(diǎn)則聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)點(diǎn)處拋物線得切線為聯(lián)立得過處拋物線得切線為化簡得帶入得，軸，與相切時，為中點(diǎn)以上各步均可逆，“直線與拋物線相切”的一個充要條件是“為弦的中點(diǎn)”?！鹃h行20】已知拋物線和圓，拋物線的焦點(diǎn)為.求的圓心到的準(zhǔn)線的距離；若點(diǎn)在拋物線上，且滿足，過點(diǎn)做圓的兩條切線，記切點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍；如圖，若直線與拋物線和圓分別交于四點(diǎn)，證明：的充分必要條件是“直線的方程為”【答案】略【解析】充分性：顯然成立必要性：，成立。【浦東20】已知曲線，過點(diǎn)作直線和曲線交于兩點(diǎn).（1）求曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；（2）若，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié).求直線傾斜角的取值范圍；（3）過點(diǎn)作另一條直線，和曲線交于兩點(diǎn).問是否存在實(shí)數(shù)，使得和同時成立.如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合；如果不存在，請說明理由.【答案】【解析】（1）曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程，分由對稱性，不妨計(jì)算到直線的距離，.（2）設(shè)，，從而又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，8分從而，所以直線傾斜角的取值范圍是（3）當(dāng)直線，直線，當(dāng)直線，直線時，（根據(jù)對稱性，這種不討論不扣分）不妨設(shè)，與雙曲線聯(lián)立可得，由弦長公式，將替換成，可得由，可得，解得，此時成立．因此滿足條件的集合為【普陀20】已知雙曲線的焦距為4，直線與交于不同的點(diǎn)，且時與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.（1）求雙曲線的方程；（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)在線段為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)分別是的左、右兩頂點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求證：線段在軸上的射影長為定值.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）當(dāng)直線與的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得，，又焦距為，則，解得，，則所求雙曲線的方程為（2）設(shè)，，由，得，則，，且，又坐標(biāo)原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，則，即，即，即，則，即，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍（3）線段在軸上的射影長是.設(shè)，由（1）得點(diǎn)，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，又，則直線的方程為，即，又直線的方程為，聯(lián)立方程，消去化簡整理，得，又，代入消去，得，即，則，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.故線段在軸上的射影長為定值【靜安20】已知拋物的準(zhǔn)線方程為.焦點(diǎn)為.（1）求證：拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程：（2）請支出拋物線的對稱性和范圍，并運(yùn)用以上方程證明你的結(jié)論；（3）設(shè)垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）見解析（2）關(guān)于對稱。（3）（在拋物線內(nèi)）【解析】解：（1）設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)，由已知，有．………（4分）化簡得，．………………（1分）備注：如果有“M到焦點(diǎn)的距離=M到準(zhǔn)線的距離”的意識，但距離表達(dá)錯誤，給2分（2）對稱性：拋物線關(guān)于直線對稱．………………（1分）證明：在拋物線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也滿足方程．所以點(diǎn)在拋物線上，即拋物線關(guān)于直線對稱．………（2分）范圍：，即除原點(diǎn)外，拋物線在直線右方．…………（1分）證明：∵,∴，即．……………（2分）如下的關(guān)于范圍的答案及證明同樣給分范圍另解：．………（1分）證明：，．同理可證．……………（2分）備注：如果少一個結(jié)論只扣1分（3）設(shè)與拋物線交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)，（1分）整理得，（1）．（2分）由題意，得，所以，．………（3分）又因?yàn)榱罘匠蹋?）的判別式大于0，可解得，故，的中點(diǎn)的軌跡方程為（）．………………（1分）【寶山20】已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，是橢圓上一點(diǎn).（1）記、是橢圓的左右焦點(diǎn)，若直線過，當(dāng)?shù)降木嚯x與到直線的距離相等時，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程；（3）設(shè)直線和與軸分別交于、，證明：為定值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）設(shè)，易知：、、由題意，（正值為增根）（2）設(shè)、，；；（3）設(shè)、、，同理可得；【虹口20】已知兩點(diǎn)、，設(shè)圓與軸交于、兩點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足：以線段為直徑的圓與圓相內(nèi)切，如圖所示，記動點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)與軸不重合的直線與軌跡交于、兩點(diǎn).（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：；（3）記△、△面積分別為、，求的最大值及此時直線的方程.【答案】（1）；（2）見解析；（3），【解析】（1）聯(lián)結(jié)，設(shè)中點(diǎn)為，由內(nèi)切可知，,即點(diǎn)軌跡為橢圓，方程為：；（2）設(shè)直線，聯(lián)立可得：所以，即，所以，當(dāng)時，，即，又，,所以；（3），，所以，此時，直線的方程為【崇明20】已知橢圓，其左右頂點(diǎn)分別為A，B，上下頂點(diǎn)分別為C，D．圓O是以線段AB為直徑的圓．（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同的點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，求證：為定值；（3）若點(diǎn)P是橢圓上不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，直線AP與圓的另一個交點(diǎn)為Q．是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）-4（3）不存在【解析】（1）由題意，得A，B,所以圓的方程是（2）由題意，得C，D，設(shè)，則直線的方程是：，所以同理科網(wǎng)]因?yàn)椋裕?）顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為：，代入橢圓方程，得：設(shè)，則，所以因?yàn)閳A心到直線的距離所以假設(shè)存在點(diǎn)P，使得，則所以（*）而方程（*）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，故原假設(shè)錯誤，即不存在點(diǎn)P，使得【黃埔20】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為8，若點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓上異于點(diǎn)的任意兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，且滿足的點(diǎn)在軸上，求直線的方程；（3）若直線與的斜率乘積為常數(shù)（），試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知，且，可得，故橢圓的方程為．…4分（2）設(shè)的斜率分別為，則由，可得，……………5分由可得，所以，同理可得，…7分由，可知，即，又，可得，所以的方程為．…10分（3）設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，可得，設(shè)的坐標(biāo)分別為，故……………12分由可得，…14分所以，又，故，可得為定值，故直線過定點(diǎn)．…16分【青浦20】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離和為10，橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線，直線上存在、兩點(diǎn)滿足，求△面積的最小值；（3）若與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于定點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）9；（3）.【解析】(1),點(diǎn)，，所以可得方程為：設(shè)，設(shè)直線方程為：，中點(diǎn)的坐標(biāo)，則直線的方程為：，則，當(dāng)且僅