擬合優(yōu)的卡方檢驗第1頁/共24頁卡方分布擬合檢驗第2頁/共24頁

在前面的課程中，我們已經(jīng)了解了假設檢驗的基本思想，并討論了當總體分布為正態(tài)時，關于其中未知參數(shù)的假設檢驗問題.

然而可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設.第3頁/共24頁如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查，抽取100個鐘作試驗，撥準后隔24小時以后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來.問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？第4頁/共24頁再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的.為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差距.也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點，2點，…，6點的概率都應是1/6.得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設是可信的？問題是：第5頁/共24頁K.皮爾遜這是一項很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計學的開端.

解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂

檢驗法.第6頁/共24頁

檢驗法是在總體X的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關于總體分布的假設的一種檢驗方法.第7頁/共24頁

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)

然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設.使用

對總體分布進行檢驗時，我們先提出原假設:檢驗法這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗，它是一種非參數(shù)檢驗.第8頁/共24頁

在用

檢驗假設H0時，若在H0下分布類型已知，但其參數(shù)未知，這時需要先用極大似然估計法估計參數(shù)，然后作檢驗.檢驗法分布擬合的

的基本原理和步驟如下:檢驗法第9頁/共24頁3.根據(jù)所假設的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù).1.將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區(qū)間,記作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記作fi

，稱為實測頻數(shù).所有實測頻數(shù)之和f1+f2+…+fk等于樣本容量n.第10頁/共24頁標志著經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異的大小.皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異:統(tǒng)計量的分布是什么?在理論分布已知的條件下,npi是常量實測頻數(shù)理論頻數(shù)第11頁/共24頁皮爾遜證明了如下定理:

若原假設中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當時，統(tǒng)計量的分布漸近(k-1)個自由度的分布.

如果理論分布F(x)中有r個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替，那么當時，統(tǒng)計量的分布漸近(k-r-1)個自由度的分布.第12頁/共24頁

為了便于理解，我們對定理作一點直觀的說明.第13頁/共24頁

如果根據(jù)所給的樣本值X1,X2,…,Xn算得統(tǒng)計量的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設，否則就認為差異不顯著而接受原假設.得拒絕域:(不需估計參數(shù))(估計r個參數(shù))查分布表可得臨界值，使得

根據(jù)這個定理，對給定的顯著性水平，第14頁/共24頁

皮爾遜定理是在n無限增大時推導出來的，因而在使用時要注意n要足夠大，以及npi

不太小這兩個條件.

根據(jù)計算實踐，要求n不小于50，以及npi

都不小于5.否則應適當合并區(qū)間，使npi滿足這個要求.第15頁/共24頁

自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全世界記錄到里氏震級4級和4級以上地震共162次,統(tǒng)計如下:(X表示相繼兩次地震間隔天數(shù),Y表示出現(xiàn)的頻數(shù))試檢驗相繼兩次地震間隔天數(shù)X服從指數(shù)分布.解所求問題為:在水平0.05下檢驗假設例第16頁/共24頁由最大似然估計法得X為連續(xù)型隨機變量,(見下頁表)第17頁/共24頁503126171086680.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.056845.165635.575224.737417.204411.97188.32685.79964.01769.2016例3的擬合檢驗計算表第18頁/共24頁在H0

為真的前提下,X的分布函數(shù)的估計為第19頁/共24頁故在水平0.05下接受H0,認為樣本服從指數(shù)分布.第20頁/共24頁

奧地利生物學家孟德爾進行了長達八年之久的豌豆雜交試驗,并根據(jù)試驗結果,運用他的數(shù)理知識,發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律.

在此，我們以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、主動的作用.孟德爾第21頁/共24頁子二代子一代…黃色純系…綠色純系他的一組觀察結果為：黃70，綠27近似為2.59:1，與理論值相近.

根據(jù)他的理論，子二代中,黃、綠之比近似為3:1，第22頁/共24頁

由于隨機性，觀察結果與3:1總有些差距，因此有必要去考察某一大小的差異是否已構成否定3:1理論的充分根據(jù)，這就是如下的檢驗問題.這里，n=70+27=97,