精選文檔離散數(shù)學(xué)答案屈婉玲版第二版高等教育出版社課后答案第一章部分課后習(xí)題參考答案16設(shè)p、q的真值為0；r、s的真值為1，求下列各命題公式的真值。（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1)0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)（0?1）∧(1∨1)0∧10.（3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r)（1∧1∧1）?(0∧0∧0)0（0∧1）→(1∧0)0→01(4)（r∧s）→(p∧q)17．判斷下面一段論述是否為真：“是無(wú)理數(shù)。并且，如果3是無(wú)理數(shù)，則2也是無(wú)理數(shù)。另外6能被2整除，6才能被4整除?！贝穑簆:是無(wú)理數(shù)1q:3是無(wú)理數(shù)0r:2是無(wú)理數(shù)1s:6能被2整除1t:6能被4整除0命題符號(hào)化為：p∧(q→r)∧(t→s)的真值為1，所以這一段的論述為真。19．用真值表判斷下列公式的類(lèi)型：（4）(p→q)→(q→p)(p∧q)（5）(p∧r)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)答：（4）q→pp0011q0101p→qqp1(p→q)→(q→p)1101111011111010100所以公式類(lèi)型為永真式.精選文檔（5）公式類(lèi)型為可滿(mǎn)足式（方法如上例）（6）公式類(lèi)型為永真式（方法如上例）第二章部分課后習(xí)題參考答案3.用等值演算法判斷下列公式的類(lèi)型，對(duì)不是重言式的可滿(mǎn)足式，再用真值表法求出成真賦值.(1)(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式類(lèi)型為永真式qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)(3)P000001111110000010111000101000111101110101010011所以公式類(lèi)型為可滿(mǎn)足式4.用等值演算法證明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)證明（2）(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q).

精選文檔(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式與主合取范式，并求成真賦值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pp)(pq)(pq)q)(qp)(q(pq)(pq)(pq)mmm023∑(0,2,3)主合取范式：(p→q)→(qp)(pq)(qp)q)(qp)(p(p(qp))(q(qp))1(pq)(pq)M1∏(1)(2)主合取范式為：(p→q)qr(pq)qr(pq)qr0.

精選文檔所以該式為矛盾式.主合取范式為∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式為0(3)主合取范式為：(p(qr))→(pqr)(p(qr))→(pqr)r))(pqr)(p(qr))(pqr))(p(pqr))((q111所以該式為永真式.永真式的主合取范式為1主析取范式為∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分課后習(xí)題參考答案14.在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造下面推理的證明：(2)前提：pq,(qr),r結(jié)論：p(4)前提：qp,qs,st,tr結(jié)論：pq證明：（2）①(qr)前提引入①置換r②q③qr②蘊(yùn)含等值式前提引入③④拒取式④r⑤q.

精選文檔⑥pq前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式證明（4）：①tr前提引入①化簡(jiǎn)律②t③qs④st⑤qt前提引入前提引入③④等價(jià)三段論⑥（qt）(tq)⑤置換⑦（qt）⑧q⑥化簡(jiǎn)②⑥假言推理前提引入⑨qp⑩p⑧⑨假言推理⑧⑩合取(11)pq15在自然推理系統(tǒng)P中用附加前提法證明下面各推理：(1)前提：p(qr),sp,q結(jié)論：sr證明①s附加前提引入前提引入②sp③p①②假言推理④p(qr)前提引入⑤qr⑥q③④假言推理前提引入⑦r⑤⑥假言推理.

精選文檔16在自然推理系統(tǒng)P中用歸謬法證明下面各推理：證明：2=(x+)(x).(2)存在x,使得x+5=9.其中(a)個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合.(b)個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合.解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在兩個(gè)個(gè)體域中都解釋為xF(x)，在（a）中為假命題，在(b)中為真命題。(2)在兩個(gè)個(gè)體域中都解釋為xG(x)，在（a）(b)中均為真命題。4.在一階邏輯中將下列命題符號(hào)化:精選文檔(2)F(x):x是北京賣(mài)菜的人H(x):x是外地人9.給定解釋I如下:(c)特定函數(shù)(x,y)=xy,x,yD.(d)特定謂詞(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,yD.說(shuō)明下列公式在I下的含義,并指出各公式的真值:(1)xy(G(x,y)F(x,y))(2)xy(F(f(x,y),a)G(x,y))答:(1)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,如果x<y,那么xy.真值1.(2)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,如果x-y=0,那么x<y.真值0.精選文檔（c）D上函數(shù)=x+y,(x,y)=xy.（d）D上謂詞(x,y):x=y.說(shuō)明下列各式在I下的含義，并討論其真值.(1)xF(g(x,a),x)(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)答:(1)對(duì)于任意自然數(shù)x,都有2x=x,真值0.(2)對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.11.判斷下列各式的類(lèi)型:(1)(3)yF(x,y).解:(1)因?yàn)閜(qp)p(qp)1為永真式；所以為永真式；(3)取解釋I個(gè)體域?yàn)槿w實(shí)數(shù)F(x,y)：x+y=5所以,前件為任意實(shí)數(shù)x存在實(shí)數(shù)y使x+y=5，前件真；后件為存在實(shí)數(shù)x對(duì)任意實(shí)數(shù)y都有x+y=5，后件假，]此時(shí)為假命題再取解釋I個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)N，F(xiàn)(x,y)：:x+y=5所以,前件為任意自然數(shù)x存在自然數(shù)y使x+y=5，前件假。此時(shí)為假命題。此公式為非永真式的可滿(mǎn)足式。13.給定下列各公式一個(gè)成真的解釋?zhuān)粋€(gè)成假的解釋。(1)(F(x)精選文檔(2)x(F(x)G(x)H(x))F(x)：x會(huì)吃飯,G(x)：x會(huì)睡覺(jué).成真解釋F(x)：x是泰安人,G(x)：x是濟(jì)南人.（2）成假解釋(2)個(gè)體域:泰山學(xué)院的學(xué)生F(x)：x出生在山東,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江蘇,成假解釋.F(x)：x會(huì)吃飯,G(x)：x會(huì)睡覺(jué),H(x)：x會(huì)呼吸.成真解釋.第五章部分課后習(xí)題參考答案(b)f(x)為f(3)4,f(4)3(c)F(x,y)為F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1.試求下列公式在Ｉ下的真值.(1)xyF(x,y)(3)xy(F(x,y)F(f(x),f(y)))解:(1)xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4))(F(4,3)F(4,4))(01)(10)1(2)xy(F(x,y)F(f(x),f(y)))x((F(x,3)F(f(x),f(3)))(F(x,4)F(f(x),f(4))))x((F(x,3)F(f(x),4))(F(x,4)F(f(x),3)))((F(3,3)F(f(3),4))(F(3,4)F(f(3),3)))((F(4,3)F(f(4),4))(F(4,4)F(f(4),3)))((0F(4,4))(F(3,4)F(4,3)))((1F(3,4))(0F(3,3)))(00)(11)(11)(00)1精選文檔12.求下列各式的前束范式。1121212解:(1)xF(x)yG(x,y)xF(x)yG(t,y)xy(F(x)G(t,y))(5)xF(x,x)(H(x)xG(x,x))1121212xF(x,x)(H(x)xG(x,x))1123232xF(x,x)x(H(x)G(x,x))1142332xx(F(x,x)(H(x)G(x,x)))121433215.在自然數(shù)推理系統(tǒng)F中,構(gòu)造下面推理的證明:(1)前提:xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),xF(x)結(jié)論:xR(x)(2)前提:x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x)結(jié)論:x(F(x)∧R(x))證明(1)①xF(x)前提引入②F(c)①EI③xF(x)y((F(y)G(y))R(y))前提引入④y((F(y)G(y))R(y))①③假言推理⑤(F(c)∨G(c))→R(c))⑥F(c)∨G(c)⑦R(c)④UI②附加⑤⑥假言推理⑦EG⑧xR(x)(2)①xF(x)前提引入②F(c)①EI精選文檔③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c))⑤G(a)∧R(c)⑥R(c)③UI②④假言推理⑤化簡(jiǎn)⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入⑦EG⑧x(F(x)∧R(x))第六章部分課后習(xí)題參考答案5.確定下列命題是否為真：（1）（2）（3）{}（4）{}真假真真（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝真真（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假6．設(shè)a,b,c各不相同，判斷下述等式中哪個(gè)等式為真:（1）｛｛a,b｝，c,｝=｛｛a,b｝,c｝（2）｛a,b,a｝=｛a,b｝假真（3）｛｛a｝，｝=｛｛a,b｝｝假（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝假8．求下列集合的冪集：P(A)={,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（1）｛a,b,c｝（2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}（3）｛｝P(A)={,｛｝}.

精選文檔14．化簡(jiǎn)下列集合表達(dá)式：（1）（AB）B）-（AB）（2）（（ABC）-（BC））A（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC））A=（A～（BC））（（BC）～（BC））A=（A～（BC））A=（A～（BC））A=A18．某班有25個(gè)學(xué)生，其中14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)打籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球。已知6個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打籃球或排球。求不會(huì)打球的人數(shù)。打網(wǎng)解:（1）A={1，2}{2，3}{1，3}{}={1，2，3,}精選文檔（2）A={1，2}{2，3}{1，3}{}=（3）A=123=（4）A=27、設(shè)A,B,C是任意集合，證明(1)(A-B)-C=A-BC(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)證明(1)(A-B)-C=(A～B)～C=A(～B～C)=A～(BC)=A-BC(2)(A-C)-(B-C)=(A～C)～(B～C)=(A～C)(～BC)=(A～C～B)(A～CC)=(A～C～B)=A～(BC)=A-BC由（1）得證。第七章部分課后習(xí)題參考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等關(guān)系I,全域關(guān)系E,小于或等于關(guān)系L,整除關(guān)系D.AAAA解：I={<2，2>,<3,3>,<4,4>}AE={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}AL={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}AD={<2,4>}A13.設(shè)A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求AB,AB,domA,domB,dom(AB),ranA,ranB,ran(AB),fld(A-B).解：AB={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}AB={<2,4>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}.

精選文檔dom(A∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ran(AB)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3}14.設(shè)R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求RR,R-1,R{0,1,},R[{1,2}]解：RR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}-1R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．設(shè)A={a,b,c,d}，RR為A上的關(guān)系，其中，12a,a,a,b,b,dR1=Ra,d,b,c,b,d,c,b2求3。RR,RR,R2,R112212解:R={<a,d>,<a,c>,<a,d>}R21R={<c,d>}R21221RRR223=R={<a,a>,<a,b>,<a,d>}R11=R={<b,b>,<c,c>,<c,d>}R22=R2R2={<b,c>,<c,b>,<b,d>}236．設(shè)A={1，2，3，4}，在AA上定義二元關(guān)系R，<u,v>,<x,y>AA，〈u,v>R<x,y>u+y=x+v.(1)證明R是AA上的等價(jià)關(guān)系.(2)確定由R引起的對(duì)AA的劃分..精選文檔（1）證明：∵<u,v>R<x,y>u+y=x-y∴<u,v>R<x,y>u-v=x-y<u,v>AA∵u-v=u-v∴<u,v>R<u,v>∴R是自反的任意的<u,v>,<x,y>∈A×A如果<u,v>R<x,y>，那么u-v=x-y∴x-y=u-v∴<x,y>R<u,v>∴R是對(duì)稱(chēng)的任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>∈A×A若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>則u-v=x-y,x-y=a-b∴u-v=a-b∴<u,v>R<a,b>∴R是傳遞的∴R是A×A上的等價(jià)關(guān)系(2)∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<3,1>,<4,2>},{<4,1>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<1,3>,<2,4>},{<1,4>}}41.設(shè)A={1，2，3，4}，R為AA上的二元關(guān)系,〈a，b〉，〈c，d〉A(chǔ)A,〈a，b〉R〈c，d〉a+b=c+d(1)證明R為等價(jià)關(guān)系.(2)求R導(dǎo)出的劃分.(1)證明：<a，b〉A(chǔ)Aa+b=a+b∴<a,b>R<a,b>∴R是自反的.

精選文檔任意的<a,b>,<c,d>∈A×A設(shè)<a,b>R<c,d>，則a+b=c+d∴c+d=a+b∴<c,d>R<a,b>∴R是對(duì)稱(chēng)的任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>∈A×A若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>則a+b=c+d,c+d=x+y∴a+b=x+y∴<a,b>R<x,y>∴R是傳遞的∴R是A×A上的等價(jià)關(guān)系(2)∏={{<1,1>},{<1,2>,<2,1>},{<1,3>,<2,2>,<3,1>},{<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>},{<2,4>,<4,2>,<3,3>},{<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}43.對(duì)于下列集合與整除關(guān)系畫(huà)出哈斯圖:(1){1,2,3,4,6,8,12,24}(2){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}解:2481212104863954637211211(1)(2)45.下圖是兩個(gè)偏序集<A,R>的哈斯圖.分別寫(xiě)出集合A和偏序關(guān)系R的集合表達(dá)式..精選文檔deffgcdbbcegaa(a)(b)解:(a)A={a,b,c,d,e,f,g}R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>}IA(b)A={a,b,c,d,e,f,g}R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>}IA46.分別畫(huà)出下列各偏序集<A,R>的哈斯圖,并找出A的極大元`極小元`最大元和最小元.(1)A={a,b,c,d,e}R={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}I.A(2)A={a,b,c,d,e},R={<c,d>}IA.解:edbcdeabac(1)(2)項(xiàng)目(1)e(2)極大元:極小元:最大元:最小元:a,b,d,ea,b,c,e無(wú)aea無(wú).精選文檔第八章部分課后習(xí)題參考答案1．設(shè)f:NN,且1，若x為奇數(shù)f(x)=x若為偶數(shù)x2，求f(0),f({0}),f(1),f({1}),f({0,2,4,6,…})，f({4,6,8}),f({3,5,7}).-1解：f(0)=0,f({0})={0},f(1)=1,f({1})={1},f({0,2,4,6,…})=N，f({4,6,8})={2,3,4},f({3,5,7})={6,10,14}.-14.判斷下列函數(shù)中哪些是滿(mǎn)射的?哪些是單射的?哪些是雙射的?(1)f:NN,f(x)=x(2)f:NN,f(x)=(x)mod3,x除以3的余數(shù)2+2不是滿(mǎn)射，不是單射不是滿(mǎn)射，不是單射1，若x為奇數(shù)(3)f:NN,f(x)=不是滿(mǎn)射，不是單射0，若x為偶數(shù)0，若x為奇數(shù)(4)f:N{0,1},f(x)=是滿(mǎn)射，不是單射1，若x為偶數(shù)(5)f:N-{0}R,f(x)=lgx(6)f:RR,f(x)=x-2x-15不是滿(mǎn)射，不是單射5.設(shè)X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判斷以下命題的真假:不是滿(mǎn)射，是單射2(1)f是從X到Y(jié)的二元關(guān)系,但不是從X到Y(jié)的函數(shù);(2)f是從X到Y(jié)的函數(shù),但不是滿(mǎn)射,也不是單射的;(3)f是從X到Y(jié)的滿(mǎn)射,但不是單射;對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)(4)f是從X到Y(jié)的雙射.第十章部分課后習(xí)題參考答案4．判斷下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算是否封閉：.精選文檔普通的除法運(yùn)算。不封閉（3）全體nn實(shí)矩陣集合（R）和矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中n2。封閉均滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律；加法單位元是零矩陣，無(wú)零元；乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；nn實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中n2。不封閉（4）全體（5）正實(shí)數(shù)集合和運(yùn)算，其中運(yùn)算定義為：不封閉因?yàn)?111111R（6）n關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。封閉，均滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律加法單位元是0，無(wú)零元；乘法無(wú)單位元（n1），零元是0；n1單位元是1（7）A={a,a,,a}n運(yùn)算定義如下：12n封閉不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，（8）S=關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。封閉均滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律（9）S={0,1},S是關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。加法不封閉，乘法封閉；乘法滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律（10）S=,S關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律5．對(duì)于上題中封閉的二元運(yùn)算判斷是否適合交換律，結(jié)合律，分配律。精選文檔見(jiàn)上題7．設(shè)*為Z上的二元運(yùn)算x,yZ，.

精選文檔X*Y=min(x，y),即x和y之中較小的數(shù).4,38．SQQQ為有理數(shù)集，*為S上的二元運(yùn)算，<a,b>,<x,y>S有<a，b>*<x，y>=<ax，ay+b>（1）*運(yùn)算在S上是否可交換，可結(jié)合？是否為冪等的？不可交換：<x,y>*<a,b>=<xa，xb+y><a，b>*<x，y>可結(jié)合：(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay+b>*<c,d>=<axc，axd+(ay+b)><a,b>*(<x,y>*<c,d>)=<a,b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd+y)+b>(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<a,b>*(<x,y>*<c,d>)不是冪等的（2）*運(yùn)算是否有單位元，零元？如果有請(qǐng)指出，并求S中所有可逆元素的逆元。設(shè)<a,b>是單位元，<x,y>S，<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<x,y>則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即為單位。設(shè)<a,b>是零元，<x,y>S，<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<a,b>則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，無(wú)解。即無(wú)零元。<x,y>S，設(shè)<a,b>是它的逆元<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x1y所以當(dāng)x0時(shí)，x,y1,xx精選文檔10．令S={a，b}，S上有四個(gè)運(yùn)算：*，(a)(b)(c)(d)(1)這4個(gè)運(yùn)算中哪些運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，結(jié)合律，冪等律？(a)交換律，結(jié)合律，冪等律都滿(mǎn)足，零元為a,沒(méi)有單位元；(b)滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，不滿(mǎn)足冪等律，單位元為a,沒(méi)有零元a1a,b1b(c)滿(mǎn)足交換律,不滿(mǎn)足冪等律,不滿(mǎn)足結(jié)合律a(bb)aab,(ab)babaa(bb)(ab)b沒(méi)有單位元,沒(méi)有零元(d)不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律和冪等律沒(méi)有單位元,沒(méi)有零元(2)求每個(gè)運(yùn)算的單位元，零元以及每一個(gè)可逆元素的逆元。見(jiàn)上16．設(shè)V=〈N，+，〉，其中+，分別代表普通加法與乘法，對(duì)下面給定的每個(gè)集合確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么？（1）S=1是（2）S=不是加法不封閉不是，加法不封閉2（3）S={-1，0，1}3第十一章部分課后習(xí)題參考答案8.設(shè)S={0，1，2，3}，為模4乘法，即精選文檔"x,y∈S,xy=(xy)mod4精選文檔S,是S上的代數(shù)運(yùn)算。(2)x,y,z∈S,設(shè)xy=4k+r所以，(xy)z=x(yz)，結(jié)合律成立。(3)x∈S,(x1)=(1x)=x,，所以1是單位元。(4)111,313,0和2沒(méi)有逆元所以，〈S，〉不構(gòu)成群9.設(shè)Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運(yùn)算。如下："x,y∈Z,xoy=x+y-2問(wèn)Z關(guān)于o運(yùn)算能否構(gòu)成群？為什么？解：(1)x,y∈Z,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代數(shù)運(yùn)算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)，結(jié)合律成立。(3)設(shè)e是單位元，x∈Z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2(4)x∈Z,設(shè)x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，x1y4x所以〈Z，o〉構(gòu)成群10，證明G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群．1010010110,01,0111.設(shè)G=,解：(1)x,y∈G,易知xy∈G,乘法是Z上的代數(shù)運(yùn)算。(2)矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律精選文檔1001(3)設(shè)是單位元，(4)每個(gè)矩陣的逆元都是自己。所以G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群．14.設(shè)G為群，且存在a∈G,使得G={a∣k∈Z}k證明：G是交換群。證明:x,y∈G，設(shè)xak,yal，則xyakalaklalkalakyx所以，G是交換群17.設(shè)G為群，證明e為G中唯一的冪等元。證明:設(shè)eG也是冪等元，則ee，即e2ee，由消去律知ee200000018.設(shè)G為群，a,b,c∈G,證明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣證明：先證設(shè)(abc)ke(bca)ke(abc)(abc)(abc)(abc)e設(shè)(abc)ke,則，即bcaa1ea(bca)(bca)(bca)()左邊同乘a1，右邊同乘a得(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)ka1eae反過(guò)來(lái)，設(shè)(bac)ke,則(abc)ke.由元素階的定義知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣19.證明：偶數(shù)階群G必含2階元。證明：設(shè)群G不含2階元，aG，當(dāng)ae時(shí)，a是一階元，當(dāng)ae時(shí)，a至少是3.

精選文檔階元,因?yàn)槿篏時(shí)有限階的，所以.

精選文檔a是有限階的，設(shè)a是k階的,則a也是k階的，所以高于3階的元成對(duì)出現(xiàn)的，G不含12階元，G含唯一的1階元e,這與群G是偶數(shù)階的矛盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元20.設(shè)G為非Abel群，證明G中存在非單位元a和b,a≠b,且ab=ba.證明：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元,則G={e},G為Abel群矛盾；aa1若G除了1階元e外,其余元a均為2階元，則，a2ea,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba，與G為Abel群矛盾；a所以，G含至少含一個(gè)3階元，設(shè)為，則aa2，且a2aaa2。令ba2的證。21.設(shè)G是M(R)上的加法群，n≥2，判斷下述子集是否構(gòu)成子群。n（1）全體對(duì)稱(chēng)矩陣（2）全體對(duì)角矩陣是子群是子群（3）全體行列式大于等于0的矩陣.不是子群（4）全體上（下）三角矩陣。是子群22.設(shè)G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構(gòu)成的集合，即N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}證明N（a）構(gòu)成G的子群。證明：ea=ae,eN(a)x,yN(a),則axxa,ayyaa(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a)由axxa，得x1axx1x1aeeax1，所以x1N(a)1xax1,x1，即x1aax所以N（a）構(gòu)成G的子群.

精選文檔131.設(shè)是群G到G的同態(tài)，是G到G的同態(tài)，證明是G到G的同態(tài)。13112223212證明：有已知是G到G的函數(shù)，是G到G的函數(shù)，則·是G到G的函11222313數(shù)。,()(ab)((ab))((a)(b))21211,abG112)(a)()(b)(((a)))(((b)))(21211212所以:·是G到G的同態(tài)。121333.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說(shuō)明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結(jié)論。證明：設(shè)G是循環(huán)群,令G=<a>,x,yG,令xak,yal,那么xyakalaaalakyx,G是阿貝爾群kllk克萊因四元群,G{e,a,b,c}eabceeabcaaecbbbceaccbae是交換群,但不是循環(huán)群,因?yàn)閑是一階元，a,b,c是二階元。36.設(shè),是5元置換，且1234512345，2145334512(1)計(jì)算,,,1,1；1(2)將,1,1表成不交的輪換之積。(3)將（2）中的置換表示成對(duì)換之積，并說(shuō)明哪些為奇置換，哪些為偶置換。123451234512345解：(1)14532143125451231234512345112153454132(2)(1425)1(14253)1(143)(25).精選文檔(3)(14)(12)(15)奇置換，偶置換1(14)(12)(15)(13)1(14)(13)(25)奇置換第十四章部分課后習(xí)題參考答案5、設(shè)無(wú)向圖G有10條邊，3度與4度頂點(diǎn)各2個(gè)，其余頂點(diǎn)的度數(shù)均小于3，問(wèn)G至少有多少個(gè)頂點(diǎn)？在最少頂點(diǎn)的情況下，寫(xiě)出度數(shù)列、(G)、(G)。解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為：210203度與4度頂點(diǎn)各2個(gè)，這4個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)之和為14度。其余頂點(diǎn)的度數(shù)共有6度。其余頂點(diǎn)的度數(shù)均小于3，欲使G的頂點(diǎn)最少，其余頂點(diǎn)的度數(shù)應(yīng)都取2,所以，G至少有7個(gè)頂點(diǎn),出度數(shù)列為3,3,4,4,2,2,2,(G)4,(G)2.7、設(shè)有向圖D的度數(shù)列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，求D的入度列，并求(D),(D)，(D),(D),(D),(D).解：D的度數(shù)列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，D的入度列為1,1,1,2.(D)3,(D)2,(D)2,(D)1,(D)2,(D)18、設(shè)無(wú)向圖中有6條邊，3度與5度頂點(diǎn)各1個(gè)，其余頂點(diǎn)都是2度點(diǎn)，問(wèn)該圖有多少個(gè)頂點(diǎn)？解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為：2612設(shè)2度點(diǎn)x個(gè)，則31512x12，x2，該圖有4個(gè)頂點(diǎn).14、下面給出的兩個(gè)正整數(shù)數(shù)列中哪個(gè)是可圖化的？對(duì)可圖化的數(shù)列，試給出3種非同構(gòu)的無(wú)向圖，其中至少有兩個(gè)時(shí)簡(jiǎn)單圖。(1)2,2,3,3,4,4,5(2)2,2,2,2,3,3,4,4解：(1)2+2+3+3+4+4+5=23是奇數(shù)，不可圖化；(2)2＋2+2+2+3+3+4+4=16,是偶數(shù)，可圖化；.

精選文檔18、設(shè)有3個(gè)4階4條邊的無(wú)向簡(jiǎn)單圖G、G、G，證明它們至少有兩個(gè)是同構(gòu)的。123證明：4階4條邊的無(wú)向簡(jiǎn)單圖的頂點(diǎn)的最大度數(shù)為3，度數(shù)之和為8，因而度數(shù)列為2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1對(duì)應(yīng)的圖不是簡(jiǎn)單圖。所以從同構(gòu)的觀(guān)點(diǎn)看，4階4條邊的無(wú)向簡(jiǎn)單圖只有兩個(gè)：所以，G、G、G至少有兩個(gè)是同構(gòu)的。12320、已知n階無(wú)向簡(jiǎn)單圖G有m條邊，試求G的補(bǔ)圖G的邊數(shù)m。解：mn(n1)m221、無(wú)向圖G如下圖(1)求G的全部點(diǎn)割集與邊割集，指出其中的割點(diǎn)和橋；(2)求G的點(diǎn)連通度k(G)與邊連通度(G)。ae1e2debe5e4e3c解：點(diǎn)割集:{a,b},(d)邊割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}k(G)=(G)=123、求G的點(diǎn)連通度k(G)、邊連通度(G)與最小度數(shù)(G)。.精選文檔(G)3、(G)4解：k(G)2、28、設(shè)n階無(wú)向簡(jiǎn)單圖為3-正則圖，且邊數(shù)m與n滿(mǎn)足2n-3=m問(wèn)這樣的無(wú)向圖有幾種非同構(gòu)的情況？2n3m3n2m解：得n=6,m=9.31、設(shè)圖G和它的部圖G的邊數(shù)分別為m和m，試確定G的階數(shù)。解：mmn(n1)得n118(mm)2245、有向圖D如圖(1)求v到v長(zhǎng)度為1，2，3，4的通路數(shù)；25(2)求v到v長(zhǎng)度為1，2，3，4的回路數(shù)；55(3)求D中長(zhǎng)度為4的通路數(shù)；(4)求D中長(zhǎng)度小于或等于4的回路數(shù)；(5)寫(xiě)出D的可達(dá)矩陣。v4v1v5v2v3解：有向圖D的鄰接矩陣為：20200000010101002020101000000200001，A2AA32020001010101000000202020010102020000004.精選文檔0000440400012155