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第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用一、空間曲線切線與法平面二、曲面切平面與法線第1頁第1頁一、空間曲線切線與法平面1.設(shè)空間曲線

參數(shù)方程為：下面來求：第2頁第2頁按定義，切線是割線極限位置。因此，上任取點(diǎn)我們在曲線附近一點(diǎn)，設(shè)它相應(yīng)于參數(shù)，即第3頁第3頁即對上式取極限，得第4頁第4頁方向向量切線方向向量也稱為曲線切向量。第5頁第5頁過點(diǎn)M且與這點(diǎn)切線垂直平面

由點(diǎn)法式得：點(diǎn)

處法平面方程為法平面：法平面第6頁第6頁即00第7頁第7頁設(shè)此方程組擬定了用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求出第8頁第8頁例1

求曲線x=t,y=t2，z=t3在點(diǎn)(1,1,1)處切線及法平面方程.解123即第9頁第9頁在點(diǎn)(1,?2,1)處切線及法平面方程.解設(shè)方程組例2求曲線擬定了等式兩邊對x求導(dǎo)，得即第10頁第10頁解得===第11頁第11頁10即第12頁第12頁二、曲面切平面與法線在曲面

上，通過點(diǎn)M任意引一條曲線，設(shè)

參數(shù)方程為不全為0.第13頁第13頁則(*)(鏈鎖法則)第14頁第14頁由鏈鎖法則，得=(*)式變?yōu)?0(#)令又則(#)式可寫為第15頁第15頁這表明：切平面法向量為第16頁第16頁切平面方程為++法線：法線方程為第17頁第17頁即令則=即第18頁第18頁用隱函數(shù)求導(dǎo)法由前兩式求出再由第三式得第19頁第19頁4、曲面法向量方向余弦

若用

表示曲面法向量方向角，假定法向量方向向上，即

為銳角.則法向量方向余弦為:第20頁第20頁例3求球面

在點(diǎn)(1,2,3)處切平面及法線方程.解:，，即第21頁第21頁法線方程為即246第22頁第22頁例4求旋轉(zhuǎn)拋物面

在點(diǎn)(2,1,4)處切平面及法線方程.解:法線方程為，==即42第23頁第23頁全微分幾何意義平面切平面曲面第24頁第24

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