PAGEPAGE5課時跟蹤檢測(三十七)弧度制[A級基礎(chǔ)鞏固]1．(2021·常州高一月考)學校操場上的鉛球投擲落球區(qū)是一個半徑為10米的扇形，并且沿著扇形的弧是長度為約6米的防護欄，則扇形弧所對的圓心角的大小約為()A．0.6 B．6C．60 D．600解析：選A根據(jù)條件得，扇形半徑為10，弧長為6，所以圓心角為eq\f(6,10)＝0.6rad.2．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為π，則這個圓心角所對的弧長為()A．2π B．πsin2C.eq\f(π,sin1) D．eq\f(π,2sin1)解析：選C由題知弧度數(shù)θ＝2的圓心角所對的弦長為π，設(shè)圓的半徑為r，由sin1＝eq\f(\f(π,2),r)，得r＝eq\f(π,2sin1).根據(jù)弧長公式l＝θr＝2r＝eq\f(π,sin1).故選C.3．把角－570°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為()A．－3π－eq\f(1,6)π B．－4π＋150°C．－3kπ－30° D．－4π＋eq\f(5,6)π解析：選D因為－570°與eq\f(5,6)π的終邊相同，所以把角－570°化為2kπ＋α(0≤α<2π)的形式為－4π＋eq\f(5,6)π.4．(多選)若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(3,4)π，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))解析：選CD直線y＝－x過原點，經(jīng)過第二、四象限，故在[0，2π)內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角有兩個：eq\f(3π,4)，eq\f(7π,4).因此終邊在直線y＝－x上的角的集合：S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋k·2π，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(7π,4)＋k·2π，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋（2k＋1）π，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋kπ，k∈Z)))).或者表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故選C、D.5．《九章算術(shù)》成書于公元一世紀，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著．書中記載這樣一個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”(一步＝1.5米)意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為()A．135平方米 B．270平方米C．540平方米 D．1080平方米解析：選B根據(jù)扇形的面積公式，計算扇形田的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×45×eq\f(24,2)＝270(平方米)．6．一條弦長等于半徑，則此弦所對圓心角的弧度數(shù)為________．解析：因為弦長等于半徑，所以弦和與弦兩端點相交的兩半徑構(gòu)成等邊三角形，所以弦所對圓心角為60°，即為eq\f(π,3)rad.答案：eq\f(π,3)7．－105°化為弧度為________，eq\f(11π,3)化為角度為________．解析：－105°＝－105×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,12)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝660°.答案：－eq\f(7,12)π660°8．若角α的終邊與角eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π)，則α＝________．解析：如圖所示，設(shè)角eq\f(π,6)的終邊為OA，OA關(guān)于直線y＝x對稱的射線為OB，則以O(shè)B為終邊且在0到2π之間的角為eq\f(π,3)，故以O(shè)B為終邊的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|a＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1.∴α＝－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)9．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角．(1)－1500°；(2)eq\f(23,6)π.解：(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋eq\f(5π,3)，∴－1500°與eq\f(5π,3)終邊相同，是第四象限角．(2)∵eq\f(23,6)π＝2π＋eq\f(11,6)π，∴eq\f(23,6)π與eq\f(11,6)π終邊相同，是第四象限角．10．已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角α(0＜α＜π)的大??；(2)求圓心角α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)因為圓O的半徑為10，弦AB的長為10，所以△AOB為等邊三角形，所以α＝∠AOB＝eq\f(π,3).(2)因為α＝eq\f(π,3)，所以l＝αr＝eq\f(10π,3)，S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).又因為S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10×eq\f(\r(3),2)＝25eq\r(3)，所以S＝S扇形－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).[B級綜合運用]11.已知某機械采用齒輪傳動，由主動輪M帶著從動輪N轉(zhuǎn)動(如圖所示)，設(shè)主動輪M的直徑為150mm，從動輪N的直徑為300mm，若主動輪M順時針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)，則從動輪N逆時針旋轉(zhuǎn)()A.eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：選B設(shè)從動輪N逆時針旋轉(zhuǎn)θrad，由題意，知主動輪M與從動輪N轉(zhuǎn)動的弧長相等，所以eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)×θ，解得θ＝eq\f(π,4)，故選B.12.(2021·張家界高一質(zhì)檢)中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是由從一個圓面中剪下的扇形制作而成．如圖所示．設(shè)制作扇子的扇形面積為S1，圓面中剪下丟去部分的面積為S2，當eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時制作扇子的扇形圓心角的度數(shù)約為()A．127.50° B．137.50°C．147.50° D．150.50°解析：選B設(shè)圓的半徑為R，圓面中剪下扇形的圓心角為α，剪下丟去部分的圓心角為β，依題意得eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)α·R2,\f(1,2)β·R2)＝eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴β＝eq\f(\r(5)＋1,2)α.又α＋β＝360°，∴α＋eq\f(\r(5)＋1,2)α＝360°，解得α＝eq\f(3－\r(5),2)×360°≈137.50°.故選B.13．(2021·六安舒城中學高一統(tǒng)考)若角θ與2θ的終邊關(guān)于x軸對稱，且－π≤θ≤π，則θ所構(gòu)成的集合為________．解析：角θ與2θ的終邊關(guān)于x軸對稱，所以得到θ＝2kπ－2θ，k∈Z，所以θ＝eq\f(2kπ,3)，k∈Z.因為－π≤θ≤π，所以k＝－1，0，1，所以θ＝－eq\f(2π,3)，0，eq\f(2π,3).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0，\f(2π,3)))14．集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(nπ,2)，n∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2nπ±\f(2π,3)，n∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2,3)nπ，n∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝nπ＋\f(π,2)，n∈Z))))，求證：BA.證明：因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(nπ,2)，n∈Z))))＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))；而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2nπ,3)，n∈Z))))＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(β＝2kπ±\f(2π,3)，k∈Z)))).比較集合A，B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B中的元素，所以BA.[C級拓展探究]15.某公司擬設(shè)計一個扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和線段AD，BC圍成的．設(shè)圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))，eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圓的半徑分別為r1，r2(單位：米)，圓心角為θ(單位：弧度)．(1)若θ＝eq\f(π,3)，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積；(2)設(shè)計時需要考慮花壇邊緣(實線部分)的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費用為60元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/米，預算費用總計1200元，問線段AD的長度為多少時，花壇的面積最大？解：(1)花壇的面積S＝eq\f(1,2)×62×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×32×eq\f(π,3)＝eq\f(9,2)π(平方米)．(2)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的長為r1θ米，弧eq\o(CD,\s\up8(︵))的長為r2θ米，線段AD的長為(r2－r1)米．由題意知60·2(r2－r1)＋90(r1θ＋r2θ)＝1200，即4(r2－r1)＋3(r2θ＋r1θ)＝40(*)．則花壇的面積S＝eq\f(1,2)re