222222222222222222222222222222222編制：審：基本信息課時安排

學員姓名課題名稱

正余弦定理

學科課時計劃

數(shù)第)課時

年級班級上課時間

高一年月日共)課時

時間：教學目標

教學重點教學難點個性化問題

正弦定理和余弦定理表達式及其變形式兩個定理的靈活運用解題教學過程正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用第6[習目標]掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，，C所對的邊分別是a，b，，則正弦定理

余弦定理內(nèi)容

ac＝＝＝sinAsinsinC

a

＝b＋c－bccosAb＝a＋c－cosB為△外接圓半徑

c＝a＋b－cosa2sin，b2sin，c＝2Rsin；

cosA＝

b＋c－a2bc

；常見變形

ab(2)sin＝，sin＝，；

cosB＝

a＋c－b2ac

；ab∶c＝sin∶sin∶sinC

cosC＝

a

2

＋b－c2ab解決的問題

已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

(1)已知三邊，求三個角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角2.在△ABC中，已知a，b和時，解的情況(注意：解三角方程時直接就能判定)為銳角/6

為鈍角或直角

22222π2391622222π23916圖形關(guān)系式解的個數(shù)

a＝b一解

bA＜＜b兩解

a≥b一解

a＞b一解4.三角形中常用的面積公式1＝(h表示邊a上的高)．11＝＝ab＝sinB.1＝r(ab＋c)(r為△內(nèi)切圓半徑)．5.解三角形類實際問題中常見的角仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角(如圖1)．方位角從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B的方位角為圖2)．方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等注意“方位角”與方向角”的區(qū)別位角大小的范圍是0,2π)向角大小的范圍一般是坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．辨析感悟1．三角形中關(guān)系的判斷在△中，＞B的充分不必要條件是A.(×)(2)(教材練習改編)在△ABC中，a＝，＝2＝，則A＝或2．解三角形

√)1在△中，a＝3，b5，sin＝，則＝.

√)9(4)(教材習題改編)在△ABC中，a＝5，＝4，cosA＝，則＝6./6

√)

2234D.2π22222b2＝2234D.2π22222b2＝.答案(1)A(2)22在△中，若＜cosA，則此三角形是鈍角三角形．

√)在△中，若b＋c＞a，則此三角形是銳角三角形．[悟·提升]

×)1一條規(guī)律

在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞?a＞b?＞sinB，如1)．2．判斷三角形形狀的兩種途徑轉(zhuǎn)換.

一是化邊為角；二是化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角考點一

利用正弦、余弦定理解三角形【例1】湖南卷)在銳角△中，角A所對的邊長分別為，b.若2a＝，則角等于

()．π

B.

π

C.

π6

π12(2)(2014·杭州模擬)在中，角，B，對的邊分別為，b，若a＝1，＝4，B＝45°，則sinC＝解析

在△ABC，由正弦定理及已知得·sin＝，3∵為△的內(nèi)角，∴sin≠0.sin＝.∵△ABC銳角三角形，∴∈.32由余弦定理，得＝a＋－2cosB1－2×＝，即b5.c·sin所以C＝

242×455規(guī)律方法已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；★★★和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．★★★【訓練1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，＝60°，則＝()．A．B．45°或135°D．60°△中角B的對邊分別是a－b＝bcC＝2B＝()．A．B．120°D．/6

22222bc2222222－22222bc2222222－ab22222abab2222222222

判斷三角形的形狀【例2】臨沂一模在△ABC中ab分別為內(nèi)角A，C對邊，且2a＝b－c＋c－b.求角A的大??；

(2)若＋＝3試判斷△ABC的形狀．解

由2＝(2b－c)sinB＋(2－bC，得2a

2

＝(2b－cb＋(2c－b)c，即bc＝b

2

＋c

－

2

，b＋c－a1∴cosA＝＝，∴＝∵★★★★★＋＋＝180°，∴＋C＝－＝由sinB＋sinC＝，得sinB＋－B)＝3，∴Bsin120°cos－cos120°sinB＝3.3∴sinBcosB＝3，即sin(B＋＝1.

∵0°<B，∴B＋∴＋＝90°，B＝60°.∴＝B＝＝60°，△為等邊三角形．規(guī)律方法解決判斷三角形的形狀問題一般將條件化為只含三角函數(shù)的關(guān)系式然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．另外，在變形過程中要注意，B，范圍對三角函數(shù)值的影響．【訓練】山東省實驗中學診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，C的對邊分別為，，c，且2＝＋2＋ab，則△是

()．A．鈍角角形

B．直角三角形

C．銳角三角形

D．等邊三角形在△中，若(a＋)sin(－B)＝(a－，則△的形狀是

()．A．銳角角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形解析

11a＋b－c1由2c＝2a＋2b＋ab得a＋b－＝－ab所以cos＝＝＝－＜，所以90°＜180°即△ABC為鈍角三角形．由已知(＋－B)(a－，b[sin(A)＋C]a[sinCsin(－B)]即bsinA＝aAsinB即sinBsinA＝sinAcosAsin，所以2＝sin2A由于，B三角形的內(nèi)角，故02＜2，02＜2π★★★★＝2B2Aπ－2B即AB＋B.故△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案

(1)A(2)D考點三

解三角形實際應(yīng)用【例題】如圖所示位于A處的信息中心獲悉在其正東方向相距40里的處有一艘漁船遇險，/6

2277142226在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線前往B救援，則θ等2277142226

217

B.

2114

C.

32114

D.

2128解析

如圖所示，在△ABC中，＝40海里，AC20海里，∠BAC，由余弦定理，得BC

2＝＋AC－·cos＝2800故BC20海里)．由正弦定理，得sinACB·sin＝2由∠BAC＝120°知∠ACB為銳角，故cos＝.21故cosθ＝cos(ACB30°)cos∠－sin∠ACB30°答案

B基礎(chǔ)鞏固題組建議用時：分鐘)一、選擇題1．紹興模擬)在△ABC中，若－＋b＝3ab則()A．BC．D．120°32．合肥模擬)在△ABC中，＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則的長為()．

32

B.3．23D．ππ3eq\o\ac(△,．)ABC的內(nèi)角AC的對邊別為ac知b＝2＝C＝則△ABC的面積為()．A．232B.C．23D.3－14．△的內(nèi)角，B，所對的邊分別為a，b，.B＝2A，a＝1，b＝，則＝()．/6

2242A．23B．2C.222425．陜西卷)設(shè)△的內(nèi)角，B，所對的邊分別為，，，若bcosC＋B＝，則△ABC的形狀為()．A．直角角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．不確定二、填空題6．在△ABC中，角，B所對的邊分別為，，，若a＝b＝2，＋cosB＝，則角的大小為_______．7．惠州模擬)在△ABC中，角，B，對邊分別為a，b，.(a＋c－b)tanB＝ac，則角的值為________．18煙臺一模)設(shè)△ABC內(nèi)角，