PAGEPAGE23第二章函數(shù)的概念與根本初等函數(shù)Ⅰ考點1函數(shù)的概念1.(2022·湖北，7)設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))那么()A．|x|＝x|| B．|x|＝C．|x|＝ D．|x|＝1.解析對于選項A，右邊＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項B，右邊＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項C，右邊＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0,0，x＝0,x，x<0))，而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項D，右邊＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然正確.故應(yīng)選D.答案D2.(2022·重慶，3)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域為()A．[－3,1] B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2.解析需滿足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案D3.(2022·湖北，6)函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域為()A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]3.解析依題意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4；①且eq\f(x2－5x＋6,x－3)>0，解得x>2且x≠3，②由①②求交集得函數(shù)的定義域為(2，3)∪(3，4]．應(yīng)選C.答案C4.(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ，10)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，那么f(6－a)＝()－eq\f(7,4)B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,4)4.解析假設(shè)a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(無解)；假設(shè)a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝eq\f(1,4)－2＝－eq\f(7,4).答案A5.(2022·山東，10)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))假設(shè)＝4，那么b＝()A．1B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)5.解析由題意，得＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b.假設(shè)eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)時，，解得b＝eq\f(1,2).假設(shè)eq\f(5,2)－b＜1，即b＞eq\f(3,2)時，3×－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍去)．所以b＝eq\f(1,2).答案D6.(2022·陜西，4)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))那么f(f(－2))＝()A．－1B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)6.解析∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，那么f(f(－2))＝＝1－＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，應(yīng)選C.答案C7.(2022·山東，3)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域為()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)7.解析由題意可知x滿足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x＞2，即函數(shù)f(x)的定義域是(2，＋∞)．答案C8.(2022·江西，4)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0,2－x，x＜0))(a∈R)，假設(shè)f[f(－1)]＝1，那么a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．28.解析因為－1＜0，所以f(－1)＝＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝eq\f(1,4).答案A(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ，13)函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象過點(－1,4)，那么a＝________.9.解析由函數(shù)f(x)＝ax3－2x過點(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案－2考點2函數(shù)的根本性質(zhì)1.(2022·山東，9)函數(shù)f(x)的定義域為R.當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x＞eq\f(1,2)時，＝.那么f(6)＝()A.－2 B.－1C.0 D.21.解析當(dāng)x＞eq\f(1,2)時，＝，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，應(yīng)選D.答案D2.(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ，12)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，那么使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A. B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))2.解析由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)＞f(2x－1)即為f(|x|)＞f(|2x－1|)．當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(2x,〔1＋x2〕2)＞0，所以f(x)為[0，＋∞)上的增函數(shù)，那么由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜x＜1，應(yīng)選A.答案A3.(2022·北京，3)以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x3.解析由f(－x)＝f(x)，且定義域關(guān)于原點對稱，可知A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C定義域不關(guān)于原點對稱，D為非奇非偶函數(shù)．答案B4.(2022·福建，3)以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x4.解析由奇函數(shù)定義易知y＝ex－e－x為奇函數(shù)，應(yīng)選D.答案D5.(2022·廣東，3)以下函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx5.解析對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，為偶函數(shù)；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，應(yīng)選D.答案D6.(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ，12)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2x＋a的圖象關(guān)于直線y＝－x對稱，且f(－2)＋f(－4)＝1，那么a＝()－1B．1C．2D．46.解析設(shè)f(x)上任意一點為(x，y)，該點關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)，將(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.答案C7.(2022·北京，2)以下函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|7.解析分別畫出四個函數(shù)的圖象，如下圖：因為對數(shù)函數(shù)y＝lnx的定義域不是R，故首先排除C；因為指數(shù)函數(shù)y＝e－x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故排除A；對于函數(shù)y＝|x|，當(dāng)x∈(－∞，0)時，函數(shù)變?yōu)閥＝－x，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故排除D；而函數(shù)y＝x3在定義域R上為增函數(shù)．應(yīng)選B.答案B8.(2022·湖南，4)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2) B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2x8.解析因為y＝x2在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，故y＝eq\f(1,x2)在(－∞，0)上是單調(diào)遞增的，又y＝eq\f(1,x2)為偶函數(shù)，故A對；y＝x2＋1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，故B錯；y＝x3為奇函數(shù)，故C錯；y＝2－x為非奇非偶函數(shù)，故D錯．所以選A.答案A9.(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ，5)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，那么以下結(jié)論中正確的選項是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)9.解析f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，應(yīng)選C.答案C10.(2022·廣東，5)以下函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝2x－eq\f(1,2x) B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1 D．y＝x2＋2x10.解析選項B中的函數(shù)是偶函數(shù)；選項C中的函數(shù)也是偶函數(shù)；選項D中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可知選項A中的函數(shù)是奇函數(shù)．答案A11.(2022·重慶，4)以下函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2x D．f(x)＝2x＋2x11.解析函數(shù)f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除選項A和選項B；選項C中f(x)＝2x－2－x，那么f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x為奇函數(shù)，排除選項C；選項D中f(x)＝2x＋2x，那么f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2x為偶函數(shù)，應(yīng)選D.答案D(2022·北京，10)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－1)(x≥2)的最大值為________.12.解析f(x)＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，那么f(x)最大值為f(2)＝eq\f(2,2－1)＝2.答案2(2022·四川，14)假設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)＝4x，那么＋f(2)＝________.13.解析∵f(x)周期為2，且為奇函數(shù)，(0，1)內(nèi)f(x)＝4x，那么可大致畫出(－1，1)內(nèi)圖象如圖，∴f(0)＝0，∴＋f(2)＝－＋f(2)＝＋f(0)＝－2＋0＝－2.答案－2(2022·福建，5)假設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，那么實數(shù)m的最小值為________．14.解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的對稱軸x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增區(qū)間為[1，＋∞).∵[m，＋∞)?[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值為1.答案1(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ，15)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.15.解析因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，那么f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案3(2022·安徽，14)假設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，0≤x≤1，,sinπx，1＜x≤2，))那么＋＝________.16.解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以＋＝＋＝＋＝－＝－eq\f(3,16)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(5,16).答案eq\f(5,16)(2022·四川，13)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))那么＝________.17.解析由易得＝－4×＋2＝1，又由函數(shù)的周期為2，可得＝＝1.答案1考點3二次函數(shù)與冪函數(shù)1.(2022·湖北，9)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x.那么函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}1.解析當(dāng)x≥0時，函數(shù)g(x)的零點即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；當(dāng)x＜0時，由f(x)是奇函數(shù)得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－eq\r(7)(正根舍去)．應(yīng)選D.答案D2.(2022·北京，8)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率〞．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最正確加工時間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘2.解析由得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0.7，,16a＋4b＋c＝0.8，,25a＋5b＋c＝0.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2，))∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,16)，∴當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時p最大，即最正確加工時間為3.75分鐘．應(yīng)選B.答案B3.(2022·浙江，9)設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角．對任意實數(shù)t，|b＋ta|的最小值為()A．假設(shè)θ確定，那么|a|唯一確定B．假設(shè)θ確定，那么|b|唯一確定C．假設(shè)|a|確定，那么θ唯一確定D．假設(shè)|b|確定，那么θ唯一確定3.解析|b＋ta|2＝|a|2t2＋2a·b·t＋|b|2＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，設(shè)f(t)＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，那么二次函數(shù)f(t)的最小值為1，即eq\f(4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos2θ,4|a|2)＝1，化簡得|b|2sin2θ＝1.∵|b|＞0，0≤θ≤π，∴|b|sinθ＝1，假設(shè)θ確定，那么|b|唯一確定，而|b|確定，θ不確定，應(yīng)選B.答案B考點4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2022·新課標(biāo)全國Ⅲ，7)a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，那么()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b1.解析a＝2eq\f(4,3)＝eq\r(3,16)，b＝3eq\f(2,3)＝eq\r(3,9)，c＝25eq\f(1,3)＝eq\r(3,25)，所以b<a<c.答案A2．(2022·天津，7)定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，那么a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜bC．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a2.解析由函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1為偶函數(shù)，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，當(dāng)x＞0時，f(x)為增函數(shù)，log0.53＝－log23，∴l(xiāng)og25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，應(yīng)選B.答案B3.(2022·山東，3)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，那么a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a3.解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝1.5x在R上單調(diào)遞增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.答案C4.(2022·四川，8)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．假設(shè)該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，那么該食品在33℃的保鮮時間是()A．16小時 B．20小時C．24小時 D．28小時4.解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))∴e22k＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，∴e11k＝eq\f(1,2)，∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×192＝24.答案C5.(2022·山東，5)實數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下關(guān)系式恒成立的是()A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) D.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)5.解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x＞y，此時，x2，y2的大小不確定，應(yīng)選項C、D中的不等式不恒成立；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)知選項B中的不等式不恒成立；根據(jù)不等式的性質(zhì)知選項A中的不等式恒成立．答案A6.(2022·陜西，7)以下函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)〞的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3xC．f(x)＝xeq\f(1,2) D．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x解析根據(jù)和的函數(shù)值等于函數(shù)值的積的特征，其典型代表函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，又所求函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，應(yīng)選B.答案B(2022·北京，10)2－3，，log25三個數(shù)中最大的數(shù)是________．7.解析2－3＝eq\f(1,8)<1，又因為2eq\r(3)<22<5，所以log22eq\r(3)<log222<log25，即eq\r(3)<log25.所以最大值為log25.答案log25考點5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ，10)以下函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A.y＝xB.y＝lgxC.y＝2x D.y＝eq\f(1,\r(x))1.解析函數(shù)y＝10lgx的定義域為{x|x>0}，值域為{y|y>0}，所以與其定義域和值域分別相同的函數(shù)為y＝eq\f(1,\r(x))，應(yīng)選D.答案D2.(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ，8)假設(shè)a>b>0，0<c<1，那么()A.< B<C.ac<bc D.ca>cb2.解析對A：＝eq\f(lgc,lga)，＝eq\f(lgc,lgb)，∵0<c<1，∴l(xiāng)gc<0，而a>b>0，所以lga>lgb，但不能確定lga、lgb的正負(fù)，所以它們的大小不能確定，所以A錯；對于B：＝eq\f(lga,lgc)，＝eq\f(lgb,lgc)，而lga>lgb，兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)eq\f(1,lgc)改變不等號方向，所以選項B正確；對C：由y＝xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可得到ac>bc，所以C錯；對D：由y＝cx在R上為減函數(shù)，得ca<cb，所以D錯.應(yīng)選B.答案B3.(2022·四川，4)設(shè)a，b為正實數(shù)，那么“a＞b＞1〞是“l(fā)og2a＞log2b＞0〞的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3.解析假設(shè)a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；假設(shè)log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，應(yīng)選A.答案A4.(2022·湖南，8)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，那么f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)4.解析易知函數(shù)定義域為(－1，1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,x－1)))，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法知，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)．答案A5.(2022·福建，8)假設(shè)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如以下圖所示，那么以下函數(shù)圖象正確的選項是()5.解析因為函數(shù)y＝logax過點(3，1)，所以1＝loga3，解得a＝3.y＝3－x不可能過點(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能過點(1，1)，排除C;y＝log3(－x)不可能過點(－3，－1),排除D，應(yīng)選B.答案B6.(2022·山東，6)函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，那么以下結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)＞1，c＞1B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜16解析由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0＜a＜1，因為函數(shù)y＝loga(x＋c)的圖象在c＞0時是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移c個單位得到的，所以根據(jù)題中圖象可知0＜c＜1.答案D7.(2022·天津，4)設(shè)a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，那么()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a解析利用中間量比擬大?。驗閍＝log2π∈(1，2)，b＝logeq\s\do9(\f(1,2))π＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.答案C8.(2022·遼寧，3)a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，那么()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b8解析a＝2－eq\f(1,3)＜20＝1，所以0＜a＜1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＞logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c＞a＞b.答案D9.(2022·四川，7)b＞0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，那么以下等式一定成立的是()A．d＝ac B．a(chǎn)＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c9解析由得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，那么5dc＝5a，∴dc＝a，答案B(2022·四川，12)lg0.01＋log216＝________.10解析lg0.01＋log216＝lgeq\f(1,100)＋log224＝－2＋4＝2.答案2(2022·安徽，11)lgeq\f(5,2)＋2lg2－＝________.11解析lgeq\f(5,2)＋2lg2－＝lgeq\f(5,2)＋lg22－2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)×4))－2＝1－2＝－1.答案－1(2022·浙江，9)計算：log2eq\f(\r(2),2)＝________，＝________.12.解析log2eq\f(\r(2),2)＝＝－eq\f(1,2)，＝＝＝3eq\r(3).答案－eq\f(1,2)3eq\r(3)13.(2022·陜西，12)4a＝2，lgx＝a，那么x＝________.13.解析由4a＝2?a＝log42＝eq\f(1,2)，又lgx＝a?x＝10a＝10eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(10).答案eq\r(10)1.(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ，9)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]的圖象大致為()1.解析f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x>0時，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))時，f′(x)<eq\f(1,4)×4－e0＝0，因此f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上單調(diào)遞減，排除C，應(yīng)選D.答案D2.(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ，12)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x)，假設(shè)函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點為〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，…，〔xm，ym〕，那么xi=()0B.mC.2mD.4m2.解析函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象也關(guān)于直線x=1對稱，故函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點也關(guān)于直線x=1對稱，故xi=×2=m，應(yīng)選B.答案B3.(2022·浙江，3)函數(shù)y＝sinx2的圖象是()3.解析y＝sinx2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除A、C.又當(dāng)x2＝eq\f(π,2)，即x＝±eq\r(\f(π,2))時，ymax＝1，排除B，應(yīng)選D.答案D4.(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ，11)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，那么y＝f(x)的圖象大致為()4.解析當(dāng)點P沿著邊BC運動，即0≤x≤eq\f(π,4)時，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝eq\r(4＋tan2x)，那么f(x)＝|PA|＋|PB|＝eq\r(4＋tan2x)＋tanx，它不是關(guān)于x的一次函數(shù)，圖象不是線段，故排除A和C；當(dāng)點P與點C重合，即x＝eq\f(π,4)時，由上得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(4＋tan2\f(π,4))＋taneq\f(π,4)＝eq\r(5)＋1，又當(dāng)點P與邊CD的中點重合，即x＝eq\f(π,2)時，△PAO與△PBO是全等的腰長為1的等腰直角三角形，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝|PA|＋|PB|＝eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2)，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，故又可排除D.應(yīng)選B.答案B5.(2022·浙江，5)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))cosx(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為()5.解析∵f(x)＝(x－eq\f(1,x))cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除A，B；當(dāng)x→π時，f(x)＜0，排除C.應(yīng)選D.答案D6.(2022·浙江，8)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的圖象可能是()6.解析根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，a＞0，所以冪函數(shù)是增函數(shù)，排除A(利用(1，1)點也可以排除)；選項B從對數(shù)函數(shù)圖象看a＜1，與冪函數(shù)圖象矛盾；選項C從對數(shù)函數(shù)圖象看a＞1，與冪函數(shù)圖象矛盾.應(yīng)選D.答案D7.(2022·遼寧，10)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosπx，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，,2x－1，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，))那么不等式f(x－1)≤eq\f(1,2)的解集為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))7.解析當(dāng)0≤x≤eq\f(1,2)時，令f(x)＝cosπx≤eq\f(1,2)，解得eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2)；當(dāng)x＞eq\f(1,2)時，令f(x)＝2x－1≤eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)＜x≤eq\f(3,4)，故有eq\f(1,3)≤x≤eq\f(3,4).因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)≤eq\f(1,2)的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))，故f(x－1)≤eq\f(1,2)的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,4))).應(yīng)選A.答案A考點6函數(shù)與方程1.(2022·天津，8)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x＞2，))函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，那么函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)為()A．2B．3C．4D．51.解析函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)，記h(x)＝－f(2－x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)與h(x)的圖象，如下圖，g(x)的圖象為h(x)的圖象向上平移3個單位，可知f(x)與g(x)的圖象有兩個交點，應(yīng)選A.答案A2.(2022·安徽，4)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A．y＝lnx B．y＝x2＋1C．y＝sinx D．y＝cosx2.解析對數(shù)函數(shù)y＝lnx是非奇非偶函數(shù)；y＝x2＋1為偶函數(shù)但沒有零點；y＝sinx是奇函數(shù)；y＝cosx是偶函數(shù)且有零點，應(yīng)選D.答案D3.(2022·重慶，10)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－3，x∈－1，0]，,x，x∈0，1]，))且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，那么實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))3.解析g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝m(x＋1)的圖象有兩個交點，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－3，x∈〔－1，0]，,x，x∈〔0，1]))和函數(shù)y＝m(x＋1)的圖象，如下圖，當(dāng)直線y＝m(x＋1)與y＝eq\f(1,x＋1)－3，x∈(－1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交時，0＜m≤eq\f(1,2)；當(dāng)直線y＝m(x＋1)與y＝eq\f(1,x＋1)－4，x∈(－1，0]有兩個交點時，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝m〔x＋1〕，,y＝\f(1,x＋1)－3，))消元得eq\f(1,x＋1)－3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化簡得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，當(dāng)Δ＝9＋4m＝0，m＝－eq\f(9,4)時，直線y＝m(x＋1)與y＝eq\f(1,x＋1)－3相切，當(dāng)直線y＝m(x＋1)過點(0，－2)時，m＝－2，所以m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2)).綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪(0，eq\f(1,2)]，選擇A.答案A4.(2022·北京，6)函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在以下區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)4.解析因為f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)＜0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2，4)，應(yīng)選C.答案C(2022·山東，15)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中m＞0.假設(shè)存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，那么m的取值范圍是________.5.解析如圖，當(dāng)x≤m時，f(x)＝|x|.當(dāng)x＞m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù).假設(shè)存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，那么m2－2m·m＋4m＜|m|.∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.答案(3，＋∞)(2022·江蘇，13)函數(shù)f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤1，,|x2－4|－2，x＞1，))那么方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數(shù)為________．6.解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，那么h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－lnx，0＜x≤1，,－x2＋lnx＋2，1＜x＜2，,x2＋lnx－6，x≥2，))當(dāng)1＜x＜2時，h′(x)＝－2x＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－2x2,x)＜0，故當(dāng)1＜x＜2時h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如下圖．由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根的個數(shù)為4.答案4(2022·湖北，13)函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2的零點個數(shù)為________．7.解析f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2.令f(x)＝0，那么sin2x＝x2，那么函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝x2的圖象的交點個數(shù)．作出函數(shù)圖象知，兩函數(shù)交點有2個，即函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.答案2(2022·天津，14)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x＞0.))假設(shè)函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，那么實數(shù)a的取值范圍為________．8.解析由題意，函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，得函數(shù)y1＝f(x)與y2＝a|x|的圖象有4個不同的交點．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象如下圖(a顯然大于0)．由圖知，當(dāng)y2＝－ax(x＜0)與y1＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)相切時，x2＋(5－a)x＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么(5－a)2－16＝0，解得a＝1(a＝9舍去).所以當(dāng)x＜0時，y1與y2的圖象恰有3個不同的交點．顯然，當(dāng)1＜a＜2時，兩個函數(shù)的圖象恰有4個不同的交點，即函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點．答案(1，2)(2022·福建，15))函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x＞0))的零點個數(shù)為________．9.解析當(dāng)x≤0時，令x2－2＝0，解得x＝－eq\r(2)；當(dāng)x＞0時，f(x)＝2x－6＋lnx，因為f′(x)＝2＋eq\f(1,x)＞0，所以函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(1)＝2