PAGEPAGE2萬有引力與航天一、選擇題(此題共10小題，1～6題為單項選擇，7～10題為多項選擇)1．(2022·廣東廣州荔灣區(qū)調(diào)研)“嫦娥五號〞探測器預(yù)計在2022年發(fā)射升空，自動完成月面樣品采集后從月球起飛，返回地球，帶回約2kg月球樣品。某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些信息，如表格中的數(shù)據(jù)所示，那么地球和月球的密度之比為eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342467)(B)地球和月球的半徑之比4地球外表和月球外表的重力加速度之比6A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．4 D．6[解析]在地球外表，重力等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(gR2,G)，故地球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。同理，月球的密度ρ0＝eq\f(3g0,4πGR0)。故地球和月球的密度之比eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(gR0,g0R)＝eq\f(3,2)，B正確。2．(2022·河南中原名校聯(lián)考)2015年9月30日7時13分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭成功將第4顆新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入傾角55°的傾斜地球同步軌道，新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的發(fā)射，標(biāo)志著我國在衛(wèi)星研制、發(fā)射方面取得里程碑式的成功。關(guān)于該衛(wèi)星到地心的距離r可由r＝eq\r(3,G\f(ab2c3,3π))求出，式中G為引力常量，那么關(guān)于物理量a、b、c的描述正確的選項是eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342468)(A)A．a(chǎn)是地球平均密度，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是地球半徑B．a(chǎn)是地球外表重力加速度，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是衛(wèi)星的加速度C．a(chǎn)是地球平均密度，b是衛(wèi)星的加速度，c是地球自轉(zhuǎn)的周期D．a(chǎn)是地球外表重力加速度，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是地球半徑[解析]萬有引力提供向心力，那么Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，可得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,Gρ\f(4,3)πR3\f(T2,4π2))＝eq\r(3,G\f(ρT2R3,3π))，那么可知a是地球平均密度，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是地球半徑，選項A正確。3．(2022·湖北武漢六中模擬)某失事飛機的黑匣子處于海底深處，探測到該處的重力加速度為g＝eq\f(999,1000)g0，那么黑匣子處的深度為(地球是一個半徑R＝6400km的質(zhì)量分布均勻的球體，質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的引力為0，地球外表重力加速度為g0)eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342469)(A)A．6400m B．3200mC．1600m D．800m[解析]質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的引力為零，設(shè)黑匣子距離地心x處重力加速度為g，地球的平均密度為ρ。根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(M′m,x2)＝mg，其中M′＝ρ·eq\f(4,3)πx3，解得g＝eq\f(4,3)πρGx。在地球外表，重力等于萬有引力，設(shè)mg0＝Geq\f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得g0＝eq\f(4,3)πρGR。eq\f(g,g0)＝eq\f(x,R)，得x＝eq\f(999,1000)R，故黑匣子處的深度h＝R－x＝eq\f(R,1000)＝6400m，故A正確。4．(2022·河北邯鄲一中調(diào)研)如下圖，發(fā)射遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈，彈頭脫離運載火箭后，在地球引力作用下，沿橢圓軌道飛行，擊中地面目標(biāo)B。C為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點，距地面高度為h。地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于彈頭在C點處的速度v和加速度a，以下結(jié)論正確的選項是eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342470)(B)A．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2) B．v<eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2)C．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a>eq\f(GM,R＋h2) D．v<eq\r(\f(GM,R＋h))，a<eq\f(GM,R＋h2)[解析]根據(jù)Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)知，假設(shè)在C處做勻速圓周運動，線速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，因為彈頭在C處做近心運動，萬有引力大于向心力，知v<eq\r(\f(GM,R＋h))。根據(jù)牛頓第二定律得，彈頭在C處的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(\f(GMm,R＋h2),m)＝eq\f(GM,R＋h2)，故B正確。5．(2022·河南洛陽尖子生一聯(lián))設(shè)金星和地球繞太陽中心的運動是公轉(zhuǎn)方向相同且軌道共面的勻速圓周運動，金星在地球軌道的內(nèi)側(cè)(稱為地內(nèi)行星)，在某特殊時刻，地球、金星和太陽會出現(xiàn)在一條直線上，這時候從地球上觀測，金星像鑲嵌在太陽臉上的小黑痣緩慢走過太陽外表，天文學(xué)稱這種現(xiàn)象為“金星凌日〞，假設(shè)地球公轉(zhuǎn)軌道半徑為R，“金星凌日〞每隔t0年出現(xiàn)一次，那么金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342471)(D)A．eq\f(t0,1＋t0)R B．Req\r(2,\f(t0,1＋t0)3)C．Req\r(3,\f(1＋t0,t0)2) D．Req\r(3,\f(t0,1＋t0)2)[解析]根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(R\o\al(3,金),R3)＝eq\f(T\o\al(2,金),T\o\al(2,地))，“金星凌日〞每隔t0年出現(xiàn)一次，故(eq\f(2π,T金)－eq\f(2π,T地))t0＝2π，T地＝1年，聯(lián)立解得eq\f(R金,R)＝eq\r(3,\f(t0,1＋t0)2)，因此金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑R金＝Req\r(3,\f(t0,1＋t0)2)，故D正確。6．(2022·福建廈門質(zhì)檢)假設(shè)宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的行星A和B，半徑分別為RA和RB。這兩顆行星周圍衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關(guān)系如下圖，T0為衛(wèi)星環(huán)繞行星外表運行的周期。那么eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342472)(A)A．行星A的質(zhì)量大于行星B的質(zhì)量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度D．當(dāng)兩行星的衛(wèi)星軌道半徑相同時，行星A的衛(wèi)星向心加速度小于行星B的衛(wèi)星向心加速度[解析]根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，r3＝eq\f(GM,4π2)T2，由圖象可知，A的斜率大，所以A的質(zhì)量大，A正確。由圖象可知當(dāng)衛(wèi)星在兩行星外表運行時，周期相同，將M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3代入上式可知兩行星密度相同，B錯誤。根據(jù)萬有引力提供向心力，那么eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，所以v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(4,3)πρGR2)，行星A的半徑大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C錯誤。兩衛(wèi)星的軌道半徑相同時，它們的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，由于A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，所以行星A的衛(wèi)星向心加速度大，D錯誤。7．(2022·山西太原五中段考)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為7︰1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動。由此可知，冥王星繞O點運動的eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342473)(BC)A．軌道半徑約為卡戎的7倍 B．向心加速度大小約為卡戎的eq\f(1,7)C．線速度大小約為卡戎的eq\f(1,7) D．動能大小約為卡戎的7倍[解析]冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，所以冥王星和卡戎的周期是相等的，角速度也是相等的。它們之間的萬有引力提供各自的向心力，得mω2r＝Mω2R，質(zhì)量比約為7︰1，所以冥王星繞O點運動的軌道半徑約為卡戎的eq\f(1,7)，故A錯誤；它們之間的萬有引力大小相等，質(zhì)量比為7︰1，故向心加速度比為1︰7，故B正確；根據(jù)線速度v＝ωr得冥王星線速度大小約為卡戎的eq\f(1,7)，故C正確；冥王星的質(zhì)量是卡戎的7倍，速度是卡戎的eq\f(1,7)，故由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知其動能是卡戎的eq\f(1,7)，故D錯誤。8．(2022·甘肅西北師范大學(xué)附屬中學(xué)期末)宇航員在某星球外表以初速度2.0m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運動軌跡，如下圖，O為拋出點，假設(shè)該星球半徑為4000km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2·kg－2，那么以下說法正確的選項是eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342474)(AC)A．該星球外表的重力加速度為4.0m/s2B．該星球的質(zhì)量為2.4×10C．該星球的第一宇宙速度為4.0km/sD．假設(shè)發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，那么同步衛(wèi)星的繞行速度一定大于4.0km/s[解析]根據(jù)平拋運動的規(guī)律：h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，得g＝4.0m/s2，A正確；在星球外表，重力近似等于引力，得M＝eq\f(gR2,G)＝9.6×1023kg，B錯誤；由eq\f(mv2,R)＝mg得第一宇宙速度為v＝eq\r(gR)＝4.0km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，D錯誤。9．(2022·江蘇蘇北四市一模)澳大利亞科學(xué)家近日宣布，在離地球約14光年的紅矮星Wolf1061周圍發(fā)現(xiàn)了三顆行星b、c、d，它們的公轉(zhuǎn)周期分別是5天、18天、67天，公轉(zhuǎn)軌道可視作圓，如下圖。引力常量為G。以下說法正確的選項是eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342475)(ABC)A．可求出b、c的公轉(zhuǎn)半徑之比B．可求出c、d的向心加速度之比C．假設(shè)c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的質(zhì)量D．假設(shè)c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的密度[解析]行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可以求解軌道半徑之比，故A正確；行星c、d的周期分別為18天、67天，均做勻速圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可以求解軌道半徑之比，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，故可以求解c、d的向心加速度之比，故B正確；c的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故可以求解出紅矮星的質(zhì)量，但不知道紅矮星的體積，無法求解紅矮星的密度，故C正確，D錯誤。10．(2022·吉林省重點中學(xué)第二次模擬考試)為探測引力波，中山大學(xué)領(lǐng)銜的“天琴方案〞，將向太空發(fā)射三顆完全相同的衛(wèi)星(SC1、SC2、SC3)構(gòu)成一個等邊三角形陣列，地球恰處于三角形的中心，衛(wèi)星將在以地球為中心、高度約10萬公里的軌道上運行，針對確定的引力波源進行引力波探測。如下圖，這三顆衛(wèi)星在太空中的分列圖類似樂器豎琴，故命名為“天琴方案〞。地球同步衛(wèi)星距離地面的高度約為36萬公里。以下說法正確的選項是eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342476)(ABC)A．三顆衛(wèi)星具有相同大小的加速度B．從每顆衛(wèi)星可以觀察到地球上大于eq\f(1,3)的外表C．三顆衛(wèi)星繞地球運動的周期一定小于地球的自轉(zhuǎn)周期D．假設(shè)知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運動周期T，那么可估算出地球的密度[解析]根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，由于三顆衛(wèi)星到地球的距離相等，那么繞地球運動的軌道半徑r相等，那么它們的加速度大小相等，選項A正確；從每顆衛(wèi)星可以觀察到地球上大于eq\f(1,3)的外表，選項B正確；根據(jù)萬有引力等于向心力，Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于三顆衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，故三顆衛(wèi)星繞地球運動的周期小于地球同步衛(wèi)星繞地球運動的周期，即小于地球的自轉(zhuǎn)周期，選項C正確；假設(shè)知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運動周期T，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，但因地球的半徑未知，也不能計算出軌道半徑r，不能計算出地球體積，故不能估算出地球的密度，選項D錯誤。二、非選擇題11．(2022·湖南省五市十校高三聯(lián)考)某天體的外表無大氣層，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的2倍，其半徑為地球半徑的2倍。地球外表附近的重力加速度為g＝10m/s2，地球的第一宇宙速度為v＝8×103m/s。eq\x(導(dǎo)學(xué)號51342477)(1)該天體外表附近的重力加速度g′為多大？(2)靠近該天體外表運行的人造衛(wèi)星的運行速度v′為多大？(3)在該天體外表以15m/s的初速度豎直向上拋一個小球，小球在上升過程的最末1s內(nèi)的位移x為多大？(4)在距該天體外表高h(yuǎn)＝20m處，以v0＝5m/s初速度斜向上拋出一個小球，小球落到該天體外表時速度v″為多大？[答案](1)5m/s2(2)8×103m/s(3)2.5m(4)[解析](1)天體外表附近質(zhì)量為m的物體重力等于萬有引力，可得mg＝Geq\f(Mm,R2)所以在地球外表與該天體外表附近重力加速度之比為eq\f(g,g′)＝eq\f(MR′2,M′R2)＝2得g′＝eq\f(g,2)＝5m/s2(2)對靠近天體外表運行的人造衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)在地球和天體外表運行的人造衛(wèi)星運行速度v和v′的關(guān)系為eq\f(v2,v′2)＝eq\f(MR′,M′R)＝1得v′＝v＝8×103(3)在該天體外表，對小球在豎直上拋上升過程中最末1s的逆過程運用運動學(xué)公式得x＝eq\f(1,2)g′t2代入數(shù)據(jù)可得x＝2.5m(4)在該天體外表，對小球從開始拋出到落到天體外表過程運用動能定理，得mg′h＝eq\f(1,2)mv″2－eq\f(1,2)mveq\o\al(