學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書(shū)：第9章9.29.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)含解析9。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）2。理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種耐用家電產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對(duì)其使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下：（單位：年）甲:3，4,5，6，8，8,8，10；乙：4，6,6,6，8,9,12,13；丙：3,3,4,7，9,10,11，12.問(wèn)題：三家廣告中都稱其產(chǎn)品的使用壽命為8年,利用初中所學(xué)的知識(shí)，你能說(shuō)明為什么嗎？1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù),則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù)）的影響對(duì)極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感3。眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替．（2）中位數(shù):在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．(3）眾數(shù):眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)．思考1:中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎？[提示］不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．思考2：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個(gè)？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論?［提示］一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè),中位數(shù)只有唯一一個(gè)．1．思考辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”）(1)一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的． ()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)． （）（3）若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變． （)［提示］(1）錯(cuò)誤．一個(gè)樣本的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的．若數(shù)據(jù)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)次數(shù)一樣多，則這些數(shù)據(jù)都是眾數(shù)．（2)錯(cuò)誤．樣本的平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．（3）錯(cuò)誤．若改變一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會(huì)改變,而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變．[答案］(1）×（2）×（3）×2．一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23,12,14，14,17，10,12，18，14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．14，14 B．12，14C．14，15.5 D．12,15。5A[把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12，14，14,14,17，18，19,23,27，則可知其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.]3．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)按從小到大排列后如下所示：甲：27，m，39；乙：n,32，34,38。若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同,平均數(shù)也相同，則eq\f(m,n)＝________.eq\f（33,28）［因?yàn)閮山M數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同,所以m＝eq\f(1，2)(32＋34)＝33，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，所以eq\f(1，3)(27＋33＋39）＝eq\f(1，4)（n＋32＋34＋38)．解得n＝28，故eq\f(m,n)＝eq\f(33，28）。］4．已知一組數(shù)據(jù)4,6，5，8，7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．6［eq\f（4＋6＋5＋8＋7＋6,6）＝6。］平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18，15，11,16，18,18，17，15，13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c,則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD［由題意得a＝eq\f(1,10)（16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f（157，10)＝15。7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16,c＝18，∴c＞b＞a.]1求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時(shí),把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后,按照其求法進(jìn)行。2求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點(diǎn)在于計(jì)算的準(zhǔn)確性.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè),命中個(gè)數(shù)如下所示：甲：20,22，27,8,12,13，37，25，24，26乙:14，9，13,18,19,20，23，21,21，11則下面結(jié)論中正確的是________(填序號(hào)）．①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲的平均數(shù)為21.4；④甲的中位數(shù)是24.①②③［把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得甲：8,12,13，20,22,24，25，26，27，37乙：9，11，13,14,18，19,20,21，21,23故甲的最大值為37，最小值為8，則極差為29，所以①正確；乙中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是21,所以②正確；甲的平均數(shù)為eq\o（x，\s\up7(－））甲＝eq\f（1,10)(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37）＝21.4，所以③正確；甲的中位數(shù)為eq\f(1,2）（22＋24）＝23，故④不正確．］平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例2】下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表：老板大廚二廚采購(gòu)員雜工服務(wù)生會(huì)計(jì)3000元450元350元400元320元320元410元(1)計(jì)算所有人員的周平均收入．這個(gè)平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(2)去掉老板的收入后，再計(jì)算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？［解］（1)周平均收入eq\x\to(x）1＝eq\f（1，7）（3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750（元)．這個(gè)平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因?yàn)槔习迨杖胩貏e高，這是一個(gè)異常值，對(duì)平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(2）去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f（1，6）（450＋350＋400＋320＋320＋410）＝375（元)．這能代表打工人員的周收入水平．利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)1平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個(gè)極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，無(wú)法客觀反映總體特征.2當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值.eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲）：甲群：13,13，14，15，15，15,15，16，17,17；乙群：54,3,4,4,5，5,6，6,6，57.（1）甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？（2）乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？[解］（1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f（13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10）＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．（2）乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f（54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57，10)＝15（歲），中位數(shù)為5。5歲,眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)[探究問(wèn)題］1．頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積代表什么？［提示]頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這一組的頻率．2．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數(shù)和中位數(shù)？[提示]在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．【例3】某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．（1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；（2）求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．［思路探究](1)最高的小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；(2)判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，設(shè)出中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的左右兩邊的頻率相等列出方程求解．[解］（1）由題干圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80，2）＝75.（2）由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0。3,0。3＋0.4>0.5,因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi),得0。1＝0。03（x－70)，所以x≈73.3。1．若例3的條件不變，求數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．[解］由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為：eq\f(40＋50,2）×0。005×10＋eq\f（50＋60,2)×0。015×10＋eq\f(60＋70，2)×0。02×10＋eq\f(70＋80,2)×0。03×10＋eq\f(80＋90，2）×0.025×10＋eq\f（90＋100，2)×0。005×10＝72.2．若例3條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．［解]［40，80）分的頻率為：(0。005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0。7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0。7＝56。眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系1眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2中位數(shù)：在樣本中,有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.3平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)時(shí)，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.一、知識(shí)必備1．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用．2．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，中位數(shù)是唯一的,求中位數(shù)時(shí),必須先排序．二、方法必備利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征：（1)眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2)中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等．(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．1．一組觀察值4，3,5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，2,4，2，則樣本平均值為()A．4。55 B．4。5C．12.5 D．1。64A[由題意得eq\o(x，\s\up7(－））＝eq\f（1，11)(4×3＋3×2＋5×4＋6×2）≈4.55。]2．下列數(shù)字特征一定會(huì)在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的是()A．眾數(shù) B．中位數(shù)C．平均數(shù) D．都不會(huì)A［眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以一定會(huì)在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．］3．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得到－1,0，4，x，7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．5[∵－1,0，4，x，7，14的中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x，2)＝5,∴x＝6?！噙@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，］4．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0。30，0.40，0。15,0.10,0。05.求:（1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）高一參賽學(xué)生