第8節(jié)函數(shù)與方程

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系.

2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在性定理,并

能簡單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解的步驟.

①超激材夯實國基

必備知識?課前回顧

I方知識梳理

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義:使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)三個等價關(guān)系：方程f(x)=0有實數(shù)解o函數(shù)y=f(x)有零點o函數(shù)

y=f(x)的圖象與x軸有公共點.

______________________________________■釋疑

函數(shù)的零點不是一個點,而是一個實數(shù).該實數(shù)是函數(shù)圖象與x輔交

點的橫坐標(biāo).

2.函數(shù)零點存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)-f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即

存在c￡(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.

■釋疑

函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)且單調(diào),而且f(a)在b)<0,則f(x)在(a,b)上

有且僅有一個零點.

3.二分法

對于在區(qū)間［a,b］上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)〈0的函數(shù)尸f(x),通過

不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼

近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

■釋疑

用二分法求方程的近似解應(yīng)具備兩個條件，一是方程對應(yīng)的函數(shù)在零

點附近連續(xù)不斷，二是該零點左、右的函數(shù)值異號.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系

A>0△=0△<0

二次函數(shù)

IZ

y=ax2+bx+c

0萬Y

0|?1=?2X

(a>0)的圖象

與X軸的交點（X1,0）,（X2,0）（X1,0）無交點

零點個數(shù)210

:三重要結(jié)論

1.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并

且有f(a)?f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點.特別是，當(dāng)y=f(x)在

［a,b］上單調(diào)時一,它僅有一個零點.

2.由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,b］上有零點不一定

能推出f(a)?f(b)〈O,如圖所示，所以f(a)?f(b)〈O是y=f(x)在閉區(qū)

間［a,b］上有零點的充分不必要條件.

1.若函數(shù)f(x)=x?+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是(B)

A.(-°°,1)B.(1,+8)

C.(-°°,1］D.［1,+8)

解析：因為函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點，所以方程x2+2x+a=0無實根,

即△=4-4a<0,由此可得a>l.故選B.

2.(必修第一冊P155習(xí)題T2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷

的，且有如下的x,f(x)對應(yīng)值表:

X1234

f(X)136.13615.552-3.9210.88

X567

f(X)-52.488-232.06411.238

由表可知函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間有(D)

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：因為f(2)f⑶<0,f⑶f(4)<0,f(4)?f⑸<0,f(6)f⑺<0,所以

存在零點的區(qū)間有4個.故選D.

3.(必修第一冊P155習(xí)題T4改編)函數(shù)f(x)=3*+2x的零點所在的區(qū)

間是(C)

A.(1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(-2,-1)

解析：由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且

f(一2)=3-2+2X(一2)」一4<0,f(-l)=3-1+2X(-l)=i-2<0,f(0)=l>0,f

93

(l)=3+2>0,f(2)=9+4>0,因此f(T)f(0)<0,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)

間為(T,0).故選C.

4?函數(shù)f(x)卷：:。的零點是(B)

A.(-1,0),(1,0)B.-l,1

C.(-1,0)D,-1

解析：由題意可得｛:解得x=-l;

IF；%0,解得X=L綜上x=±L故選B-

美小考點氣窠四鬟

關(guān)鍵能力?課堂突破

喔考點一函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用

1.函數(shù)f(x)=log2X」的零點所在區(qū)間為(C)

X

A.(0,B.(1,1)

C.(1,2)D.(2,3)

解析：由題意可知函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且連續(xù)不間斷.

f(1)=log21-2<0,f(l)=log2l-l<0,f(2)=log22-|>0,

由f(l)?f(2)<0及函數(shù)零點存在性定理可得零點所在區(qū)間為(1,2).

故選C.

2.已知函數(shù)h(x)=ex與g(x)=x2-8x,兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)所在

的區(qū)間為(B)

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析:令f(x)=h(x)-g(x)=ex-x2+8x,

則f(-2)=e--(-2)2+8X(-2X0,

f(-l)=e-(-1)2+8X(-1X0,

f(0)=l,f(2)>0,所以f(-l)f(0)<0,又f(x)的圖象連續(xù),且在(T,0)

上單調(diào),所以函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有零點.即兩個函數(shù)圖象交點的

橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(T,0).故選B.

3.已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),若Xo

是方程Inx=：的一個解，則g(x。)等于(B)

A.1B.2C.3D.4

解析:令f(x)=lnx--,則函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù),且f(2)=ln

X

2-l<0,f(3)=ln3-|>0,故xoe(2,3),所以g(x°)=[x0]=2.

故選B.

4.已知函數(shù)f(x)=log2(x+l)+3x+m的零點在區(qū)間(0,1]±,則實數(shù)m的

取值范圍為(D)

A.(-4,0)

B.(-8,—4)u(o,+oo)

C.(-8,—4］u(0,+8)

D.［-4,0)

解析：因為f(x)=log2(x+1)+3x+m在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，函數(shù)

f(x)=log2(x+l)+3x+m的零點在區(qū)間(0,1］上,所以匕*；R即

%：223+心。,解得一故選D.

—題后悟通;

確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法

⑴利用函數(shù)零點存在性定理

首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是否連續(xù),再看是否有

f(a)?f(b)<0,若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.若函數(shù)

圖象連續(xù)不間斷,則直接使用函數(shù)零點存在性定理判斷.

⑵求兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)范圍及方程的根的范圍的方法

兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象,其交點的橫坐標(biāo)是函數(shù)

F(x)=f(x)飛(x)的零點(同理，方程f(x)-g(x)=0的根就是函數(shù)

F(x)=f(x)-g(x)的零點)，因此可以借助函數(shù)零點存在性定理判斷函

數(shù)零點所在區(qū)間.

考點二函數(shù)零點個數(shù)的確定

方法-解方程法

CSH)已知函數(shù)f(x)=［：：則函數(shù)y=f［f(x)］T的零點個數(shù)

為()

A.3B.2C.0D.4

解析：y=f[f(x)]-1=0,即f[f(x)]=l.

當(dāng)f(x)WO時,f(x)+l=l,即f(x)=0時,此時log2X=0,計算得出x=l,

或者x+l=0,計算得出x=-l.

當(dāng)f(x)>0時,即log2f(x)=l,當(dāng)f(x)=2時,若x+l=2,計算得出x=l(舍

去)，若log2x=2,計算得出x=4.綜上所述，函數(shù)y=f[f(x)]-l的圖象與

x軸的交點個數(shù)為3.故選A.

方法二數(shù)形結(jié)合法

倒三(1)已知f(x)=W1+L片°，則函數(shù)g(x)=f(x)-ex的零

(-2%+1,x>0,

點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

(2)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)xe[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)

y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點共有()

A.10個B.9個C.8個D.7個

解析：(1)函數(shù)g(x)=f(x)-e'的零點，即方程f(x)-e"0的解，即

f(x)=e-x,即y=f(x)與y=e"圖象的交點的橫坐標(biāo)，因為

f6)=廣:2：21，“烹°，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象如

(-2x+1,%>0,

圖所示,

由函數(shù)圖象可知y=f(x)與y=e'有兩個交點，故函數(shù)g(x)=f(x)-可有

2個零點.故選B.

⑵函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|1gx|的圖象如圖所示，

y

5-

4-

3■

2-

-101234567891011121314%

-1?

因為f(9)=f(l)=l>lg9,f(ll)=f(l)=Klg11,數(shù)形結(jié)合可知，兩函數(shù)

的圖象交點有10個.故選A.

"解題策略1

判斷函數(shù)y=f(x)零點個數(shù)的常用方法

(1)方程轉(zhuǎn)化法:令f(x)=0,則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).

⑵數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.一般地，涉

及與函數(shù)的性質(zhì)(周期性、奇偶性等)有關(guān)的零點個數(shù)判斷，指數(shù)、對

數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等零點個數(shù)判斷常用此法.

[針對訓(xùn)練]

1.函數(shù)f(x)=e[Inx]-2的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

解析：函數(shù)f(x)=e11nx|-2的零點可以轉(zhuǎn)化為方程|Inx|=^的根，

ex

也就是兩函數(shù)y=IInx|與y=W的圖象的交點個數(shù)，在同一平面直角坐

ex

標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象可得有兩個交點，故

原函數(shù)有兩個零點.故選B.

2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=f(-x),且當(dāng)x

G[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則函數(shù)y=f(x)-x'的零點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

解析：由f(x+2)=f(-x)可得f(x)關(guān)于直線x=l對稱，

由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2),所以f(x)的周期為

4.

函數(shù)y=f(x)-x3的零點問題即y=f(x)-x:-0的解，即函數(shù)y=f(x)和y=x3

的圖象交點問題,根據(jù)f(x)的性質(zhì)可得滿足題意的函數(shù)圖象如圖所示,

由圖象可得共有3個交點.故選B.

3.函數(shù),噸；亶黑黃的零點個數(shù)為——

解析：當(dāng)x>0時，令T+lnx=0,故x=e,符合；當(dāng)x<0時,令3x+4=0,故

x=q,符合,所以y=f(x)的零點有2個.

答案：2

慢考點三函數(shù)零點的應(yīng)用

惟度-已知函數(shù)零點或方程根的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍

CSED已知函數(shù)f(x)=[廣見“母？(a￡R),若函數(shù)f(x)在R上有兩

個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,+8)

C.(0,1)D.(-oo,1]

解析:畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因為函數(shù)f(x)在R上有兩

個零點，所以f(x)在(-8,0]和(0,+8)上各有一個零點.當(dāng)xWO

時,f(x)有一個零點，需aW1;當(dāng)x>0時,f(x)有一個零點,需-a〈0,即

a>0.綜上,(KaWL故選A.

1.形如g(x)=f(x)-m的含參數(shù)函數(shù)零點問題可轉(zhuǎn)化為f(x)=m求解.

2.根據(jù)含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、抽象函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

問題,若能夠?qū)?shù)分離,則常分離參數(shù)后求解,若分離參數(shù)后的不含

參數(shù)的函數(shù)圖象能夠作出，則作出函數(shù)圖象后利用數(shù)形結(jié)合思想求

解.

口角度二求函數(shù)的零點的和

C?通函數(shù)￡&)=工-25迷(口乂)(-1?乂忘3)的所有零點之和為()

l-x

A.2B.4C.6D.8

解析:法一令f(x)=-^—2sin(nx)=0,即」-=2sin(nx).由于函數(shù)

l-xl-x

丫=--=-^-是由函數(shù)y=」向右平移一個單位長度而得到，因此函數(shù)圖

l-xX-1X

象關(guān)于點(1,0)對稱，由于點(1,0)是函數(shù)y=2sin(nx)圖象的對稱點,

在同一平面直角坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象,如圖所示,兩個函數(shù)

的圖象有四個交點,根據(jù)對稱性可知函數(shù)f(x)=---2sin(nx)(TWx

l-x

W3)零點之和為2X2=4.故選B.

法二令l-x=t,則2sin(nx)=2sin[n(l-t)]=2sin法-n

t)=2sin(nt),

由x=l-t以及-1WXW3可知-1W1-tW3,所以-2WtW2.

如圖作出兩函數(shù)y=py=2sin(nt)在區(qū)間［-2,2］內(nèi)的圖象,可知兩函

數(shù)圖象有四個交點，結(jié)合兩函數(shù)均為奇函數(shù)可知，t1+t2+t3+t4=0,即

(l-xi)+(l-x2)+(l-x3)+(l-x4)=0,因此xi+x2+x3+x4=4.故選B.

"解題策略

求函數(shù)的多個零點(或方程的根以及直線y=m與函數(shù)圖象的多個交點

橫坐標(biāo))的和時,常借助函數(shù)的性質(zhì)(如函數(shù)本身關(guān)于點的對稱、直線

的對稱等)求和.

口角度三二次函數(shù)的零點分布問題

(SO已知方程X?-mx-m+3=o.

⑴若方程不相等的兩根都在：-4,0］內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；

⑵若方程不相等的兩根都小于5,求實數(shù)m的取值范圍；

⑶若一根大于1,一根小于1,求實數(shù)m的取值范圍.

解:令f(x)=x2-mx-m+3,則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線.

(1)若f(x)=x2-mx-m+3=0的不相等的兩根都在［-4,0］內(nèi)，

=m2+4m-12>0,

則《/、2

/(-4)=16+3m+3>0,

、/(0)=~m+3>0,

m>2或m<-6,

解得卜8<%<6即

m>3

<m<3,

(2)f(x)=x2-mx-m+3=0的兩根都小于5,

=標(biāo)+4771T2>0,

L【M,I-

則J5<5,

、/(5)=25-6m+3>0,

解得m<-6或2<m<y.

⑶若f(x)=x2-mx-m+3=0的一根大于1,一根小于1,則

f(l)=l-2m+3<0,

解得m>2.

，解題策略

若二次方程的根在一個區(qū)間上,則要考慮方程判別式△20,方程對應(yīng)

的二次函數(shù)圖象的對稱軸在該區(qū)間內(nèi)，以及區(qū)間端點函數(shù)值的符號和

開口方向；若二次方程的根在兩個區(qū)間上，則只需要考慮區(qū)間端點的

函數(shù)值符號和開口方向.

［針對訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)f(x)=|xT|?(x+1),若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同

的實數(shù)解,則實數(shù)k的值為()

A.0B.1

C.0和TD.0和1

解析:f(x)=|xT|?(x+l)=儼/}：>1,

畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，

結(jié)合函數(shù)圖象可知k=l或k=0時,方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)解.

故選D.

2.方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(T,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(0,2)

內(nèi)，則m的取值范圍是()

A.(|,5)B.5)

C.(-8,|)U(5,+8)D.(-oo,|)

解析：因為方程4x?+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(T,0)內(nèi)，另一根在

區(qū)間(0,2)內(nèi)，所以函數(shù)f(x)=4x2+(m-2)x+m-5的兩個零點一個在區(qū)間

(-1,0)內(nèi)，另一個在區(qū)間(0,2)內(nèi)，

(-1)=4-(m-2)+m-5>0,

則只需，/(0)=m-5<0,

、/⑵=16+2(m-2)+m-5>0,

解得-"mVS.

所以m的取值范圍是(3,5).故選B.

3.函數(shù)f(x)=—^―-2cos(Jix)在區(qū)間［-3,5］上所有零點的和等于

|%-1|

A.2B.4C.6D.8

解析：因為f(x)=」^-2cos(nX),

lx-11

令f(x)=0,則廠一二2cosOx),

|x-l|

則函數(shù)的零點就是y和y=2cos(Jix)圖象交點的橫坐標(biāo)，

-j\xI-l\

可得|x-和l|y=2cos(nx)的圖象都關(guān)于直線x=l對稱,則交點也關(guān)

于直線x=l對稱，

畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，

觀察圖象可知,y=；和y=2cos(nx)在［-3,5］內(nèi)有8個交點，即f(x)

\X-1\

有8個零點,且關(guān)于直線x=l對稱,故所有零點的和為4義2=8.故選D.

庭備選例題

CM)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),若f(2)=0,

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點個數(shù)的最小值是()

A.5B.4C.3D.2

解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(3-x)=f(x),f(x-3)=f(x),

所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù),又因為f(x)是定義在R上的偶函

數(shù)，且f(2)=0,所以f(-2)=0,所以

f(5)=f(2)=0,f(l)=f(-2)=0,f(4)=f(1)=0.即在區(qū)間(0,6)

內(nèi)，f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零

點個數(shù)的最小值是4.故選B.

0?已知函數(shù)￡&)=(?-|1083&-1)|有兩個零點刈.,則()

A.XiX2<X］+x2

B.XiX2<l

C.XiX2=Xi+x2

D.XiX2>Xi+x2

解析:在同一平面直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y=(3*與函數(shù)

y=|log3(x-l)|的圖象如圖所示，設(shè)XiW(1,2),x,G(2,+8),

X1=-X2

有9l°g3(x-1),(|)=log3(x2-1),

x

所以9"2-（,i=log3（X2-1）+log3（X-1）=log3[（X2-1）（x-l）].

因為x〈x2,得9小一（？x1<0）

所以有l(wèi)og3[（x2-l）（X1-1）]=10g3（XiX2-Xi-X2+l）<0,即

O<xix2-xi-x2+l<l,

所以xix2<xi+x2.故選A.

麗已知f(x)，%>0,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點個數(shù)

是.

解析：由2f之(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖

象如圖所示，

由圖象知與y=f(x)的圖象有2個交點,y=l與y=f(x)的圖象有3

個交占

因此函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+l的零點有5個.

答案：5

】嗝（-；），％<T，

CW已知函數(shù)f(x)=1,4,2.

--x7+-%+-,%>-1,

333

若f(x)在區(qū)間［m,4］上的值域為［-1,2］,則實數(shù)m的取值范圍

為

解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，當(dāng)xWT時-，函數(shù)f(x)=log2(《)單

調(diào)遞減,且最小值為f(T)=T,則令log2(-，=2,解得x=-8;當(dāng)x>-l時,

函數(shù)f&)=-#+￥+|在(-1,2)上單調(diào)遞增，在⑵+8)上單調(diào)遞減,則

最大值為f(2)=2,又f(4)=|<2,f(-D=-l,故所求實數(shù)m的取值范圍為

[-8,-1].

y

-2\yo24X

........................-if...........................

答案：[-8,-1]

CMD若曲線y=log2⑵-m)(x>2)上至少存在一點與直線y=x+l上的一

點關(guān)于原點對稱,則m的取值范圍為.

解析：因為直線y=x+l關(guān)于原點對稱的直線為y=xT,依題意方程

xx-1

log2(2-m)=x-l在(2,+8)上有解，即m=2在(2,+8)上有解,所以

m>2.

又2'-m>0恒成立,則mW4,

所以實數(shù)m的取值范圍為⑵4].

答案：⑵4]

靈話方醫(yī)方致偎必

課時作業(yè)

回選題明細表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

函數(shù)零點(個數(shù))及所在區(qū)間1,2,3,1015

利用函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)

5,8,911,1317

的取值(范圍)

函數(shù)零點的綜合問題4,6,712,1416,18

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.函數(shù)y=x-4-(》x的零點所在的區(qū)間是(B)

A.(0,1)B.(1,2)

C.⑵3)D.(3,4)

解析：y=x-4-《)x=x_《)x-2為R上的連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)，且

f(1)=1-2<0,f(2)=2-1>0,所以f(l)-f(2)<0,故函數(shù)y=x-4?弓尸的

零點所在區(qū)間為(1,2).故選B.

2.函數(shù)f(x)=x?」+l的零點個數(shù)為(B)

X

A.0B.1C.2D.3

解析:令f(x)=0得x2—+l=0,所以x2+l=-,再作出函數(shù)y=x2+l與y」的

XXX

圖象,如圖所示，由于兩個函數(shù)的圖象只有一個交點,所以零點個數(shù)為

1.故選B.

是(C)

A.1

B.-1~V2

C.1或-1-或

D.1或-1+夜或-1-/

解析：當(dāng)x>0時，方程x?sgnx=2x-l可轉(zhuǎn)化為x?=2xT,化簡得(XT)2=0,

解得x=l;

當(dāng)x=0時，方程x2sgnx=2x-l可轉(zhuǎn)化為0=-1,無解;

當(dāng)x<0時，方程x2sgnx=2x-l可轉(zhuǎn)化為-x?=2xT,化簡得x2+2x-l=0,

解得*=-1+魚(舍去)或x=T-VI綜上,方程x2sgnx=2x-l的解是1

或-1-夜.故選C.

4.已知三個函數(shù)數(shù)x)=2*+x,g(x)=xT,h(x)=log3x+x的零點依次為

a,b,c,則(D)

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

解析：令f(x)=2x+x=0,解得x<0,令g(x)=x-l=O,解得x=l,

由h(x)=log3x+x在(0,+8)上單調(diào)遞增，得h(|)=-1+|<0,h(l)=l>0,因

此h(x)的零點x0G(1,1),則b>c>a.故選D.

5.函數(shù)f(幻=[產(chǎn)；1'“1有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍

(2xz-ax,x>1

是(C)

A.(-8,2]B.(-8,2)

C⑵+8)D.(2,+8)

解析：由題意得，當(dāng)x<l時，函數(shù)有一個零點x=|;

當(dāng)xll時，令2x2-ax=o,得X音,要使函數(shù)有兩個不同的零點，則只需

解得a22.故選C.

6.(多選題)(2021?河北石家莊高三質(zhì)量檢測)記函數(shù)f(x)=x+lnx的

零點為x。,則關(guān)于X。的結(jié)論正確的為(BC)

11

A.0<x?<-B.i<x0<l

22

C.e-x°-Xo=0D,e-x°+xo=0

解析：由于函數(shù)f(x)=x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，且f(j)

2<0,

f(l)=l>0,所以^x。。.

由于xo是函數(shù)f(x)=x+lnx的零點,則xo+lnxo=0,即InXo=-Xo,所以

x-x

x0=e^°,gpe°-Xo=O,貝”“。+乂0=26』>0,故A,D選項錯誤,B,C選項正

確.故選BC.

7.已知函數(shù)8&)=￡則方程￡&)=8&-1)的所

(Tg(2-%),x<l,

有根的和等于(C)

A.1B.2C.3D.4

解析:作出函數(shù)'I

Hg(2-x),x<1,

g(xT)=(xT)3的圖象如圖所示.

函數(shù)y=f(x),y=g(x-l)圖象都關(guān)于點(1,0)對稱,并且兩個函數(shù)圖象有

三個交點,所以方程f(x)=g(x-1)的所有根的和為3.故選C.

8.(2021?河南天一大聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=|e「a|-1有兩個零點，則實

數(shù)a的取值范圍是.

解析：因為函數(shù)f(x)=|ex-a|-l有兩個零點，所以|eJa|T=0有兩

個解,

貝ije=a+l或ex=a-l都有解，所以藍°,

解得a>l,故實數(shù)a的取值范圍是(1,+8).

答案：(1,+8)

9.已知函數(shù)f(x)=F：，%<1，若關(guān)于x的方程f(x)=2a(a￡R)

(X2-3X+3,x>1,

恰有兩個不同的實根,則實數(shù)a的取值范圍為.

解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，

因為關(guān)于x的方程f(x)=2a恰有兩個不同實根，

所以y=2a與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有兩個交點,結(jié)合圖象，

得2a>2或|<2aWL解得a>l或京a4.

答案：?3口(1,+8)

oZ

10.寫出一個滿足以下條件的二次函數(shù):存在零點，但是該零點不能利

用函數(shù)零點存在性定理判斷,該函數(shù)是.

解析：由于不能利用零點存在性定理判斷的函數(shù)零點是不變號零點,

因此只要是圖象與X軸只有一個交點的二次函數(shù)即可滿足題意，如

f(X)=X2-2X+1等.

答案：f(x)=x2-2x+l(答案不唯一，只要是二次函數(shù)圖象與x軸相切

即可)

B級綜合運用練

11.(2021?福建龍巖高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=F；—。，“5°\心目)在

R上沒有零點，則a的取值范圍是(B)

A.(0,+8)B.(1,+8)u{0}

C.(-8,o]D.(-°0,1]

解析:假設(shè)函數(shù)f(x)=[2：a,"W0.(a￡R),存在零點，則當(dāng)x^0時一,

由y=2x-a有零點，貝ija=2'(xW0),即0<aWl.當(dāng)x>0時，由y=-3x-a有

零點可知a<0,因此函數(shù)f(x)=[2：F，“M”(a￡R)存在零點的條件

是aWl,且aWO.因此當(dāng)函數(shù)f(x)=[2：a，“<”(a￡R)在R上沒有

零點時,ae(1,+8)u{0}.故選B.

12.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點滿足:①點A,B都在函數(shù)f(x)的圖象

上;②點A,B關(guān)于原點對稱,則點對(A,B)是函數(shù)f(x)的一個“姊妹點

對”?點對(A,B)與(B,A)可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)

(支2+2x(XV0)

2(則f(X)的“姊妹點對”有(C)

A.0個B1個

C2個D3個

解析:根據(jù)題意，“姊妹點對”滿足兩點:都在函數(shù)圖象上,且關(guān)于坐標(biāo)

原點對稱.

因此“姊妹點對”的個數(shù)即為函數(shù)y=x2+2x(x<0)的圖象關(guān)于原點對稱

的圖象與函數(shù)丫=盤&20)的圖象交點的個數(shù)，當(dāng)x=l時,0*1,作出滿

足題意的圖象如圖所示,觀察圖象可得它們有2個交點.故選C.

13.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=：對稱,

4

且當(dāng)；WxW冗時,f(x)=sinx,則當(dāng)函數(shù)g(x)=f(x)-a在［-三，111有零

42

點時一，關(guān)于其零點之和，下列闡述正確的是(BCD)

A.零點之和可以為；

B,零點之和可以為］

C.零點之和可以為斗

D.零點之和可以為弘

解析：由題意知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=9寸稱，

又因為當(dāng)；WxWn時,f(x)=sinx,所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，函

數(shù)g(x)=f(x)-a在［三句內(nèi)有零點,

即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=a的圖象在［3，冗］內(nèi)有交點,結(jié)合圖

象可知，當(dāng)OWa4或a=l時,有兩個零點,零點之和為

當(dāng)a=￥時,有三個零點,零點之和為亨；

當(dāng)了〈a〈l時,有四個零點,零點之和為n.故選BCD.

14.已知函數(shù)f(x)=｛：爐:上會°若關(guān)于x的方程f(x)=k(k￡R)

恰有三個互不相同的實根x?X2,則XI-X2-X3的取值范圍為.

?

由圖可得xt=-k,x2-x3=，k,故X,?x2?x3=-|k,kG(0,3),所以

X,?x2?X3G(-3,0).

答案：(-3,0)

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.(2021?北京高三期末)已知函數(shù)f(x)=[2x,X7n，則函數(shù)

I-%,%<0,

y=f(x)-2周的零點個數(shù)是(C)

A.0B.1C.2D.3

解析:令f(x)-2x=0,得f(x)=2xl,則函數(shù)y=f(x)-2”的零點個數(shù)等價

于函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2"的圖象的交點個數(shù).

2%,%>0,

因為y=2x='(-)x~x<0作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=2〃的圖象如圖所

不.

由圖象可知兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為2,故函數(shù)y=f(x)-2"的零

點個數(shù)為2.故選C.

16.若實數(shù)a,b滿足abWO,記函數(shù)f(xh^-a?)(x-b)(|x|-2a+b)的零

點個數(shù)為N(a,b)4iJ(C)

A.若N(a,b)=2,則a+b2>0

B.若N(a,b)=3,貝!Jab+—^2

ab

C.若N(a,b)=4,貝(J2a2-3ab+b2^0

D.若N(a,b)=5,則a2+b>0

解析：函數(shù)f(x)=(x2-a2)(x-b)(|x|-2a+b),

由f(x)=0,可得x2-a2=0或x-b=O或|x|-2a+b=0,

所以x=±a或x=b或|x|=2a-b,

因為ab#O,所以x=±a是函數(shù)f(x)的兩個不同零點.

N(a,b)=2等價于沒有另外的零點了，為此只要2a-b〈0(即b>2a),且

b=±a即可,可取b=l,a=-l,則a+b2=0而不是大于0,故A錯誤.

N(a,b)=3等價于另外還有一個不同的零點，為此只要2a-b〈0(即

b>2a),且bW土a即可，取滿足這些條件的一組數(shù)a=-l,b=4,則

ab<0,ab+—<0,故B錯誤.

ab

若N(a,b)=4,

情形①：2a-b=0,|x|=2a-b產(chǎn)生一個不同的零點0,x=b產(chǎn)生一個零點,

且這些零點都不相同，只需bW±a,

則2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)=0;

情形②：2a-b>0,|x|=2a-b產(chǎn)生兩個不同的零點2a-b和-2a+b,則b