第3節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

睡課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，能根據(jù)最小二乘原理建立經(jīng)驗(yàn)

回歸方程并進(jìn)行預(yù)測，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義和殘差分析.

2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,2X2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義,能對兩個(gè)分

類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn).

①超激材夯實(shí)國基

必備知識(shí)?課前回顧

朕知識(shí)梳理

1.成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

(1)變量的相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一

個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

⑵散點(diǎn)圖

每一個(gè)序號(hào)下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由

這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

⑶正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈

現(xiàn)增加的趨勢,我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān);如果當(dāng)一個(gè)變量的值增

加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢,則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(4)線性相關(guān)與曲線相關(guān)

一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在二

條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).

一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這

兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

⑸樣本相關(guān)系數(shù)

n__n

一W（陽田優(yōu)司一岳陽y「n石

l~nTH~I~n-n

J.￡（%/-%）區(qū)⑶廠歹）J（昌*位）（昌*-n歹）

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).樣本相關(guān)系數(shù)r的取值

范圍為［T,□.

當(dāng)r>0時(shí),稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān),這時(shí)一，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),

另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)

據(jù)的值通常也變大.

當(dāng)r<0時(shí),稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),這時(shí)一，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),

另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)

據(jù)的值通常會(huì)變小.

■釋疑

樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性木標(biāo)

的程度：當(dāng)Ir|越接近1時(shí),成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；引肩

越接近0時(shí),成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱］

2.一元線性回歸模型及其應(yīng)用

（1）一元線性回歸模型

我們稱式子｛短）匕：/為丫關(guān)于x的一元線性回歸模型,

其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模

型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間

的隨機(jī)誤差.

(2)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

，人71

.￡(%j-x)(yry)

b=仁、~~，n

當(dāng)a,b的取值為《i=i(xr%)時(shí),Q=￡達(dá)到最小.

八-曰

、a=y-bx

此時(shí).，我們將y=bx+a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函

數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式,其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程

的方法叫做最小二乘法,求得的b,a叫做b,a的最小二乘估計(jì).

⑶殘差分析

對于響應(yīng)變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程

得到的y稱為預(yù)測值,觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差

的估計(jì)結(jié)果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及

判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面的工作稱為殘差分析.

■釋疑

如果在殘差的散點(diǎn)圖中,殘差比較均勻地分布在橫軸兩邊,說明殘差

比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為。方差為。2的隨機(jī)變

量的觀測值.

(4)決定系數(shù)R2及其意義

n-2

E(yi_y>)

我們也用決定系數(shù)R2=l-早一二來比較兩個(gè)模型的擬合效果.在R2

區(qū)(y「y)

nn*2

表達(dá)式中，Z(y「歹)2與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和Z(%-力)與

經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)，因此R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合

效果越好;R2越小,表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.

3.分類變量與列聯(lián)表

(1)我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),

這類隨機(jī)變量稱為分類變量.

(2)按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì),并做成表格加以保存.這種

形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2義2列聯(lián)表,關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)

的2義2列聯(lián)表如下:

Y

X合計(jì)

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念

利用x2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為x,獨(dú)立性檢

驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

⑵獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算公式

2

x---、山。"°。)1---其中n=a+b+c+d).

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則

當(dāng)x2》x0時(shí),我們就推斷H。不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)

誤的概率不超過a;

當(dāng)X2<x.時(shí),我們沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

（4）x2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

■釋疑

（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其

是否有關(guān)系的判斷.

⑵根據(jù)X2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度,若X2越天

則兩分類變量有關(guān)的把握越大.

度重要結(jié)論

1.通常|r|大于0.75時(shí)一,認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

2.經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)（五歹）.

n人

3.可以通過比較殘差的平方和S?！噶耸瑏肀容^兩個(gè)模型的效果,殘

i=l

九-2

￡（y；-y）

差平方和越小,擬合效果越好,也可以用R2比較,R2=l-方R2越

春“）2

大,效果越好.

4.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)首先提出零假設(shè):X和Y相互獨(dú)立.

帚點(diǎn)自藏

1.為調(diào)查中學(xué)生近視情況,測得某校男生150名中有80名近視,在140

名女生中有70名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，

用下列哪種方法最有說服力（C）

A.回歸分析B.均值與方差

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)D.概率

解析：“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)

判斷.故選C.

2.（2020?全國I卷）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)

芽率y和溫度x（單位：C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種

子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（Xi,yj（i=l,2,…,20）得到如圖的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜

作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（D）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析：由散點(diǎn)圖可以看此點(diǎn)大致分布在對數(shù)型函數(shù)的圖象附近.

故選D.

3.（多選題）（2021?山東濟(jì)寧一中期末）給出以下四個(gè)說法，其中正確

的是（BD）

A.由樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程）7=匕*+。至少經(jīng)過點(diǎn)區(qū),“），（X2,y2）,

…，（xn,yn）中的一個(gè)

B.在回歸分析中，用決定系數(shù)R2來比較兩個(gè)模型擬合效果,R2越大,表

示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好

C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=-o.5x+0.7中，當(dāng)解釋變量X每增加一個(gè)單位時(shí),

響應(yīng)變量y平均增加0.5個(gè)單位

D.若變量y和x之間的樣本相關(guān)系數(shù)為r=-0.9872,則變量y和x之

間的負(fù)線性相關(guān)很強(qiáng)

解析:經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a經(jīng)過點(diǎn)(元歹)，不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，故A

不正確;用決定系數(shù)R?來比較兩個(gè)模型的擬合效果,R2越大,表示殘差

平方和越小，即模型的擬合效果越好，故B正確;在經(jīng)驗(yàn)回歸方程

y=-Q.5x+0.7中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量y平均減

少0.5個(gè)單位,故C不正確;若變量y和x之間的樣本相關(guān)系數(shù)為

r=-0.9872,則變量y和x之間的負(fù)線性相關(guān)很強(qiáng),故D正確.故選BD.

4.為了判斷某高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系.現(xiàn)隨機(jī)抽

取50名學(xué)生，得到如表所示的2義2列聯(lián)表.

選修

性別合計(jì)

理科文科

男131023

女72027

合計(jì)203050

已知P(x841)Q0.05,P(x2>5.024)^0.025.

根據(jù)表中數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到

2

X-4.844,則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可

23X27X20X30

能性為.

解析：x2心4.844>3.841,這表明小概率事件發(fā)生.根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基

本原理,應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立,并且這種

判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.

答案：5%

5.已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.

X34567

y2.5344.56

根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx-0.25,據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)x=8

時(shí),y=.

解析：由題中圖表可知，元=5,歹=4,因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)過樣本的中心

(x,歹)，則4=5b-0.25,得b=0.85,則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.85x4).25,

再將x=8代入方程,得y=6.55.

答案:6.55

美小考點(diǎn)氣窠四鬟

關(guān)鍵能力?課堂突破

糜考點(diǎn)一成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性判斷

1.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(x“yi)(i=l,2,-,10),得散點(diǎn)圖如圖①,對

變量U.V有觀測數(shù)據(jù)(Ui,Vi)(i=l,2,…，10),得散點(diǎn)圖如圖②.由這兩

個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(C)

r

30

2550

2040

1530

1020

510

°01234567%001234567〃

①②

A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)

解析：由散點(diǎn)圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān),且圖①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程斜

率為負(fù)，圖②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程斜率為正，則由散點(diǎn)圖可判斷變量x與y

負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān).故選C.

2.某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位:千元）與利潤率統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)如表所示.

月份123456

人均銷售額658347

利潤率/%12.610.418.53.08.116.3

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（A）

A.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系

B.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系

D.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系

解析:畫出利潤率與人均銷售額的散點(diǎn)圖，如圖.由圖可知利潤率與人

均銷售額成正相關(guān)關(guān)系.故選A.

0人均銷售額/千元

3.(多選題)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)

關(guān)系，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程,分別得到以下四個(gè)結(jié)論,其中一定不正確

的結(jié)論是(AD)

A.y與x負(fù)相關(guān)且y=2.347x-6.423

B.y與x負(fù)相關(guān)且y=-3.476x+5.648

C.y與x正相關(guān)且y=5.437x+8.493

D.y與x正相關(guān)且y=-4.326x-4.578

解析:y與x負(fù)相關(guān)且y=2.347x-6.423,A結(jié)論錯(cuò)誤，由經(jīng)驗(yàn)回歸方程

知,此兩變量的關(guān)系是正相關(guān)；

y與x負(fù)相關(guān)且y=-3.476x+5.648,B結(jié)論正確,經(jīng)驗(yàn)回歸方程符合負(fù)

相關(guān)的特征；

y與x正相關(guān)且y=5.437x+8.493,C結(jié)論正確，經(jīng)驗(yàn)回歸方程符合正相

關(guān)的特征；

y與x正相關(guān)且y=-4.326x-4.578,D結(jié)論錯(cuò)誤,經(jīng)驗(yàn)回歸方程符合負(fù)

相關(guān)的特征.故選AD.

4.變量X與Y相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對應(yīng)的

一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,D.n表示變

量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),n表示變量V與U之間的線性相關(guān)系

數(shù)，則(C)

A.r2<ri<0B.0<r2<ri

C.r2<0<riD.r2=ri

解析:對于變量Y與X而言,Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即

n>0;對于變量V與U而言,V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即

.故選C.

一題后悟通:

判斷線性相關(guān)關(guān)系中正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的三種方法

（1）散點(diǎn)圖法:點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān);點(diǎn)的分

布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

（2）相關(guān)系數(shù)法:當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小，相

關(guān)指數(shù)心越大,相關(guān)性越強(qiáng).若r>0,則正相關(guān);若r<0,則負(fù)相關(guān).

（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程法：當(dāng)b>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)匕<0時(shí),負(fù)相關(guān).

席考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)

口角度-獨(dú)立性檢驗(yàn)的簡單應(yīng)用

CSH）（2020?全國HI卷）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每

天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表

（單位:天）：

鍛煉人次(200,(400,

[0,200]

空氣質(zhì)量等級400]600]

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

⑶若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某

天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)

據(jù),完成下面的2X2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)

為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

2

附.y2-n{ad-bc）______

（a+匕）（c+d）（a+c）（匕+d）'

P（Y》k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由所給數(shù)據(jù),得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的

估計(jì)值如表:

空氣質(zhì)量等級1234

概率的估計(jì)值0.430.270.210.09

(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為

高X(100X20+300X35+500X45)=350.

(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2X2列聯(lián)表:

人次W400人次〉400

空氣質(zhì)量好3337

空氣質(zhì)量不好228

2

根據(jù)列聯(lián)表得G5.820.

55x45x70x30

由于5.820>3.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次

與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

"解題策略1

1.在2X2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad-bc^0.

Iad-bc|越小,說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大,說明兩個(gè)變

量之間關(guān)系越強(qiáng).

2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)

論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

2

2

⑵根據(jù)公式X三(a+匕，「)(c+匕d)(a+c)(b+d小)計(jì)算X的值.

(3)比較x2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

口角度二獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用

(SH)(2021?河南洛陽統(tǒng)考)某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單

車,為制定適宜的經(jīng)營策略,該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進(jìn)行單

車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機(jī)問卷、整理分析及開座談會(huì)三個(gè)階

段.在隨機(jī)問卷階段,A,B兩個(gè)調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并

及時(shí)收回；在整理分析階段,兩個(gè)調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中,針

對15至45歲的人群,按比例隨機(jī)抽取了300份,進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),具體

情況如表所示.

A組統(tǒng)計(jì)結(jié)果B組統(tǒng)計(jì)結(jié)果

組別

經(jīng)常使偶爾使經(jīng)常使偶爾使

年齡

用單車用單車用單車用單車

[15,25)27人13人40人20人

[25,35)23人17人35人25人

[35,45]20人20人35人25人

⑴先用分層隨機(jī)抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達(dá)到35歲”

抽出一個(gè)容量為60人的樣本,再用分層隨機(jī)抽樣的方法將“年齡達(dá)到

35歲”的被抽個(gè)體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”

中去，

①求這60人中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)；

②為聽取對發(fā)展共享單車的建議,調(diào)查小組專門組織所抽取的“年齡

達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人員召開座談會(huì).會(huì)后共有3份禮品贈(zèng)

送給其中3人，每人1份（其余人員僅贈(zèng)送騎行優(yōu)惠券）.已知參加座談

會(huì)的人員中有且只有4人來自A組，求A組這4人中得到禮品的人數(shù)

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“經(jīng)常使用共享單車與年齡達(dá)到m歲有關(guān)”

的結(jié)論.在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法說明該結(jié)論成立時(shí)一，為使犯錯(cuò)誤的概

率盡可能小,年齡m應(yīng)取25還是35?請通過比較x2的大小加以說明.

2

2_n(ad-bc)

參考公式:其中n=a+b+c+d.

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)'

解：（1）①從300人中抽取60人，其中“年齡達(dá)到35歲”的人數(shù)為

100X^=20,再將這20人用分層隨機(jī)抽樣法按“是否經(jīng)常使用單車”

進(jìn)行名額劃分，其中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為

20X—45=9.

100

②A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3,相應(yīng)概

率為P(X=0)=g噎P(X=D=等/P(X=2)=甯*P(X=3)得小

故其分布列為

X0123

51051

P

42211421

所以E(X)=OX?1X掙2義33義導(dǎo):

(2)按“年齡是否達(dá)到35歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到如表所示的列

聯(lián)表.

使用單車

是否達(dá)到35歲合計(jì)

經(jīng)常偶爾

未達(dá)到12575200

達(dá)到5545100

合計(jì)180120300

/\2Q

、nln-1*4日2300x(125x45-75x55)300X150025

當(dāng)in=35時(shí),口J求得;---------------=-------------=—.

711200X100X180X120200x100x180x12016

按“年齡是否達(dá)到25歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到如表所示的列聯(lián)表.

使用單車

是否達(dá)到25歲合計(jì)

經(jīng)常偶爾

未達(dá)到6733100

達(dá)到11387200

合計(jì)180120300

當(dāng)m=25時(shí)，可求得

行300X(67X87-33X113)2=300X2］。。？二竺,

人“100x200x180x120100x200x180x12016

所以4＞好.

欲使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小，需取m=25.

［針對訓(xùn)練］

(2021?山東青島高三二模)現(xiàn)對某市工薪階層對于“樓市限購令”的

態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們月收入(單位:百元)的頻數(shù)分

布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表所示.

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]

頻數(shù)510151055

贊成

4812521

人數(shù)

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表,并問能否有97.5%的把握認(rèn)

為“某市工薪階層對于'樓市限購令’的態(tài)度與月收入以6500元為

分界點(diǎn)有關(guān)”？

月收入

態(tài)度不低于低于合計(jì)

65百元65百元

贊成

不贊成

合計(jì)

(2)若對月收入在［55,65)和［65,75)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)

行追蹤調(diào)查,求在選中的4人中有人不贊成的條件下，贊成“樓市限購

令”的人數(shù)&的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

附：Lj)(±X3"a+b+c+d.

a0.0500.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴由題意列聯(lián)表如表：

月收入

態(tài)度不低于低于合計(jì)

65百元65百元

贊成32932

不贊成71118

合計(jì)104050

2

x2=50X(3X11-7學(xué)9)--6.27>5,024,

32X18X10X40

所以有97.5%的把握認(rèn)為“某市工薪階層對于'樓市限購令'的態(tài)度

與月收入以6500元為分界點(diǎn)有關(guān)”.

(2)&的所有可能取值為0,1,2,3,

P(€=0)=C5C3_30_3

C^CFCICI_44O-44,

儲(chǔ)儲(chǔ)鬣+髭禺禺_

P(€=l)=-135_27

CioCs-C5C244088

篇鬣犯升篇

P(1=2)=+CKKC￡190_19

C2QC2_C2C2碗—北

髭禺+解禺第一

P(g=3)=685_17

Cl0Cj-ClCl-440-88

所以g的分布列為

€0123

3271917

P

44884488

E（＞OX?1X念2法+3義3

慢考點(diǎn)三一元線性回歸模型及殘差分析

口角度-線性回歸分析

（2021?云南昆明高三三模）我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)

行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧,消除了絕對貧困.某村40戶貧困家

庭在扶貧工作組的幫助下于2017年全面脫貧,該工作組為了了解脫

貧家庭的收入、消費(fèi)支出、食品支出的關(guān)系，在這些脫貧家庭中利用

簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了8戶，調(diào)查統(tǒng)計(jì)這8戶家庭每戶2019年的年

收入X,消費(fèi)支出y,食品支出z（單位:千元），整理數(shù)據(jù)

(X"yD(i=l,2,???,8)得到下面的折線圖，由數(shù)據(jù)(y,,Zi)(i=l,2,???,8)

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程丫="+。（精確到0.01）,并解釋b的現(xiàn)實(shí)生活意義;

（2）恩格爾系數(shù),是食品支出額占家庭消費(fèi)支出總額的比重.通常一個(gè)

家庭收入越少，家庭收入中（或總支出中）用來購買食物的比重越大；

一個(gè)家庭收入越多，家庭收入中（或總支出中）用來購買食物的比重越

小,所以該系數(shù)是衡量居民生活水平的有效指標(biāo).根據(jù)聯(lián)合國糧農(nóng)組

織提出的標(biāo)準(zhǔn)，恩格爾系數(shù)在59%以上為貧困，50%?59%為溫飽,40%?

50%為小康,30%?40%為富裕，低于30%為最富裕.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),

請估計(jì)該村脫貧家庭中達(dá)到最富裕的家庭戶數(shù).

8888

參考數(shù)據(jù)：EXi=360,￡yi=288,Zx=13310,Sxf=16714.附：回歸

i=li=li=liiy=il"

方程y^x+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

八n

ZXiyt-nx?y

a=y-bx.

88

解：⑴由題,可知三=0^=吧=45,歹==*-288=36,

8888

八8

匕匚I、I,香產(chǎn)沙廠8%?9310-8x45x36175??八門

------=-13---------=——仁0.681^0.68,

5避-8元216714-8X452257

1=11

故（1二歹一匕元、36-0.681X4545.36.

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.68x+5.36.

匕的現(xiàn)實(shí)意義為年收入每增加1千元，估計(jì)消費(fèi)支出增加0.68千元.

⑵由題意可知,8戶脫貧家庭的恩格爾系數(shù)如表所示.

家庭12345678

⑴

恩格爾

33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.3%

系數(shù)

所以樣本中達(dá)到最富裕的家庭有3個(gè)，

估計(jì)該村脫貧家庭中達(dá)到最富裕的家庭戶數(shù)為［X40=15（戶）.

O

解題策略I

1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程中系數(shù)的兩種求法

（1）公式法:利用公式,求出回歸系數(shù)b,a.

⑵待定系數(shù)法:利用回歸直線過樣本點(diǎn)中心（元y）求系數(shù).

2.回歸分析的兩種策略

（1）利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù)，求函

數(shù)值.

（2）利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān):決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是回

歸系數(shù)匕.

幅度二非線性回歸分析

CSO（2021?安徽宿州高三三模）某電影院統(tǒng)計(jì)了某部電影上映高

峰后連續(xù)10場的觀眾人數(shù),其中每場觀眾人數(shù)y（單位:百人）與場次x

的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X12345678910

y2.7721.921.361.121.090.740.680.620.55

通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性,且滿足關(guān)系式y(tǒng)=aebx,設(shè)

w=lny.

⑴利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求樣本相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否有99%的

把握認(rèn)為x與3之間具有線性相關(guān)關(guān)系（當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)滿足

|r|>0.789時(shí)，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系）;

⑵利用x與3的相關(guān)性及表格中的前8組數(shù)據(jù)求出y與x之間的經(jīng)

驗(yàn)回歸方程；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

⑶如果每場觀眾人數(shù)不足0.7（單位:百人），稱為“非滿場”.從表格

中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選出8組，設(shè)&表示“非滿場”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求

€的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:聞心6.48,76^2.45,71770^1.30,el*Q3.22.前8組數(shù)據(jù)的相

8888

關(guān)量及公式：EXi=36,Eyi=ll.68,E3產(chǎn)2.18,E(x；-x)2=42,

8i=li=li=li=l

E88

(y-y)2^3.61,E(3［石)2^1.7O,E(X-X)(y-y)=-11.83,

I?-

8i=li=l

z

（Xi-X）（Wj-co）仁-8.35,對于樣本（V"Ui）（i=l,2,???,n）,其經(jīng)驗(yàn)回

-

-n

E（Vf-v）（Uj-u）

歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為———=

E（vv）2

i=lr

n__n

,a-u-bv,樣本相關(guān)系數(shù)

nvnv22

忑i-J2切-訪22（uru）

8

E(%j-x)(co廠7J)

解：（1）因?yàn)?號(hào)??99,

82

E(3「初

i=i

所以|r|-0.99>0.789,

所以有99%的把握認(rèn)為x與3之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

（2）因?yàn)閥=aebx,所以Iny=lna+bx,

八8

b:*§:-.=*-620,

L(xi-x)

i=i

a=7ji)-bx^l.17,

所以3=-0.20x+l.17=lny,

所以y=ea2°x”"=3.22e-0-20x.

⑶&=1,2,3,

P(g=1)=星U一i

c?015,

德第一

P(1=2)=7

C5015'

P(g=3)=c陽一7

C?o15'

&的分布列為

€123

177

P

151515

所以E()=1X^+2X^+3X^=2.4.

解題策略!

求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

⑴確定變量,作出散點(diǎn)圖.

⑵根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).

(3)變量置換,通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,

并求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

(4)分析擬合效果,通過計(jì)算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果.

(5)根據(jù)相應(yīng)的變換,寫出非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

口角度三殘差分析

（SOBMI指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)值,是

國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).某中小學(xué)

生成長與發(fā)展機(jī)構(gòu)從某市的320名高中男體育特長生中隨機(jī)選取8名,

其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)12345678

身高x/cm166167160173178169158173

體重y/kg5758536166575066

（1）根據(jù)最小二乘法的思想與公式可求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.8x-

75.9,請利用已經(jīng)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,完善殘差表,并求解釋變量

（身高）對于響應(yīng)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)率R?;（保留兩位有效數(shù)字）

編號(hào)12345678

身高x/cm166167160173178169158173

體重y/kg5758536166575066

殘差e/kg0.10.30.9-1.5-0.5

（2）通過殘差分析,對于殘差的最大（絕對值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認(rèn)在

樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤.已知通過重新采集發(fā)現(xiàn),該組數(shù)

據(jù)的體重應(yīng)該為58kg.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式,求出男

體育特長生的身高與體重的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

n-nn

公七八22（'「九）2工，（工「對）歹）

參考公式:R2=l-號(hào)----7/士力------

n9

E（yry）s（Xi-x）Exj-nx

1=11=1i=l1

a=y-bx,ei=yrbxra.

88

參考數(shù)據(jù)：EXiyi=78880,X々2=226

i=li=l

82

112,x=168,y=58.5,Z(yy)=226.

i=lr

解：(1)由題意知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.8x-75.9,

計(jì)算66=57-0.8X169+75.9=-2.3,

e7=50-0.8X158+75.9=-0.5,

e8=66-0.8X173+75.9=3.5.

完善殘差表如下，

編號(hào)12345678

身高x/cm166167160173178169158173

體重y/kg5758536166575066

殘差e/kg0.10.30.9-1.5-0.5-2.3-0.53.5

計(jì)算

2工⑶廠外)1,.

R2=l-------=1--(0.01+0.09+0.81+2.25+0.25+5.29+0.25+12.25)

i(yry)2226

1=1

^l-o.09=0.91,所以解釋變量(身高)對于響應(yīng)變量(體重)變化的貢

獻(xiàn)率R2^0.91.

(2)通過殘差分析知,殘差的最大(絕對值)的那組數(shù)據(jù)為第8組,且

88

yk58,由.Ex〉尸78880,計(jì)算修訂后.EXiyJ=78880-173X66+173X

i=li=l

81

58=77496,又￡工產(chǎn)=226112,運(yùn)168,修訂后歹'=-X(8X58.5-66+

i=l8

八Tl人人

58)=57.5,所以"X'=77496-8x168x5,6=0.575a=y'一底=

y.2_2226112-8X1682，

L人Y>1nIXV.

i=l

57.5-0.675X168=-55.9,所以x關(guān)于y的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=0.675x-

55.9.

-懈題策略I

決定系數(shù)V對回歸模型的檢驗(yàn)

n-2

(1)我們可以用決定系數(shù)R2=l-號(hào)——來刻畫回歸的效果.

區(qū)仇方)

(2)在線性回歸模型中,R2表示解釋變量對于響應(yīng)變量變化的貢獻(xiàn)

率,R2越接近于1,表示回歸的效果越好.

［針對訓(xùn)練］

某電視廠家準(zhǔn)備在元旦舉行促銷活動(dòng)，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售

量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出.廣告費(fèi)支出x(單位:萬元)和銷售量

y(單位:萬臺(tái))的數(shù)據(jù)如表所示.

年份2011201220132014201520162017

廣告費(fèi)

1246111319

支出X

銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4

(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸

方程；

(2)若用y=c+d?模型擬合y與x的關(guān)系,可得回歸方程y=l.63+

0.99底,經(jīng)計(jì)算線性回歸模型和該模型的R?分別約為0.75和0.88,

請用R2說明選擇哪個(gè)回歸模型更好；

⑶已知利潤z與x,y的關(guān)系為z=200y-x.根據(jù)⑵的結(jié)果回答下列

問題：

①廣告費(fèi)x=20時(shí),銷售量及利潤的預(yù)報(bào)值是多少？

②廣告費(fèi)X為何值時(shí),利潤的預(yù)報(bào)值最大？(精確到0.01)

參考公式:經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

n__n

E(%>-%)(y>-y)Ex^yi-nxy

=i_________________—t=i_____________

為bn~n~a=y-bx.參考數(shù)據(jù)：巡Q2.24.

￡(Xj-x)Ex?-nx

i=li=l

解：(1)因?yàn)閤=8,y=4.2,

77

身療279.4,界=7。8,

n

色產(chǎn)、廠nxy279.4-7X8X4.2

所以八n=0.17,

9708-7X82

Lxj-nx

i=il

a=y-bx=4.2-0.17X8=2.84,

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.17x+2.84.

⑵因?yàn)?.75<0.88且R2越大,反映殘差平方和越小,模型的擬合效果

越好,所以選用y=l.63+0.99a更好.

⑶由⑵知，

①當(dāng)x=20時(shí),

銷售量的預(yù)報(bào)值y=L63+0.99720^6.07(萬臺(tái))，

利潤的預(yù)報(bào)值z=200X(1.63+0.99720)-20^1193.04(萬元).

②z=200(l.63+0.99so-x=-x+198V%+326=-(V%)2+198V%+326=

-(V%-99)2+10127,

所以當(dāng)6=99,即x=9801時(shí),利潤的預(yù)報(bào)值最大,故廣告費(fèi)為9801

萬元時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大.

啜考點(diǎn)四成對數(shù)據(jù)分析中的探究創(chuàng)新題

CW(2021?福建南平高三二模)近年來,我國加大5G基站的建設(shè)力

度,基站已覆蓋所有地級市，并逐步延伸到鄉(xiāng)村.

(1)現(xiàn)抽樣調(diào)查某市所轄的A地和B地5G基站的覆蓋情況,各取100

個(gè)村,調(diào)查情況如表.

已覆蓋未覆蓋

A地2080

B地2575

視樣本的頻率為總體的概率，假設(shè)從A地和B地所有村中各隨機(jī)抽取

2個(gè)村,求這4個(gè)村中A地5G已覆蓋的村比B地多的概率；

⑵該市2020年已建成的5G基站數(shù)y與月份x的數(shù)據(jù)如表，

X123456789101112

111223

y283340428547701905

151423721109601381

探究表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，因年初受新冠肺炎疫情影響,5G基站建設(shè)進(jìn)度

比較慢,隨著疫情得到有效控制,5G基站建設(shè)進(jìn)度越來越快,根據(jù)散點(diǎn)

圖分析，已建成的5G基站數(shù)呈現(xiàn)先慢后快的非線性變化趨勢,采用非

線性回歸模型y=a^擬合比較合理，請結(jié)合參考數(shù)據(jù),求5G基站數(shù)y

關(guān)于月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(6的值精確到0.01)

附：設(shè)u=lny,貝lja=lny￡(y=l,2,12),y^l299.17,u^6.88,

121212

￡(x-%)=143,E(Xi-x)?(y］歹…37238,E(x-x)(u-u)^32.43,

i=li=li=l

對于樣本(x“yi)(i=l,2,…,n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a有

人nA

(xj-x)(yj-y)八__

b=l^n--------,a^y-bx.

￡(xx)

i=ir

［思路導(dǎo)引］(1)利用二項(xiàng)分布、彼此互斥和相互獨(dú)立事件的含義及概

率計(jì)算公式，即可解得；

(2)利用換元,設(shè)u=lny,則u=lna+bx,可得u與x是線性相關(guān)關(guān)系,

再根據(jù)最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

解：(1)用樣本估計(jì)總體,抽到A地5G覆蓋的村的概率為也抽到B地5G

覆蓋的村的概率為"設(shè)A地抽到的2個(gè)村中5G基站覆蓋的村的個(gè)數(shù)

為X,則X服從二項(xiàng)分布B(21),

P(X=i)=c￡g)ig)匕i=o,1,2.

設(shè)B地抽到的2個(gè)村中5G基站覆蓋的村的個(gè)數(shù)為Y,則Y服從二項(xiàng)分

布B&,；),

4

P(Y=i)=?(”滬,i=0,1,2.

從A地和B地各隨機(jī)抽取2個(gè)村,這4個(gè)村中A地5G覆蓋的村比B地

5G覆蓋的村多的概率為

P=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=l)=C,g)(|)(^)2+(1)2

?(!)2+就禺(6?(|)=為

(2)由指數(shù)模型y=aebx,設(shè)u=lny,則u=lna+bx,則u與x是線性相關(guān)

關(guān)系.

因?yàn)榈?1+2+：；“+12=6.5,正心6.88,

1212

￡(x-%)(Ui-u)^32.43,E(x-%)2=143,

i=li=l

入n

匚口、1,區(qū)(陽㈤(U廠訪32.43noo

所以budfj-------弋----^0.23,

E(xx)2?

i=lr

Ina^u-bx^6.88-0.23X6.5^5.39,

539+023x

即〃=5.39+0.23x,gpy=e--.

［反思提升］本題考查二項(xiàng)分布、互斥事件、相互獨(dú)立事件及回歸分

析等基礎(chǔ)知識(shí),求解時(shí)應(yīng)注意概率模型、回歸分析模型的建立與應(yīng)用，

本例可以對數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科素

養(yǎng)的提升有極大的幫助.

［針對訓(xùn)練］

(2021?四川攀枝花高三二模)2020年3月，工業(yè)和信息化部發(fā)布《工

業(yè)和信息化部關(guān)于推動(dòng)5G加快發(fā)展的通知》鼓勵(lì)基礎(chǔ)電信企業(yè)通過

套餐升級優(yōu)惠、信用購機(jī)等舉措，促進(jìn)5G終端消費(fèi)，加快用戶向5G遷

移.為了落實(shí)通知要求,掌握用戶升級遷移情況及電信企業(yè)服務(wù)措施，

某市調(diào)研部門隨機(jī)選取了甲、乙兩個(gè)電信企業(yè)的用戶共165戶作為樣

本進(jìn)行滿意度調(diào)查,并針對企業(yè)服務(wù)措施設(shè)置了達(dá)標(biāo)分?jǐn)?shù)線,按照不

低于80分的為滿意，低于80分的為不滿意，調(diào)研人員制作了如表所示

的2X2列聯(lián)表.已知從樣本的165戶中隨機(jī)抽取1戶為滿意的概率是

9

11

滿意度

用戶合計(jì)

I兩思不滿意

甲企業(yè)用戶75

乙企業(yè)用戶20

合計(jì)

(1)將2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為“滿意度

與電信企業(yè)服務(wù)措施有關(guān)系”？

⑵視樣本的頻率為概率,在該市乙企業(yè)的所有用戶中任取3戶，記取

出的3戶中不滿意的戶數(shù)為自,求&的分布列和數(shù)學(xué)期望.

臨界值表僅供參考:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

(參考公式：X2-.._—其中n=a+b+c+d)

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

解：⑴設(shè)樣本中乙企業(yè)用戶中滿意的有x戶，結(jié)合列聯(lián)表知P=Z爰=,

16511

解得x=60,所以2義2列聯(lián)表為

滿意度

用戶合計(jì)