淺議新課標(biāo)下數(shù)學(xué)開(kāi)放題的類型及例析淺議新課標(biāo)下數(shù)學(xué)開(kāi)放題的類型及例析

前蘇聯(lián)學(xué)者奧加涅認(rèn)為，數(shù)學(xué)題由題目的條件、解題根據(jù)、解題的辦法、題目的結(jié)論這四個(gè)要素組成，按題目中已知要素的多少可分為四種類型：規(guī)范性題〔已知四個(gè)要素〕，訓(xùn)練性題〔已知三個(gè)要素〕，探索性題〔已知兩個(gè)要素〕，問(wèn)題性題〔已知一個(gè)要素〕.開(kāi)放題屬于探索性題或問(wèn)題性題.開(kāi)放題最初只有結(jié)論開(kāi)放一類，現(xiàn)已開(kāi)展成為結(jié)論開(kāi)放、條件開(kāi)放、設(shè)計(jì)開(kāi)放和問(wèn)題本身開(kāi)放等幾大類.對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素〔條件、依據(jù)、辦法、結(jié)論〕出發(fā)，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，那么稱為條件開(kāi)放題；如果尋求的答案是依據(jù)或辦法，那么稱為策略開(kāi)放題；如果尋求的答案是結(jié)論，那么稱為結(jié)論開(kāi)放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，那么稱為綜合開(kāi)放題.

從開(kāi)放題答案的開(kāi)口情況出發(fā)，定量地可分成三類：弱開(kāi)放題――答案情況〔包括可能情況〕只有兩種的開(kāi)放題；中開(kāi)放題――答案情況〔包括可能情況〕超過(guò)兩種，但為數(shù)目確定的有限種；強(qiáng)開(kāi)放題――只能給出局部答案情況，答案情況〔包括可能情況〕總數(shù)難以確定的開(kāi)放題.

對(duì)開(kāi)放題的分類討論，有助于理解開(kāi)放題的概念，有助于把握問(wèn)題的開(kāi)放度，有利于教師把握一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題是否適用于課堂教學(xué)，或者有利于教師改變開(kāi)放題的設(shè)問(wèn)方式以輔助課堂教學(xué)，或者有利于考試評(píng)分的可操作性與公平性.

一、結(jié)論開(kāi)放型

這類問(wèn)題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散性思維和所學(xué)根底知識(shí)的應(yīng)用能力.這類開(kāi)放題是指提供一定的條件，可以是不僅滿足條件，而且所得結(jié)論的意義相同的問(wèn)題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種.

1.同題異果型

例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能寫(xiě)出多少個(gè)？

通過(guò)訓(xùn)練加深學(xué)生對(duì)商不變性質(zhì)的理解和運(yùn)用.

例2：1999年上海市高考數(shù)學(xué)試卷第12題〔見(jiàn)前第3頁(yè)〕，學(xué)生可以根據(jù)自己的空間想象能力，可以設(shè)五條邊為1，一條邊為2；或五條2一條1；也可以兩條1四條2等多種組合，但同時(shí)又要考慮能否組成空間四面體，且不是組成正四面體，所以要先畫(huà)對(duì)圖，然后選擇適宜的辦法進(jìn)行計(jì)算體積.

2.異題同果型

例3：甲乙兩艘軍艦同時(shí)從相距948千米的兩個(gè)港口對(duì)開(kāi).甲艘軍艦每小時(shí)行38千米，乙艘軍艦每小時(shí)行41千米.〔1〕幾小時(shí)后兩艘軍艦相遇？〔2〕甲艘軍艦開(kāi)出幾小時(shí)后兩艘軍艦相遇？〔3〕乙艘軍艦開(kāi)出幾小時(shí)后兩艘軍艦相遇？

這題的條件一樣，但問(wèn)題是從三個(gè)不同的角度分別提出的，其題意、計(jì)算結(jié)果相同.加強(qiáng)這種開(kāi)放題型的訓(xùn)練，有利于深化理解掌握行程問(wèn)題的解法.下面的這道題也是異題同果型.

例4：試指出以下兩個(gè)代數(shù)式的共同點(diǎn)：24a■bc■和18a■b■x■.

我們大家熟悉的兩個(gè)學(xué)生相距多遠(yuǎn)的問(wèn)題.1994年荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)派的代表人物，德朗治〔deLange〕在上海做報(bào)告中有這樣一個(gè)題目：“如果A離學(xué)校5千米，B離學(xué)校10千米，問(wèn)A、B相距幾千米？〞這一題目似乎是一道小學(xué)算術(shù)題.事實(shí)上，它的內(nèi)涵很豐盛，波及從自然數(shù)相加，有理數(shù)加減，圓的幾何軌跡，點(diǎn)的距離，以至圓的參數(shù)表示，復(fù)數(shù)相減等許多數(shù)學(xué)知識(shí).題目可適合各種層次的學(xué)生，可以考慮一直線的情況，可以作為平面計(jì)算，也可以在空間測(cè)量，留給學(xué)生的空間很大.

二、條件開(kāi)放型

這類考題是給定結(jié)論反探滿足結(jié)論的條件，而滿足結(jié)論的條件并不唯一.這類題常以根本知識(shí)為背景加以設(shè)計(jì)而成的，主要考查學(xué)生的根底知識(shí)的掌握程度和歸納能力.

例5：1998年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷第18題〔見(jiàn)前第3頁(yè)〕，就是一道典型的條件開(kāi)放題.

例6：假設(shè)二次函數(shù)f■〔x〕=a■x■+b■x+c■和f■〔x〕=a■x+b■x+c■使得f■〔x〕+f■〔x〕是〔-∞，+∞〕上單調(diào)遞增函數(shù)，試給出一組滿足上述要求的f■〔x〕=-f■〔x〕的函數(shù)式.

例7：〔1〕寫(xiě)出一個(gè)解集是{x？搖？搖x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.

〔2〕已知m0，使它的結(jié)集分別是①〔-∞，m〕∪〔n，+∞〕；②〔m，n，〕.

學(xué)生習(xí)慣解各種類型的三角方程或不等式，但是要自己寫(xiě)一個(gè)滿足要求的方程或不等式，往往比擬困難，只要逆向思維、發(fā)散思維就會(huì)想出不少.

條件開(kāi)放題是根據(jù)題中所給的結(jié)論、要求，從不同的角度尋找獲得解決這個(gè)結(jié)論的條件，按尋找條件的類型又可分為下列幾種：

1.補(bǔ)充條件型

例8：甲車間？搖？搖？搖乙車間？搖？搖？搖，丙車間？搖？搖？搖，請(qǐng)問(wèn)三個(gè)車間共有工人多少人？〔在整數(shù)范圍內(nèi)根據(jù)問(wèn)題補(bǔ)充條件后解答〕

該題要補(bǔ)充的條件全部開(kāi)放.要求學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，發(fā)散思維，提出各種不同的可以解決問(wèn)題的條件，當(dāng)然也就不會(huì)有確定的答案.

2.選擇條件型

例9：計(jì)算圖形的面積〔單位：米〕.要求學(xué)生選擇圖形中相關(guān)的數(shù)據(jù)，算出它的面積.〔圖略〕

3.多余條件型

例10：學(xué)校圖書(shū)室有文藝書(shū)720本，科技書(shū)480本.如果把這些書(shū)全部放在書(shū)架上，平均每個(gè)書(shū)架放60本，需要這樣的書(shū)架多少個(gè)？

題中已知條件“文藝書(shū)720本〞是多余條件.這樣，將有用條件和無(wú)用條件混雜在一起，形成干擾因素，讓學(xué)生根據(jù)題意進(jìn)行分析選擇.4.隱藏條件型

例11：某條公路兩天修完成.第一天修的比總長(zhǎng)的2/3多2千米，正好相當(dāng)于第二天修的4倍.這條公路原長(zhǎng)多少米？

該題外表上看來(lái)似乎條件缺乏，但其所需的條件隱藏在題意之中，以致學(xué)生解題的失誤或無(wú)從下手.

三、操作開(kāi)放題

該類題是比擬好的數(shù)學(xué)開(kāi)放題形式，充沛體現(xiàn)了“讓學(xué)生在做中學(xué)〞的數(shù)學(xué)觀念，促進(jìn)了學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐能力的提高.

例12：拿幾張長(zhǎng)方形紙，分別折疊出它的1/8，你能折疊出幾種不同的圖形嗎？

學(xué)生通過(guò)折疊，加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義及“平均分〞概念的理解.

四、策略開(kāi)放題

此類開(kāi)放題分常規(guī)策略開(kāi)放題和非常規(guī)策略開(kāi)放題兩類.

1.常規(guī)策略開(kāi)放題

指運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件分析、推理、判斷得到的途徑、伎倆可能是多種的，這些不同的途徑、伎倆就是不同的解題策略.

〔1〕伎倆開(kāi)放型

例13：教學(xué)“三角形內(nèi)角和性質(zhì)〞時(shí)，為找出這一性質(zhì)，可采取開(kāi)放結(jié)果的伎倆組織教學(xué).①讓學(xué)生分別量出每一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)，并求出它們的和.再引導(dǎo)推測(cè)驗(yàn)證性質(zhì).②讓學(xué)生把一張長(zhǎng)方形紙沿著一條對(duì)角線剪成兩個(gè)直角三角形.根據(jù)長(zhǎng)方形四個(gè)角的度數(shù)和求出每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和性質(zhì).

〔2〕途徑開(kāi)放題

平時(shí)提倡的“一題多解〞屬于途徑開(kāi)放型內(nèi)容.

例14：除了通分外，你還能想出其他辦法比擬4/7和5/11的大小嗎？

本題可以采取下列兩種不同的解題途徑：①把4/7和5/11化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等、分子相同的分?jǐn)?shù)，然后比擬它們大小；②因?yàn)?個(gè)1/7〔4/7〕比3.5個(gè)1/7〔1/2〕大，而5個(gè)1/11比5.5個(gè)1/11〔1/2〕小，由此推理判斷4/7大于5/11.

此類開(kāi)放題目的在于拓寬學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)明性.

2.非常規(guī)策略開(kāi)放題

除了運(yùn)用常規(guī)策略開(kāi)放題外，還應(yīng)緊密聯(lián)系實(shí)際，超越常規(guī)解題思路、辦法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度解決問(wèn)題.

例15：一條麻袋裝大米100千克，現(xiàn)有440千克大米，需要幾條麻袋才能裝完？

計(jì)算結(jié)果是4.4條，但不能用常規(guī)的“四舍五入〞法取4條.因?yàn)槭褂?條麻袋不可能裝完，要用“進(jìn)一法〞使用5條才能裝完.

五、綜合開(kāi)放題

某一數(shù)學(xué)問(wèn)題，假設(shè)題目的條件、解題策略或結(jié)論中有兩項(xiàng)以上不確定，那么為綜合開(kāi)放題.綜合開(kāi)放題可以是同學(xué)科的，也可以是跨學(xué)科的.

例16：用一根14厘米的鐵絲，可以圍成幾種形狀不同且長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)的長(zhǎng)方形.并分別求出圍成的各長(zhǎng)方形的面積.

這道題也可以看做是操作性開(kāi)放題.題中要求所圍的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬數(shù)據(jù)，學(xué)生要根據(jù)條件自己尋找若，難度較大，但對(duì)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)極有益處.

開(kāi)放題的題型并沒(méi)有固定的規(guī)范，應(yīng)當(dāng)具體問(wèn)題具體分析.同一個(gè)問(wèn)題你可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容要求劃定類型，不要拘泥僵化.值得一提的是，數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)，應(yīng)力求以課程規(guī)范、教材為依據(jù)，以學(xué)生的知識(shí)實(shí)際為出發(fā)點(diǎn)，以學(xué)生可接受性為尺度.要從心理近體原那么出發(fā)，合乎認(rèn)知近體、時(shí)間近體、空間近體，體現(xiàn)實(shí)用，重視運(yùn)用，突出靈活，把握梯度.教師應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).為了配合開(kāi)放題的教學(xué)，教學(xué)伎倆和辦法要開(kāi)放，這樣才能促使學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的開(kāi)放.

六、設(shè)計(jì)開(kāi)放型

這類題目要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)察看、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜測(cè)等思維形式，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索和研究，考查學(xué)生的探究能力.

例17：初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一道開(kāi)放題：“有一塊長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，現(xiàn)要在其中建造一些花壇，使得花壇的總面積恰好為原場(chǎng)地的一半，試盡量美觀而準(zhǔn)確地做好設(shè)計(jì).〞這道題將藝術(shù)、數(shù)學(xué)巧妙地結(jié)合起來(lái)，發(fā)人深省.

例18：“五石子問(wèn)題〞：甲、乙、丙三人任意擲五粒石子，投出的石子離散程度最小者為優(yōu)，試給出判斷這五粒石子離散程度的準(zhǔn)那么.

這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定“散度〞，但題目并沒(méi)有給出什么叫“散度〞，要求學(xué)生通過(guò)想象用數(shù)值表示這個(gè)“散度〞.通常的辦法有：①任意兩點(diǎn)所連線段之中最長(zhǎng)者；②連接各點(diǎn)所成直線形的面積之中最大者；③各點(diǎn)間連線長(zhǎng)度之和中最長(zhǎng)者；④含五點(diǎn)的圓的半徑之最小者，等等.

這道題不需要很深?yuàn)W的理論及專門的知識(shí)，卻又不是簡(jiǎn)單可以答復(fù)的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的準(zhǔn)那么，也不是容易的.

七、問(wèn)題本身開(kāi)放型

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，應(yīng)當(dāng)聯(lián)系社會(huì)生活的實(shí)際，開(kāi)發(fā)一些研究性課題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，適應(yīng)新的形勢(shì).研究型課題本身就具有開(kāi)放性.比方存貸款問(wèn)題、交通問(wèn)題、環(huán)境愛(ài)護(hù)問(wèn)題，等等.

例19：上海市新編數(shù)學(xué)教材?統(tǒng)計(jì)初步》中有一例，1990年人口普查時(shí)，上海共有4065274個(gè)家庭戶，總?cè)丝跀?shù)12589650，于是計(jì)算得家庭平均人口數(shù)為12589650/4065274≈3.10〔人〕.用同樣的計(jì)算，可算得1982年人口普查時(shí)，上海市家庭平均人口數(shù)為3.60人.于是得到了上海市的“家庭規(guī)模正在縮小〞的結(jié)論.

如果按傳統(tǒng)的教法，幾乎沒(méi)有新的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就很可能只學(xué)到平均數(shù)的計(jì)算公式，而沒(méi)有學(xué)到統(tǒng)計(jì)的思想和辦法.讓學(xué)生自己答復(fù)這個(gè)問(wèn)題，會(huì)陸續(xù)碰到許多問(wèn)題，如〔1〕家庭規(guī)模怎么刻畫(huà)？用財(cái)產(chǎn)數(shù)？住房大??？家庭人口數(shù)？〔2〕一家一戶的家庭規(guī)模確定之后，上海市總的家庭規(guī)模怎么刻畫(huà)？〔3〕要統(tǒng)計(jì)全上海的家庭工作量太大，是否可以少統(tǒng)計(jì)一些？如果可以，應(yīng)該統(tǒng)計(jì)哪些家庭？這些家庭的統(tǒng)計(jì)結(jié)果能否代表上海市的情況？……這些問(wèn)題實(shí)際上已波及了教師要教的根本內(nèi)容：總體、樣本、指標(biāo)、統(tǒng)計(jì)量、平均數(shù)等.由于它們是學(xué)生自己提出來(lái)的，因此學(xué)生研究的積極性和責(zé)任心就特別強(qiáng)，這是學(xué)習(xí)成功的非常重要的非智力因素.生活永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)問(wèn)題不枯竭的源泉.關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，特別是學(xué)生身邊的或可理解的實(shí)際問(wèn)題，可使學(xué)生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F(xiàn)行的出租車收費(fèi)規(guī)范是：當(dāng)路程不超過(guò)3千米但不超過(guò)10千米時(shí)，超過(guò)局部的單價(jià)2元/千米〔缺乏1千米按1千米計(jì)算〕；當(dāng)路程超過(guò)10千米時(shí)，超過(guò)局部的單價(jià)為3元/千米〔缺乏1千米按1千米計(jì)算〕，夜23點(diǎn)至第二天凌晨5點(diǎn)加收30%.請(qǐng)討論利用中途換乘出租車的辦法，可以節(jié)省費(fèi)用的可能性.

如果我們對(duì)這一點(diǎn)有明晰的、開(kāi)放式的認(rèn)識(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。的確，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個(gè)開(kāi)放型的中學(xué)數(shù)學(xué)教師就應(yīng)當(dāng)善于將生活請(qǐng)進(jìn)課堂，豐盛課堂，使學(xué)生能夠?qū)W有所思，學(xué)有所用，使教與學(xué)放得更開(kāi)，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學(xué)生在這學(xué)期中的三次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

要比擬這三個(gè)學(xué)生的成績(jī)好壞，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際的需要和自己的理解，分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論.其實(shí)你可以設(shè)計(jì)更復(fù)雜的表格，通過(guò)不同層次的比擬，提高學(xué)生的發(fā)