AAllllla得AAllllla得。2立幾中向方3平行與直系【礎識線知點空間方向與面法量★★考點：求空間直線的方向向量與平面的法向量利用方向向量與法向量表示空間角利用方向向量與法向量表示平行與垂直關系知點線線線、面行向表★★★★考點：利用線線、線面、面面平行的向量表示證明平行關系知點線線線、面直向表★★★★★考點：利用線線、線面、面面垂直的向量表示證明垂直關系【密點難·點問一空的向量平的向1.空中任意一條直線的置以由上一個定點以一個定方向確定．點是直線上一點向

表示直線的向這向量

叫做直線的方向向量。2。直

l

取直線的向向量，向量稱平面的法向(1）平面

的一個法向量垂直于與平面

共面的所有向量.(2）一個平面的法向量有無數個且它們互相平.3。平的向的法（1）已知平面的垂線時，在垂上取一非零向量即(2)已知平面內兩不共線向量

a,123

定數法：設法向量

u

由

xyz1230,13

在此方程組中，對

,y

中的任一個賦值,求另兩個,所u即平面的法向量。利用此方法時,方組有無數組解,賦得值不同，所得法向量就不同，但它們是共線向.4.用量言述面間平與直系設直線

l,m

的方向向量分別為

,b

，平面

的法向量分別為

,

，則線線平:

l//ma//kb,k;即兩線平行或重合

兩直線的方向向量共線．線線垂直：

lm

即：兩直線垂直兩線的方向向量垂直．線面平行：lau即：直線與平面平行

直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外．線面垂直：l//ua;即：直線與平面垂直直的向向量與平面的法向量共線兩條不共線直線的方向向量都垂直．面面平行：//u//ukv;

直線的方向向量與平面內即：兩平面平行

兩面的法向量線．面面垂直：即兩面垂直

兩平面的法向量垂直．問二空中線線、面行向坐標示1.設直線l,m的方向量分別為

a,123

線線平行：l//m//kbabckc222。設線

l

的方向向量分別為

,a12

平面的向量分別為

b123

，線面平行：l

uab1223.平

的法向量分別為

u,13

，面面平行：

//vkvb,c21問三空中線線、面直向表示1。設直線

l,m

的方向向量分別為

a,123

線線垂直：

lmaaaac2222.設線l的向向量分別為

,a12

平面的法向量分別為

b123

，線面垂直

l

//aka,,c123。平面

的法向量分別為

u,13

，面面垂直：

uub22

【撥維方技】一求面法量例知平面過三點

一個法向量．【思維分析】先求出AC,

，設出平面

的法向量為u

，結合向量垂直時數量積為零的性質，聯立方程組解.解析

AB

，設平面

的法向量為uz

，依題意，

，即

z2xy

，解得

xy

.令

y則x

?！嗥矫娴囊粋€法向量為【析】

．用待定系數法求平面的法向量，關鍵是在平面內找兩個不共線向量，設出平面的法向量，列出方程組出三個坐標不具體的,而是比例關系其中一組非零向)即可．變訓１在正方體

BC中E,F分是DC111

的中點求：

AE是平面證

ADF1

的法向量.圖3-2-1設正方體的棱長為建如圖所示的空間直角坐標,則

2

112111112111D1

1,01,0121D,D1

．1AEDDF,D2

,又DFD1

，

平面

ADF1

，

是平面

AD1

的法向.．二證平問例正方體

BC中，O是BD1111

的中點，求證：∥面ODC1【維析在平面內找與向量

平行的向量D

，由向量的相,得線線平行，爾的線面平行。也可建立空間直角坐標系，求

BC1

的方向向量和平面

O1

的法向量,利用向量的垂直，可得線面平.證方一

B

=

，又

BAD1

，BCD1

,又

AD1

平面

ODC1

，BC1

∥平面

ODC1

.方法二圖3-2-2建系如圖，設正方體的棱長為1則可得1

,0,1,12

，

1111,1111,1COD,,,,0

設平面的法向量為z1

,xy則，得y令，yzn

，C

,C

,B1

∥平面

ODC1

。【評析】向法證明幾何中的行問題以有兩個途徑一是在平面內找一向量與已知直線的方向向量共線是過立空間直角坐標系托直線的方向向量和平面的法向量的垂直，來證明平行．變式訓練2．已知正方體

BC中，E,F分別在,1111

上,且DEFa，中為正方體棱長．求證:

EF

∥平面

BBC1

。證明圖3-2-3如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，則E

3

故EF

aa

，又

AB

顯然為平面

BBCC1

的一個法向量,而

0,a,0

2a,0,3

，

,,∴

AE

⊥

EF

。又

平面

BBC1

,因此

EF

∥平面

BBC1

.三證垂問例。知正方體

BC中，E為上的動點．1111（1）求證

ABD1

；(2若平面

A面，確定點E的位置．1圖3-2-4【思維分析】正方體為建立空間直角標系提了有利條件，對于（1）,

AEBDBD

；對于（2)，用已知條件平面

A

平面

EBD

，通過垂直條件下的向量數量積等于

，求得點

E

的位置；取的點O易證

是二面角

A

的平面角，利用向量數量積證明

AOEO

即可．［析以

,DCDD

所在直線為

xy,z

軸，建立空間直角坐標系，設棱長為

．（1）

11

設

m

AEAEBD

，以ABD，AEBD1

．a（2)法一：設BD的中點為，接OE，,O,

,所以

OE

,

BD

因為BCE≌,以EDEB，所以OEBD

又

OA

a,a2

，所以

OABD1

,所以

BD

，所以

OE

是二面角

的平面角，因為平面

BD面EBD，所1

，所以

OAOE1

，即

a2am4

．故當

為

的中點時,能使平面

A

平面

EBD

．法二：E為CC的點，證明如下：由為CC的點得Ea,

a2

，設

BD

的中點為

，連接

OE

，

OA

,則

O

,,0

，所以,,

BD

OEBD．又

,a

，所以

BD

,所以

BD

,所

OE

是二面角A

的平面角，因為

OE1

a2442

，所以

OE

，故

,即

OE1

，所以平面

BD

平面

EBD

．所以當為CC的中點時，能使平面

A面EBD．【析利用向量解決立體幾何中線線，線,面面的位置關系問題一般經過以下幾個步驟：恰當建系求相關點的坐標求相關向量坐標，向量運算，將向量運算結果還原成立體幾何問題或結論．變訓3．在正棱錐PABC中，三條側棱兩兩互相垂直是PAB的心，E,F分別為BC,上點，且:EC:1:2求證：平面⊥平面.證明（1）方法一

.

圖3-2-5如圖3-2-5所，以三棱錐的頂點P為點，建立空間直角坐標系令

PAPC

,則

,F

．

，PAFGPA//

。而

PA

⊥平面

,∴

FG

⊥平面

，又

FG

平面

，∴平面

⊥平面

.方法二：同法,建立空間直角坐標,則EF設平面GEF的法量為n

，則

nn

，得

y0,xy0,

,令y，得x

,

．而顯然

PBC的個法向。又

PA

,即平面PBC的向量與平面G的向互相垂直，∴平面⊥平面.【后題案練（104）1.(1)答：平行提：（2）答案：垂直。提示:

.

,

b

.（3）答案：平行。提示：

.

2.提）u

(2）u,//

(3)

與

不垂直，也不平行,相。【主究升夯基1。已知m

若

m

∥

n

，則

a

的值為)A.0B。

C。

212

D.8答案：.提示m

∥

n

，

即

8bk,3k,k

，k

故

，

8

。2.已則的值為（）A.0BC.-6D答案:B。提示

，

，

。3．平面

的一個法向量為

的一個法向量為

與平面

的位置關系是（)A．平行．相交但不垂直C．垂直．不能確定答案：C.提示：

，∴兩法向量垂直,從而兩平面也直．4．已知

分別是直線

l,l1

2

的方向向量，若

l

∥

l

，則（)A．C．

xx

．．

y6,y

答案：提示:l∥l，a//b

，則有

x

,

112112解方程得

6,y

.5。在正三棱柱

ABCA11

中

BCA11

.求證：

ACB1

.圖3-2-6證明：建立空間直角坐標系

xyz

，設則

AB，13a3aa,aC0,0,,C0,0,02221

，AB1

aaa,bACa,

。,BCB11122而，1

2

,ACAB

,即

ACB1

.6．下列各組向量中不平行的是）A

拓延c(1,0,0),dC．

e(2,3,0),

D．

(16,24,40)答案：。提：

//dd//c

而零向量與任何向量都平行。7．若直線

l

的方向向量為

的向量為

）A．l∥

．l⊥

C．

l

D．

l

與

斜交

答案：B。提示：u

，//a，l

⊥

。8．已知

，則直線的為的向向量答案：

22122,,,3333

。提示：

，直線模為方向向量是

1,2,2

.9已平面經過點O

意一點，則z

滿足的關系式是________________xy答案:.提示：由題意u

，即

。10若線

b

是兩條異面直線它們的方向向分別是

則線

,

的公垂線與異面直線垂直相交的直)的一個方向向量________．答案:

(答案不唯一提示:

設直線

a,

的公垂線的一個方向向量為

,

a,

的方向向量分別為

,由題意得

xy，即yz

，令

，得

4,z

，

.11．

5)，(1,)()

是平面

內的三點，設平面

的法向量z)

則

:y:

答案：

(

.提:

7),AC4

AB

23z

4,x::y:y:):3:(3

則是y則