第七章動(dòng)靜法第七章動(dòng)靜法【本章重點(diǎn)內(nèi)容】慣性力的概念；慣性力系的簡(jiǎn)化；動(dòng)靜法.第七章動(dòng)靜法§7-2動(dòng)靜法§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算§7-1慣性力的概念§7-1慣性力的概念第七章動(dòng)靜法§7-1慣性力的概念

水平光滑的直線(xiàn)軌道上推車(chē)，車(chē)質(zhì)量為m，為了使車(chē)產(chǎn)生加速度，對(duì)車(chē)作用推力.由于車(chē)有慣性，車(chē)必給人以反作用力，這個(gè)力稱(chēng)車(chē)的慣性力.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程由作用與反作用定律所以

即車(chē)的慣性力等于車(chē)的質(zhì)量和加速度的乘積，方向和加速度的方向相反.

本章將根據(jù)達(dá)朗伯原理，引進(jìn)慣性力的概念，用靜力學(xué)研究物體平衡的方法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，故稱(chēng)動(dòng)靜法.工程中廣泛應(yīng)用，特別方便用來(lái)求動(dòng)約束力和動(dòng)應(yīng)力.

用手握住繩子一端O，使繩子另一端小球M在水平面內(nèi)繞著手作勻速圓周運(yùn)動(dòng).

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程§7-1慣性力的概念

小球具有慣性，對(duì)繩子有反作用力，該力稱(chēng)小球慣性力.

因背離圓心O，又稱(chēng)離心力.

由作用與反作用定理

上式說(shuō)明，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的慣性力等于它的質(zhì)量和法向加速度的乘積，方向和法向加速度方向相反.§7-1慣性力的概念綜上所述，可以看出當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有加速度時(shí)），就有慣性力出現(xiàn).

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，加速度為，則質(zhì)點(diǎn)的慣性力為質(zhì)點(diǎn)的慣性力并不作用于這質(zhì)點(diǎn)本身，而是作用在使這質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生加速度的那個(gè)物體上.§7-1慣性力的概念

工程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體的加速度較大時(shí)，慣性力在動(dòng)強(qiáng)度計(jì)算中有重要意義.

例如圓盤(pán)形回轉(zhuǎn)體（如齒輪、飛輪等），質(zhì)量為m，偏心距為e.

以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由偏心產(chǎn)生的慣性力為若m=10kg，e=0.001m，

n=10000r/min，則計(jì)算可得

從結(jié)果看出：當(dāng)轉(zhuǎn)速很高時(shí)，即使e較小，由偏心產(chǎn)生的慣性力仍然很大.可使軸產(chǎn)生彎曲，并使機(jī)器發(fā)生振動(dòng).

利用慣性力：打夯機(jī)利用偏心回轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的慣性力來(lái)壓實(shí)土壤.§7-1慣性力的概念§7-2動(dòng)靜法第七章動(dòng)靜法§7-2動(dòng)靜法1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法上式又可寫(xiě)成而所以

上式表示：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力，約束力和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力，形式上組成平衡力系，用靜力學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，故稱(chēng)動(dòng)靜法（也稱(chēng)達(dá)朗伯原理）

一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，在主動(dòng)力

及約束力

作用下，沿曲線(xiàn)軌跡運(yùn)動(dòng)，加速度為

.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

由于慣性力并不作用質(zhì)點(diǎn)上，所以動(dòng)靜法所謂“平衡”是形式上的平衡，只不過(guò)是一個(gè)方法.將矢量式在直角坐標(biāo)軸上投影式中，§7-2動(dòng)靜法

，稱(chēng)為法向慣性力（又稱(chēng)離心力），方向和法向加速度方向相反.

確定研究對(duì)象，分析受力；分析運(yùn)動(dòng)，確定慣性力，并假想地加在質(zhì)點(diǎn)上；利用靜力學(xué)平衡方程求解.

§7-2動(dòng)靜法在自然坐標(biāo)軸上的投影式動(dòng)靜法解題步驟：式中，，稱(chēng)為切向慣性力，方向和切向加速度的方向相反；例7-1為測(cè)定列車(chē)的加速度，采用一種稱(chēng)為加速度測(cè)定擺的裝置.

這種裝置就是在車(chē)廂上掛一單擺，如圖所示.

當(dāng)車(chē)廂作等加速度直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺將偏向一方，與鉛垂線(xiàn)成不變的角q.求車(chē)廂的加速度a

和q

角的關(guān)系.（1）以擺為研究對(duì)象，它受有重力W及細(xì)繩的拉力F

.§7-2動(dòng)靜法（2）在擺M上加慣性力，F(xiàn)I=ma，方向與a相反.解：消去未知力F后，得即

a=gtanq因此，根據(jù)角q可算出車(chē)廂的加速度.（3）列平衡方程，求未知量由平面匯交力系的平衡方程，寫(xiě)出

∑Fx=0，F(xiàn)sinq

–ma=0

∑Fy=0，F(xiàn)cosq

–mg=0§7-2動(dòng)靜法例7-2已知球磨機(jī)如圖所示，當(dāng)球磨機(jī)圓筒運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，帶動(dòng)圓桶內(nèi)的鋼球，使之旋轉(zhuǎn)到一定的q角后沿拋物線(xiàn)下落，打擊物料.

球磨機(jī)的轉(zhuǎn)速為nr/min，半徑為R.

求鋼球脫離球磨機(jī)圓筒時(shí)的角q及臨界轉(zhuǎn)速ncr.§7-2動(dòng)靜法解：（1）取最外層任一鋼球M為研究對(duì)象，受力有重力W，摩擦力Fs及法向約束力FN

.

（2）M隨圓筒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度為零，法向加速度an=Rw2.

加法向慣性力FIn=mRw2，方向與相反.

§7-2動(dòng)靜法

（3）列平衡方程，求未知量取自然坐標(biāo)軸，列平衡方程

∑Fn=0，–FIn+FN+Wcosq=0

即FN=FIn–Wcosq=mRw2

–

mgcosq當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí)，F(xiàn)N=0，由

mRw2–mgcosq=0得從上式看出，脫離角與轉(zhuǎn)速n及轉(zhuǎn)筒半徑R有關(guān)，與鋼球質(zhì)量無(wú)關(guān).

增大圓筒轉(zhuǎn)速，鋼球在圓筒內(nèi)被提升的高度隨之增大，當(dāng)增大到某一值后，鋼球?qū)⒉辉俾湎拢请S圓筒一起轉(zhuǎn)動(dòng).

產(chǎn)生這種現(xiàn)象的最小轉(zhuǎn)速，叫做臨界轉(zhuǎn)速，以ncr表示.§7-2動(dòng)靜法鋼球在q=0時(shí)，F(xiàn)N=0，即由此得出球磨機(jī)的臨界轉(zhuǎn)速為在設(shè)計(jì)計(jì)算中，一般取球磨機(jī)的工作轉(zhuǎn)速n工為

n工=(0.76~0.88)ncr故

n工=(0.76~0.88)×76r/min=(57.6~67)r/min§7-2動(dòng)靜法例7-3離心鑄造機(jī)滾筒的轉(zhuǎn)速為nr/min，繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).

可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿靠重球（質(zhì)量為m）的慣性力使端蓋壓緊.

如D、l、L、q為已知.

求在A點(diǎn)對(duì)端蓋的壓力（不計(jì)杠桿質(zhì)量）.

（1）取杠桿及重球?yàn)檠芯繉?duì)象，作用力有O處的約束力Fox、Foy，A處約束力FN及重球的重力W

.§7-2動(dòng)靜法解：（2）重球B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加法向慣性力，F(xiàn)In=mrw2，方向與an相反.即§7-2動(dòng)靜法(3)列平衡方程，求未知量，由平衡方程，得

∑MO=0，F(xiàn)Nl+WLsinq

–FInLsinq=0故§7-2動(dòng)靜法2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法在質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上都相應(yīng)的加上慣性力以后，則作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力、約束力與慣性力組成一個(gè)平衡體系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法.注意：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，虛加慣性力后得到的平衡力系是匯交力系，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系是一任意力系.§7-2動(dòng)靜法例7-4如圖所示支軸，其質(zhì)量可忽略，在A、B端裝有重球，質(zhì)量分別為m1、m2.設(shè)支軸繞CD軸以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng).試求軸承C、D處由于運(yùn)動(dòng)引起的附加動(dòng)約束力.

解：（1）取重球和支軸整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，它可視為由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，作用于此質(zhì)點(diǎn)系上的力（不考慮m1g，m2g），只有約束力§7-2動(dòng)靜法FCx、FCy、FDx、FDy（2）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在此二質(zhì)點(diǎn)上加法向慣性力FI1=m1r1w2和FI2=m2r2w2

.（3）列平衡方程，求未知量，由空間力系平衡方程∑Fx=0，

FCx+FDx+FI1=0∑Fy=0，

FCy+FDy+FI2=0∑Mx=0，–

FCy·l–FI2·a=0∑My=0，

FCx·l+FI1(a+b)=0(a)(b)(c)(d)§7-2動(dòng)靜法（4）分析討論C、D處的約束力由運(yùn)動(dòng)引起，稱(chēng)附加動(dòng)約束力.

當(dāng)w

增加時(shí)，附加動(dòng)約束力也隨之增大，容易引起軸和軸承的破壞，并激起支軸的強(qiáng)烈振動(dòng).

§7-2動(dòng)靜法聯(lián)立式(a)、(b)、(c)、(d)，得§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化第七章動(dòng)靜法用動(dòng)靜法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，首要問(wèn)題是如何加慣性力.

剛體具有無(wú)限多個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上加慣性力并不方便.

應(yīng)對(duì)剛體上的慣性力系進(jìn)行簡(jiǎn)化與計(jì)算.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

剛體平移時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)加速度等于質(zhì)心（重心）加速度.

各質(zhì)點(diǎn)慣性力組成一平行力系，這些慣性力可簡(jiǎn)化為一個(gè)通過(guò)質(zhì)心（重心）的合力.1.剛體平移時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)論：剛體平移時(shí)，其慣性力系簡(jiǎn)化的結(jié)果為一合力，大小等于剛體的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反，作用線(xiàn)通過(guò)質(zhì)心（重心）.式中，m為剛體的總質(zhì)量.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化（2）鋼錠平移，慣性力加在鋼錠的質(zhì)心C上.大小FIR=ma，方向與加速度方向相反.例7-5一平板車(chē)運(yùn)送鋼錠如圖所示，已知鋼錠與平板車(chē)的摩擦因數(shù)為f=0.2，其他尺寸如圖所示.

求鋼錠在車(chē)上既不滑動(dòng)也不翻轉(zhuǎn)的條件下，平板車(chē)的最大加速度.（1）取鋼錠為研究對(duì)象.作用力有重力W，法向約束力FN及摩擦力Fs

.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化解：（3）首先研究鋼錠將滑未滑的臨界狀態(tài)，由平衡方程

∑Fy=0，F(xiàn)N–W=0

得

FN=W=mg由∑Fx=0，F(xiàn)s–FIR=0得

Fs=FIR在臨界狀態(tài)，F(xiàn)s=Fmax=fFN，即

fFN=ma，fmg=ma所以

a=fg=0.2×9.8m/s2=1.96m/s2§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化再考慮鋼錠將翻未翻之臨界狀態(tài).

此時(shí)法向約束力FN作用在Ａ點(diǎn).

由平衡方程∑MA=0，得故所以

a=3.26m/s2>1.96m/s2要使鋼錠既不滑動(dòng)也不翻倒，平板車(chē)的最大加速度為1.96m/s2.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化2.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化這里只討論剛體具有對(duì)稱(chēng)平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此平面的情形（下同）.由于剛體具有一個(gè)垂直于轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱(chēng)面，故可將剛體所含的全部質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化為對(duì)稱(chēng)面上的平面質(zhì)點(diǎn)系.

設(shè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w

，角加速度a

.

對(duì)稱(chēng)面上任取一質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)，距轉(zhuǎn)軸ri.

質(zhì)點(diǎn)切向慣性力FIit=mi·ri·a

，法向慣性力FIin=mi·ri·w2

.將此平面慣性力系向?qū)ΨQ(chēng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)O簡(jiǎn)化，則慣性力系的主矢為諸慣性力的矢量和.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化注意慣性力系的主矢作用在轉(zhuǎn)動(dòng)中心O點(diǎn)上，而不是作用在質(zhì)心C點(diǎn)上.

式中，為質(zhì)心C加速度，負(fù)號(hào)表示與質(zhì)心加速度反向.即

法向慣性力通過(guò)O點(diǎn)，對(duì)O之矩為零.

慣性力系主矩為

式中，JO是剛體對(duì)過(guò)O點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，負(fù)號(hào)表示與a反向.由此可知，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其慣性力系簡(jiǎn)化為通過(guò)O點(diǎn)的一個(gè)慣性力和一個(gè)慣性力偶，此慣性力此慣性力偶§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化慣性力系的主矩為諸慣性力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的力矩的代數(shù)和.幾種特殊情況：若轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心，剛體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心C，則故，此時(shí)只有慣性力偶矩MIO=–JO

a；

轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)心，且a

=0，即勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則MIO=0，此時(shí)只有慣性力（

=me2，e為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離），通過(guò)O點(diǎn)；例7-6一礦井提升機(jī)如圖所示.已知被提升重物的質(zhì)量m1，鼓輪的半徑為R、質(zhì)量為m2.

起動(dòng)時(shí)，電動(dòng)機(jī)給鼓輪的驅(qū)動(dòng)力矩為M.

求起動(dòng)時(shí)重物上升的加速度，鋼繩的拉力和軸承O的約束力（鼓輪視為均質(zhì)圓柱體）.（1）取鼓輪和重物為研究對(duì)象.

其上作用力有重力W1、W2

驅(qū)動(dòng)力矩M和軸承約束力Fox、Foy§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化解：（2）重物作直線(xiàn)平移.把慣性力加在重物質(zhì)心C上，大小為FI=m1a，方向向下.

鼓輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

因質(zhì)心通過(guò)O點(diǎn)，故慣性力等于零，慣性力矩MIO=JOa，轉(zhuǎn)向與a相反.

（3）列平衡方程，求未知量，由平衡方程∑MO=0FIR+m1gR+MIO–M=0即或§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化故由故為求鋼繩拉力F，取重物為研究對(duì)象.

由平衡方程得§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化所以（4）分析討論從結(jié)果看到，當(dāng)M>m1gR時(shí)，a為正（向上），重物加速上升為起動(dòng)過(guò)程；當(dāng)M=m1gR，a=0，重物等速上升為正常運(yùn)行過(guò)程；當(dāng)M<m1gR，a為負(fù)（向下），重物減速上升，是制動(dòng)過(guò)程.軸承約束力和鋼繩拉力都由兩部分組成；第一部分由重力引起，即靜約束力；第二部分由物體變加速運(yùn)動(dòng)引起，即附加動(dòng)約束力.正常運(yùn)行時(shí)，只有靜約束力，在起動(dòng)和制動(dòng)過(guò)程中，才會(huì)出現(xiàn)附加動(dòng)約束力.

附加動(dòng)約束力是選擇軸承、鋼絲繩等必須注意的問(wèn)題.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化例7-7水平均質(zhì)桿AB，質(zhì)量m=12kg，長(zhǎng)l=1m，A端用鉸鏈連接，B端用鉛直繩吊住.

現(xiàn)將繩子突然割斷，求此時(shí)桿的角加速度和鉸鏈A處的約束力.

（1）取AB桿為研究對(duì)象.

作用力有重力W，A點(diǎn)的約束力FAx，F(xiàn)Ay

.（2）把繩子突然割斷，桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其w

=0，a≠0.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化解：故其慣性力系可簡(jiǎn)化為作用于A處慣性力系的主矢和慣性力系的主矩MIA，即其方向與的方向相反，向上.其方向與a

的方向相反.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化求解聯(lián)立方程得§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化（3）由平面一般力系平衡方程，得例7-8已知轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m=20kg，偏心距e=0.1mm，轉(zhuǎn)速n=12000r/min，求軸承的動(dòng)約束力.（1）取轉(zhuǎn)子以及軸AB為研究對(duì)象.其上作用有重力W

，約束力FA、FB

.

方向與an方向相反.

（2）轉(zhuǎn)子做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即a

=0.

轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)心，其慣性力系簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心并與轉(zhuǎn)軸相交的一個(gè)合力.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化解：（3）由平面平衡方程得若只考慮重力，則在軸承A、B處所引起的靜約束力為F'A=F'B=98N

求解上兩式，并將已知數(shù)代入，得

FA=FB=1676N§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化（4）分析討論從結(jié)果看出，動(dòng)約束力是靜約束力的16倍，對(duì)一些高速、精密的回轉(zhuǎn)機(jī)械，消除軸承的動(dòng)約束力是一個(gè)十分重要的問(wèn)題.

要想消除附加動(dòng)約束力，必須使偏心e等于零.

通常是在質(zhì)心對(duì)面加上適當(dāng)?shù)馁|(zhì)量m'，其位置為e'使me=m'

e'

，則轉(zhuǎn)子上的慣性力自相平衡.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化隨質(zhì)心C平動(dòng)部分的慣性力系，可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，即慣性力系主矢繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)部分的慣性力系，可化簡(jiǎn)為一個(gè)力偶，即剛體慣性力系的主矩

MIC=－JC·a式中，JC是剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心C且垂直于對(duì)稱(chēng)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化3.剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面，且平行于此面運(yùn)動(dòng).

將剛體的全部慣性力簡(jiǎn)化到對(duì)稱(chēng)面上，設(shè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w，角加速度為a

.

取質(zhì)心C為基點(diǎn)，則剛體平面運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心C的平移和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)其質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面在自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)主矢和一個(gè)主矩.主矢的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反，作用線(xiàn)通過(guò)質(zhì)心；主矩的大小等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并垂直于對(duì)稱(chēng)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度方向相反.

§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化例7-9一根繩子繞在鼓輪的鼓軸上，且受到向右水平拉力F=200N，鼓輪質(zhì)量m=50kg，回轉(zhuǎn)半徑，r=0.07m，R=0.1m，r=0.06m；已知靜摩擦系數(shù)fs=0.2，動(dòng)摩擦系數(shù)fk=0.15；求鼓輪質(zhì)心C點(diǎn)的加速度和鼓輪的角加速度.（1）取鼓輪為研究對(duì)象，作用力有重力W、水平拉力F、法向約束力FN及摩擦力Fs

.（2）鼓輪作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)其質(zhì)心C點(diǎn)加速度為a，方向向右，鼓輪角加速度a，方向順時(shí)針.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化解：加慣性力系主矢，F(xiàn)'IR=ma方向與加速度相反，加在鼓輪中心C上；主矩MIC=JC

a

=mr2a，方向與角加速度相反.

假設(shè)鼓輪作純滾動(dòng)，則有

a=R·a=0.1×a（3）列平衡方程即故得§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化所以

a=R·a

=1.074m/s2由

∑Fx=0，F(xiàn)–Fs–

F'IR=0得

Fs=146.3N由

∑Fy=0，F(xiàn)N–W=0得FN=490N（4）分析討論鼓輪可能產(chǎn)生最大摩擦力

Fs,max=fs·FN=98N由于Fs>Fs,max，所以鼓輪作純滾動(dòng)的假設(shè)不成立.§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化鼓輪處于既滑動(dòng)又滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，重新畫(huà)鼓輪的受力圖，摩擦力改為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Fk，鼓輪的質(zhì)心加速度與其角加速度a'是各自獨(dú)立的，則有由得由或§7-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化得§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力第七章動(dòng)靜法§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力（1）一般情況下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，引起軸承的附加動(dòng)約束力，將導(dǎo)致構(gòu)件損害及機(jī)器的劇烈振動(dòng)等不良結(jié)果.

本節(jié)討論剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律和附加動(dòng)約束力的求法及消除方法.

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為w，角加速度為a.

在剛體內(nèi)任取一質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)，它與z軸的距離為ri，加速度為.

該質(zhì)點(diǎn)慣性力分解為FIit=miria和FIin=miriw2，方向分別與該質(zhì)點(diǎn)的切向、法向加速度方向相反.§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力將剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的慣性力向z軸上任選一點(diǎn)A簡(jiǎn)化，得一個(gè)主矢和一個(gè)主矩.其主矢為

主矢在x、y、z軸上的投影分別為§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力同理得

剛體慣性力系主矩在x、y、z軸上的投影分別為§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力同理式中，Jyz=∑miyizi，Jxz=∑mixizi分別表示剛體對(duì)yz軸、xz軸的慣性積.

它是表征剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)軸幾何分布的物理量.

如剛體具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面Oxy，或z軸是對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，則慣性積Jxz

和Jyz

都等于零.

這時(shí)z軸稱(chēng)為剛體在A點(diǎn)的慣性主軸，對(duì)于通過(guò)質(zhì)心的慣性主軸稱(chēng)為中心慣性主軸.

§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力（2）求繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承約束力§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力由空間力系平衡方程，得由上式中的第六方程可得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，并注意到則得或§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力

這一結(jié)果與第六章所得相同.將此方程積分，便得到剛體在外力

作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律.由六個(gè)方程中的前五個(gè)平衡方程可求得軸承的約束力為§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力由上式可知，軸承的約束力由兩部分組成：一部分由主動(dòng)力引起，稱(chēng)靜約束力；一部分由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性力系引起，稱(chēng)附加動(dòng)約束力.

若以F"Ax、F"Ay、F"Bx和F"By表示軸系的附加動(dòng)約束力，則有§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力（3）消除附加動(dòng)約束力的方法由上式可知，不產(chǎn)生附加動(dòng)約束力條件為：

xC=0，yC=0；Jxz=0，Jyz=0條件xC=0，yC=0表示轉(zhuǎn)軸z必須通過(guò)剛體質(zhì)心C，可使慣性力系的主矢等于零；條件則要求轉(zhuǎn)軸z是剛體的慣性主軸.因此可知：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸承附加動(dòng)約束力等于零的必要與充分條件是剛體的轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸.

§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力對(duì)于轉(zhuǎn)子，若其質(zhì)心（重心）在軸線(xiàn)上，轉(zhuǎn)子能靜止于任何位置的現(xiàn)象稱(chēng)為靜平衡.

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的現(xiàn)象稱(chēng)為動(dòng)平衡.

靜平衡的轉(zhuǎn)子不一定實(shí)現(xiàn)動(dòng)平衡（如圖示）.

一般為了消除動(dòng)不平衡現(xiàn)象，必須在專(zhuān)門(mén)的動(dòng)平衡機(jī)上進(jìn)行.§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力§7-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算第七章動(dòng)靜法§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算

靜載荷，是指載荷緩慢地由零增加到某一定的數(shù)值，以后保持不變或變動(dòng)的不顯著，并認(rèn)為構(gòu)件各質(zhì)點(diǎn)的加速度等于零.

若構(gòu)件中的各質(zhì)點(diǎn)變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)件就承受動(dòng)載荷的作用.

動(dòng)載荷與靜載荷作用下的計(jì)算，所不同的，是增加慣性力并當(dāng)做靜載荷來(lái)看待.

例7-10長(zhǎng)度為l=12m的32a工字鋼，每米質(zhì)量為rl＝52.7kg/m，用兩根橫截面積為A=1.12cm2的鋼繩起吊，

設(shè)起吊過(guò)程中的加速度為a=10m/s2，求工字鋼中最大動(dòng)應(yīng)力及鋼繩的動(dòng)應(yīng)力.

解：（2）工字鋼內(nèi)各點(diǎn)都有加速度a，其慣性力按長(zhǎng)度分布為§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算（1）取工字鋼為研究對(duì)象，其上有均布載荷q=rlg

=516.7N/m，兩根鋼繩的拉力Fd

.（3）列平衡方程，得可得

Fd有兩部分：第一部分由重力引起，即靜拉力；第二部分由加速度引起，即附加動(dòng)拉力，故§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算（4）求動(dòng)應(yīng)力d和

'd，即即

d還可以表示成

d=Kd·式中，

為靜應(yīng)力.求得動(dòng)應(yīng)力后，即可建立強(qiáng)度條件§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)公式，Wz可由型鋼表查得32a工字鋼為70.8cm3故§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算現(xiàn)在求工字鋼中最大動(dòng)應(yīng)力

'd.由彎矩圖，最大彎矩在工字鋼中點(diǎn)處的截面上

例7-11設(shè)已知飛輪輪緣線(xiàn)速度為v，飛輪單位體積的質(zhì)量為r；試求輪緣中由于旋轉(zhuǎn)引起的動(dòng)應(yīng)力和徑向位移.解：（1）略去輪輻的影響（這樣的結(jié)果偏于安全），把飛輪簡(jiǎn)化為圓環(huán).

用截面法，取半個(gè)飛輪為研究對(duì)象.（2）由于飛輪作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，故輪緣上任一質(zhì)點(diǎn)只有法向慣性力.

在每一微小部分上加慣性力dFI§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算dm表示輪緣單元體積質(zhì)量；A為輪緣橫截面積.（3）由平衡方程代入dFI表達(dá)式，并用定積分表示所以即§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算（4）求應(yīng)動(dòng)力

d和徑向位移u設(shè)輪緣厚度遠(yuǎn)小于半徑R，截面拉應(yīng)力

d可視為均勻分布，故輪緣的拉應(yīng)力

d為令可解出輪緣極限速度v極限，即由故§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算在圓環(huán)未旋轉(zhuǎn)前，圓周的長(zhǎng)度為2R，旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑增加了u，故圓周長(zhǎng)度將等于2(R+u)，而環(huán)向相對(duì)伸長(zhǎng)等于所以§7-5構(gòu)件作加速平移或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算求徑向位移u由第七章動(dòng)靜法

練7-1如圖所示,電動(dòng)機(jī)定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于O處.轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于Ｃ處，偏心矩OC＝e，圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面.