子空間迭代法子空間迭代法是求解振動問題常見的方法。一、子空間迭代法步驟簡述振動方程的一般形式是K其解可以表示為X=其中X=x帶入變形后M?=λK?兩邊同時除以KA=A?=λ?計算系統(tǒng)的前P階固有頻率和主振型，按照李茲法，可假設(shè)s個振型且s＞P。D組成該矩陣的各矢量與所要求解的前s階特征矢量不正交，而且相互獨立。通常取為D(2)同時對矩陣中的各列向量進行迭代計算，以提高后續(xù)Ritz法求得的振型和頻率的精確度。實踐中，這一步要對迭代后的向量分別歸一化處理D迭代的目的是使比含有較強的低階振型成分，縮小高階成分。但如果繼續(xù)用進行迭代，那么的各列都將收斂于第一階振型，為避免這一點，可在迭代過程中進行振型的正交化。（3）按Ritz法進行正交變換X=從而得到一個新的、降階后的特征值問題：KKM（4）解上述特征值問題，并形成下一次迭代的矢量矩陣（然后，再以作為假設(shè)的振型矩陣，返回第二步進行迭代計算，直到求出的系統(tǒng)前s個特征值都滿足精度要求為止。二、計算結(jié)果在進行計算前，首先在ANSYS中計算，計算結(jié)果如下：一階模態(tài)17.25118.12147.59402.81611.54然后從ANSYS建模中提取K，M矩陣，進行下面的計算。1.計算MAC值：用MAC值評價子空間迭代法得到的前5階振型與有限元方法得到的振型之間的相關(guān)程度；[MAC]式(1.1)中，?i為子空間迭代法得到的第i階振型；ψi為有限元方法得到的第i階振型；在一張圖上繪制MAC隨迭代次數(shù)變化的曲線；共有5條曲線，通過這由圖像可知，子空間迭代法很快收斂到準確值，故計算方法很高效，不需要太多步驟的迭代。2.由子空間迭代法可以得到前5階固有頻率定義的向量ww=由有限元法得到的前5階固有頻率定義向量w計算兩個向量之差的二范數(shù)w-w，繪制二范數(shù)w-w隨迭代次數(shù)變化的曲線，觀察迭代過程中，由圖像可知，二范數(shù)w-w很快收斂到0，說明計算值與準確值十分接近，這與MAC值計算的結(jié)果相同。都3.假設(shè)已知第三階固有頻率，請用帶移頻的矩陣迭代法求解第三階振型，并計算[MAC]3首先根據(jù)前面的計算結(jié)果，可知第三階固有頻率對應(yīng)的λ值。矩陣迭代法通常用于求解第一階固有頻率；此時，可以利用帶移頻的矩陣迭代法求解第三階固有頻率。λ≈870000移頻后A=K-λM-1M計算的結(jié)果λ=同理可以此過程的MAC值，計算結(jié)果如下：由計算結(jié)果可知，矩陣迭代法也很快收斂，達到理想的結(jié)果。三、結(jié)論綜上所述，子空間迭代法可以很好的計算前n階固有頻率以及特征向量。在已知結(jié)構(gòu)固有頻率的大致范圍時，移頻的矩陣迭代法也可以計算某一階固有頻率。附matlab計算代碼%本函數(shù)是利用子空間迭代法求解有限元問題clearclcm=input(',m=');%把ANSYS中提取的質(zhì)量剛度矩陣進行重新排列，組裝成完整的矩陣Y=importdata('SOLID.txt');%提取數(shù)據(jù)K=zeros(90,90);%設(shè)置剛度初始值fori=1:90%根據(jù)對應(yīng)關(guān)系賦值forj=1:90hang=36*(i-1)+ceil(j/5);lie=j-5*(ceil(j/5)-1);K(i,j)=Y(hang,lie);endendM=zeros(90,90);%設(shè)置質(zhì)量初始值fori=1:90%根據(jù)對應(yīng)關(guān)系賦值forj=1:90hang=36*(i-1)+18+ceil(j/5);lie=j-5*(ceil(j/5)-1);M(i,j)=Y(hang,lie);endend%求解特征值準確值A(chǔ)=K\M;[V0,W0]=eig(A);%第一問、第二問;求mac值和二范數(shù)%子空間迭代法p=m+8;D0=eye(90,p);fori=2:90D0(i,1)=1;endMAC=zeros(6,30);CHA=zeros(5,30);KDD=[1:30];k=1;whilek<=30D1=A*(D0);D1=D1/(D1'*D1)^0.5;K1=D1'*K*D1;M1=D1'*M*D1;B=K1\M1;[V,W]=eig(B);D0=D1*V;fori=1:5%計算MAC1值js=D0(:,i);js=js/(js'*js)^0.5;zh=V0(:,i);zh=zh/(zh'*zh)^0.5;mac=((js'*zh)^2)/((js'*js)*(zh'*zh));%計算二范數(shù)cha1=zh-js;if(cha1'*cha1)^0.5<1cha=(cha1'*cha1)^0.5;elsecha1=zh+js;cha=(cha1'*cha1)^0.5;endCHA(i,k)=cha;MAC(i,k)=mac;endk=k+1;endfigure(1)plot(KDD,MAC(1,:),'b',KDD,MAC(2,:),'g',KDD,MAC(3,:),'k',KDD,MAC(4,:),'m',KDD,MAC(5,:),'y')figure(2)plot(KDD,CHA(1,:),'b',KDD,CHA(2,:),'g',KDD,CHA(3,:),'k',KDD,CHA(4,:),'m',KDD,CHA(5,:),'y')%第三問%帶移頻的矩陣迭代法，由之前的計算可知，第三屆的頻率對應(yīng)的值約為870000，該值作為移頻值X1=ones(90,90);AA=(K-870000*M)\M;fori=1:30Y1=AA*X1;X1=Y1/Y1(90,1);%計算Mac3的值js3=Y1(:,1);js3=js3/(js3'*js3)^0.5;zh3=V0(:,3);zh3=zh3/(zh3'*zh3)^0.5;mac3=((js3'*