7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗一、U-檢驗U檢驗適應(yīng)在方差已知的情況下，對期望的檢驗（單總體或雙總體）。1、單總體情形2、雙總體情形3、大樣本的U檢驗1、單總體情形例7.2.1

一臺包裝機裝洗衣粉，額定標(biāo)準(zhǔn)重量為500ｇ，根據(jù)以往經(jīng)驗，包裝機的實際裝袋重量服從正態(tài)=15ｇ，為檢驗包裝機工作是否正常，隨機抽取9袋，稱得洗衣粉凈重數(shù)據(jù)如下（單位：ｇ）497506518524488517510515516若取顯著性水平=0.01，問這包裝機工作是否正常？解

:(1)提出假設(shè)：=500；

:(2)構(gòu)造統(tǒng)計量由于總體方差已知,所以構(gòu)造統(tǒng)計量

在成立的條件下,U服從正態(tài)分布;(3)給定顯著性水平，=0.01，查出臨界值

=-2.575,根據(jù)正態(tài)分布的特點，在成立的條件下，U的值應(yīng)以較大的概率出現(xiàn)在０的附近，因此對不利的小概率事件是U的值出現(xiàn)在遠離０的地方.即大于某個較大的數(shù)，或小于某個較小的數(shù).這一小概率事件對應(yīng)的拒絕域為滿足。構(gòu)造這一拒絕域利用了的u的概率密度曲線兩側(cè)尾部面積，故稱具有這種形式的拒絕域的檢驗為雙側(cè)檢驗.（4）由樣本觀測值,計算出統(tǒng)計量U的觀測值。

（5）作出判斷因為統(tǒng)計量U的觀測值絕對值小于2.575，即樣本點落在拒絕域C之外，故接受，亦即認為包裝機工作正常。

例7.2.2

某區(qū)進行數(shù)學(xué)統(tǒng)考，初二年級平均成績?yōu)?5.6分，標(biāo)準(zhǔn)差為7.4分，從該區(qū)某中學(xué)中抽取50位初二學(xué)生，測得平均數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績?yōu)?8分，試問該中學(xué)初二的數(shù)學(xué)成績與全區(qū)數(shù)學(xué)成績有無顯著差異？分析與解：該例中總體為全區(qū)初二的數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績，但是否服從正態(tài)分布我們并不知道，但由中心極限定理，構(gòu)造的統(tǒng)計量的極限分布為分布，因此當(dāng)樣本容量較大時(一般是n≥30)，無論總體是什么分布，仍可用U檢驗，為此，當(dāng)取=0.05時由，查表得將代入統(tǒng)計量U的表達式的觀測值因故應(yīng)拒絕，即認為該中學(xué)初二數(shù)學(xué)成績與全區(qū)成績有顯著差異.

2、雙總體情形雙總體U檢驗適應(yīng)的問題的一般提法如下：設(shè)為出自的樣本，為出自的樣本，,已知，兩個總體的樣本之間獨立，求對于的顯著水平為的檢驗.例如假設(shè)具有下列形式：此時構(gòu)造統(tǒng)計量當(dāng)成立時，總體所服從的是一族分布，因此U的分布也無法確定，通常我們是先取成立時的邊界值，這時，據(jù)此來確定拒絕域.易知,此時若：成立，則的值應(yīng)有變大的趨勢.于是對不利的小概率事件應(yīng)為顯然當(dāng)時，；而當(dāng)時，，此時總之，當(dāng)成立時,.它被認為是在一次試驗中實際上不出現(xiàn)的事件.這一拒絕域的構(gòu)造利用了概率密度單側(cè)的尾部面積，故稱這種形式的檢驗為單側(cè)檢驗.最后通過計算統(tǒng)計量U的觀測值，觀察小概率事件是否發(fā)生，未發(fā)生接受，發(fā)生了則拒絕。

一般地，檢驗統(tǒng)計量若為正態(tài)或分布，采用雙側(cè)或單側(cè)檢驗僅與假設(shè)的形式有關(guān)，當(dāng)備選假設(shè)中的參數(shù)區(qū)域在原假設(shè)的參數(shù)區(qū)域的兩側(cè)時，用雙側(cè)檢驗，在一側(cè)時，用對應(yīng)于該側(cè)的單側(cè)檢驗.3、大樣本的U檢驗在實際應(yīng)用中，如遇兩個獨立子樣的容量都較大(均超過30)這時可不管獨立樣本的分布是否為正態(tài)的，則可用U檢驗作近似(依據(jù)是中心極限定理)，即選用檢驗統(tǒng)計量為：在成立的條件下，統(tǒng)計量U近似服從，其中可以是或,可以是或例7.2.3

對7歲兒童作身高調(diào)查結(jié)果如下所示，能否說明性別對7歲兒童的身高有顯著影響？性別人數(shù)(n)平均身高()標(biāo)準(zhǔn)差男384118.644.53女377117.864.86檢驗步驟：由查表得拒絕域為所以在下，拒絕，接受，即認為性別對7歲兒童的身高有顯著影響。對于兩個來自非正態(tài)總體的獨立樣本，其中至少一個的容量小于30時，則其均值差的檢驗只能采用非參數(shù)檢驗的秩和檢驗或符號檢驗(后面將作介紹).二、T-檢驗T檢驗用于當(dāng)方差未知時對期望的檢驗，可以是單總體，也可以是雙總體。當(dāng)然對于雙總體，它們的樣本之間應(yīng)該是獨立的。1、單總體情形2、雙總體情形1、單總體情形例7.2.4

某部門對當(dāng)前市場的價格情況進行調(diào)查.以雞蛋為例，所抽查的全省20個集市上，售價分別為（單位：元/500克）3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30已知往年的平均售價一直穩(wěn)定在3.25元/500克左右，能否認為全省當(dāng)前的雞蛋售價明顯高于往年？對于這樣的實際問題，通?？梢匝a充下列條件，首先，一般可認為全省雞蛋價格服從正態(tài)分布其次,我們定出一個顯著水平如=0.05，針對這一問題,提出一個合理的假設(shè)是將這一問題一般化就是：設(shè)為出自的樣本，未知，求對問題的顯著水平為的檢驗.這時未知,可構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為在成立的條件下，;又當(dāng)成立時，T有變大的趨勢，因此用單側(cè)檢驗，即取拒絕域為最后根據(jù)統(tǒng)計量T的觀測值t值，看樣本是否落在C內(nèi)，若落在C內(nèi)，則拒絕，否則,接受.2、雙總體情形對于雙總體，一般地討論比較麻煩，通?？紤]兩種特殊情況，一種是（未知）的情形，這一情形問題的一般提法是：設(shè)為出自的樣本，為出自的樣本，兩個總體的樣本之間獨立，求問題的顯著水平為的檢驗。對于未知的場合，構(gòu)造統(tǒng)計量其中在成立時，T服從自由度為的t分布。拒絕域則依照的具體內(nèi)容來構(gòu)造，即依照決定采用雙側(cè)或單側(cè)檢驗。

第二種情形是未知，但，則可考慮所謂配對檢驗法。此時令由于當(dāng)時，，且相互獨立，則且獨立，故T可作為的檢驗統(tǒng)計量。例7.2.5

某工廠生產(chǎn)某種電器材料.要檢驗原來使用的材料與一種新研制的材料的疲勞壽命有無顯著性差異，各取若干樣品，做疲勞壽命試驗，所得數(shù)據(jù)如下（單位：小時）：原材料：401101506590210270新材料：60150220310380350250450110175一般認為，材料的疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布，并可以假定原材料疲勞壽命的對數(shù)與新材料疲勞壽命的對數(shù)有相同的方差，即可設(shè)解:

問題歸結(jié)為下述檢驗：當(dāng)成立時，與就有相同的分布，從而與有相同的分布，即兩種材料的疲勞壽命沒有顯著性差異.將前面的試驗數(shù)據(jù)取對數(shù)：:1.6022.0412.1761.8131.9542.3222.431:1.7782.1762.3422.4912.5602.5442.3982.6532.0412.243記的樣本為，的樣本為則可算出對此問題可用統(tǒng)計量T，統(tǒng)計量T的觀測值為顯然，這個問題須用雙側(cè)檢驗，若給顯著性水平=0.05，拒絕域C應(yīng)為計算結(jié)果表明，因此不能否定,即認為兩種材料的疲勞壽命沒有顯著性差異.三、-檢驗

檢驗和F檢驗都是對于方差的檢驗，前者用于單參數(shù)的情形，后者往往用于兩參數(shù)的情形。設(shè)為來自的樣本，要對參數(shù)進行檢驗，這里往往是未知的.(若已知時,討論的方法完全類似,區(qū)別在于統(tǒng)計量服從的分布的自由度不同)。假設(shè)的形式通常如（1），（2），:

::

,

:對于（1），當(dāng)成立時，式右邊服從分布.由于是的無偏估計，因此，當(dāng)成立時，上述值應(yīng)趨向于，而它也正好是的期望值.比值太大或太小都不利于，自然地，可以來用雙側(cè)檢驗，取拒絕域為都可選擇統(tǒng)計量如圖所示此時對于（2），當(dāng)成立時，，令則。注意到此時，不利于的事件是統(tǒng)計量變大，因此,采用單側(cè)檢驗，即取否定域為可知此時有四、F-檢驗設(shè)為來自的樣本，為出自的樣本，且樣本之間獨立.考慮假設(shè)

(ⅰ)

:

=,:(ⅱ):,

:對此可采用統(tǒng)計量進行檢驗，易知，對于（ｉ），在下，我們可取拒絕域為

此時.對于（ⅱ），類似前面的討論，可取拒絕域為此時.例7.2.6一臺機床大修前曾加工一批零件共=10件，加工尺寸的樣本方差為.大修后加工一批零件，