教案教學(xué)基本信息課題平面學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級(jí)高一年級(jí)教材書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2022年6月教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課主要內(nèi)容是基于日常生活經(jīng)驗(yàn)采取類比直線的手段引入平面的概念及其表示法，并用三個(gè)基本事實(shí)來(lái)刻畫(huà)平面的“平”“無(wú)限延展”等基本特性，同時(shí)掌握確定平面的基本要素；按照“三維對(duì)象（幾何模型）---圖形---文字---符號(hào)”的程序展開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象空間圖形的過(guò)程，加強(qiáng)由實(shí)際模型到圖形，再由圖形到實(shí)際模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：平面基本性質(zhì)（三個(gè)基本事實(shí)）及其推論；教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)三個(gè)基本事實(shí)刻畫(huà)平面基本性質(zhì)的理解，三種語(yǔ)言（圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）及其相互轉(zhuǎn)化.教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入前面我們從現(xiàn)實(shí)生活的物體中抽象出簡(jiǎn)單幾何體，并初步認(rèn)識(shí)了它們的基本組成元素，了解了它們的結(jié)構(gòu)特征，掌握了一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法；為了更深入的認(rèn)識(shí)和把握這些簡(jiǎn)單幾何體，從本節(jié)課開(kāi)始我們將從構(gòu)成它們的基本元素：點(diǎn)、直線、平面入手，從局部到整體進(jìn)一步研究簡(jiǎn)單幾何體及其性質(zhì).回顧前面的知識(shí)，明確研究簡(jiǎn)單幾何體的方法，并引出本節(jié)課內(nèi)容新課一、平面的基本特征及其表示法（一）平面的基本特征通過(guò)初中的學(xué)習(xí)我們知道了點(diǎn)和直線是由現(xiàn)實(shí)事物抽象而來(lái)的，同時(shí)也明確了直線的兩個(gè)本質(zhì)特征：“直”和向兩端“無(wú)限延伸”.同樣我們也可以從現(xiàn)實(shí)事物中抽象出幾何里的“平面”，例如課桌面、黑板面、平靜的水面等，類比直線我們可以概括出平面的本質(zhì)特征：“平”和向四周“無(wú)限延展”.（二）平面的表示法接下來(lái)我們來(lái)學(xué)習(xí)平面的圖形表示和符號(hào)表示：1、圖形表示：?jiǎn)栴}1：同學(xué)們下面請(qǐng)你回想一下，我們是如何表示直線的？類比用直線的局部（即線段）表示直線，我們選取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直觀圖（即平行四邊形）來(lái)表示平面.如圖，把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向來(lái)表示水平放置的平面，把平行四邊的一邊畫(huà)成豎向來(lái)表示豎直放置的平面.水平放置豎直放置2、符號(hào)表示：我們常用希臘字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并將他們寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)，如下圖所示。我們也可以用平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示平面，如平面、平面或者平面.二、點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的符號(hào)表示我們知道直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面上有無(wú)數(shù)條直線，直線與平面都可以看做點(diǎn)的集合，接下來(lái)我們將借助集合符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.1、用符號(hào)“∈”和“”來(lái)表示點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的位置關(guān)系；2、用符號(hào)“”和“”來(lái)表示直線與平面的位置關(guān)系；3、用符號(hào)“∩”來(lái)表示直線與直線、直線與平面、平面與平面相交這種位置關(guān)系．這里需要注意的是P既可以理解為一個(gè)點(diǎn)，也可以理解為只含一個(gè)元素（點(diǎn)P）的集合.練習(xí)用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形：(1)點(diǎn)A在平面內(nèi)，點(diǎn)B在平面外；(2)直線?經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M；三、平面的基本性質(zhì)問(wèn)題2：要研究平面，首先要確定平面.我們知道兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢？在我們的日常生活中常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：（1）自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪著地就可以“站穩(wěn)”；（2）三角架的三角著地就可以支撐照相機(jī)；問(wèn)題3：上述兩個(gè)生活現(xiàn)象的共同特征是什么？可以反映出平面的什么性質(zhì)？可以發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)是：不共線的三個(gè)支點(diǎn)同時(shí)落在了地面上，如果將三個(gè)支點(diǎn)抽象成點(diǎn)，地面抽象成平面，可以得到如下結(jié)論：基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.問(wèn)題4：結(jié)論中的“有且只有”對(duì)于我們理解基本事實(shí)1起到至關(guān)重要的作用，那么“有且只有”的含義是什么呢？“有”指過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)存在一個(gè)平面體現(xiàn)了平面存在性；“只有一個(gè)”是指過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)存在唯一一個(gè)平面體現(xiàn)了平面唯一性.問(wèn)題5：經(jīng)過(guò)空間中的一個(gè)點(diǎn)或者兩個(gè)點(diǎn)有唯一一個(gè)平面嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？問(wèn)題6：經(jīng)過(guò)在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有唯一一個(gè)平面嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？問(wèn)題7：空間中不在一條直線上的4個(gè)點(diǎn)一定會(huì)在一個(gè)平面內(nèi)嗎？圖形語(yǔ)言如下：如圖不共線的三點(diǎn)所確定的平面也可以表示為平面.基本事實(shí)1的作用：基本事實(shí)1給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)，它也可以簡(jiǎn)單的表述為“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.基本事實(shí)1小結(jié)：基本事實(shí)1反映了點(diǎn)與平面的關(guān)系，從點(diǎn)與平面的角度刻畫(huà)了平面的基本特征.問(wèn)題8：（1）如果直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？（2）是如果直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？對(duì)于問(wèn)題（1）結(jié)合我們已有的生活經(jīng)驗(yàn)很容易得到直線并不一定在平面內(nèi)如圖所示，對(duì)于問(wèn)題2我們可以考慮這樣的生活經(jīng)驗(yàn)：如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在桌面上，我們將直尺抽象成直線，桌面抽象成平面，我們可以得到如下結(jié)論：基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi).圖形語(yǔ)言如下：符號(hào)語(yǔ)言為：，，且，.基本事實(shí)2告訴我們?nèi)绻粭l直線上的兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，那么整條直線都在平面內(nèi)，更進(jìn)一步說(shuō)直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi).基本事實(shí)2的作用：利用基本事實(shí)2可以判定直線是否在平面內(nèi).基本事實(shí)2小結(jié)：基本事實(shí)2反映出用直線的“直”刻畫(huà)平面的“平”，用直線的“無(wú)限延伸”刻畫(huà)平面的“無(wú)限延展”，那么為什么能用直線的直和無(wú)限延伸來(lái)刻畫(huà)平面的平和無(wú)限延展呢，我們作如下解釋：如圖由基本事實(shí)1,給定不共線的三點(diǎn)，它們可以確定一個(gè)平面；連接,由基本事實(shí)2知，這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得的直線也都在平面內(nèi)，以此類推，所有這些直線可以編織成一個(gè)直線網(wǎng)可以鋪滿平面.組成這個(gè)直線網(wǎng)的直線的直和向各個(gè)方向無(wú)限延伸，說(shuō)明了平面的平和無(wú)限延展了。問(wèn)題9：（1）把三角板的一個(gè)角立在桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只有一個(gè)公共點(diǎn)？（2）如果有其他公共點(diǎn)，他們和這個(gè)公共點(diǎn)有什么樣的關(guān)系呢？我們可以想象三角板所在的平面向四周無(wú)限延展，這樣它必然會(huì)穿透課桌面，所以兩個(gè)平面不止有一個(gè)公共點(diǎn)，而是相交于一條直線.所以我們可以得到如下結(jié)論：基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.圖形語(yǔ)言如下：

（1）（2）注：在兩個(gè)平面相交時(shí)，如果一個(gè)平面的一部分被另外一個(gè)平面擋住，在畫(huà)圖時(shí)被擋住的部分畫(huà)成虛線如圖（1）或不畫(huà)如圖（2）符號(hào)語(yǔ)言：,且，且基本事實(shí)3的作用：（1）利用基本事實(shí)3可以判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于一條直線.（2）利用基本事實(shí)3可以判定點(diǎn)在直線上，即若點(diǎn)是兩個(gè)平面的交點(diǎn)，直線是兩個(gè)平面的交線，那么這點(diǎn)一定在該交線上.基本事實(shí)3小結(jié)：基本事實(shí)3反映了平面與平面之間的關(guān)系，從平面與平面角度刻畫(huà)了平面的基本特征，由于平面是“平”的，這樣兩個(gè)平面的交線才是直線，否則就不可能是直線．如下圖，平面α與曲面β的交線不是直線．三個(gè)基本事實(shí)從不同角度刻畫(huà)了平面的平和無(wú)限延展的本質(zhì)特征；三個(gè)基本事實(shí)是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的，是幾何推理的基本依據(jù)，也是我們進(jìn)一步研究立體圖形的基礎(chǔ).練習(xí)如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確.(1)直線在平面內(nèi)；(2)設(shè)正方形和的中心分別為則平面與平面的交線為；(3)由點(diǎn)B，O，D可以確定一個(gè)平面．問(wèn)題10：基本事實(shí)1給出了確定平面的一種方法，還有其它確定平面的方法嗎？探究推論1：由基本事實(shí)1知不共線的三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面,如圖，把AB連成直線，則由基本事實(shí)2可得直線AB在平面內(nèi)，所以，平面是唯一一個(gè)經(jīng)過(guò)直線AB及直線AB外一點(diǎn)C的平面.故我們可以得到如下推論：推論1：經(jīng)過(guò)直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.探究推論2：由推論1知平面是唯一一個(gè)經(jīng)過(guò)直線AB及直線AB外一點(diǎn)C的平面，如圖，再將AC連成直線，此時(shí)直線AB與AC相交于點(diǎn)A，再由基本事實(shí)2知直線AC在平面內(nèi).所以平面是唯一一個(gè)經(jīng)過(guò)兩條相交直線AB,AC的平面，故我們可以得到如下推論:推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.探究推論3：由推論1知平面是唯一一個(gè)經(jīng)過(guò)直線AB及直線AB外一點(diǎn)C的平面，如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD平行于AB，因?yàn)椋本€AB,CD在同一平面內(nèi).所以，平面是唯一一個(gè)經(jīng)過(guò)兩條平行直線AB,CD的平面.故我們可以得到如下推論:推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)一個(gè)平面.推論3可以證明平行四邊形，梯形都是平面圖形.上面的3個(gè)推論和基本事實(shí)1為我們提供了確定一個(gè)平面的幾種方法，這些都是我們后續(xù)研究直線和平面之間平行、垂直關(guān)系時(shí)常用結(jié)論.明確抽象對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生感受平面的特點(diǎn)，并類比直線的“直”和向兩端“無(wú)限延伸”，得到平面的兩個(gè)本質(zhì)特征.類比直線的表示法給出平面的表示法，讓學(xué)生感悟類比是數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題的一個(gè)重要手段.通過(guò)平面的圖形表示實(shí)際也是其直觀圖的表示進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).給出點(diǎn)和直線、平面之間位置關(guān)系的集合符號(hào)表示，讓學(xué)生體會(huì)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化.基本事實(shí)1的給出與“兩點(diǎn)確定一條直線”相類比，結(jié)合生活現(xiàn)象抽象出結(jié)論,明確本節(jié)課乃至全章的研究方法.通過(guò)三個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生加深對(duì)基本事實(shí)1的理解，三個(gè)問(wèn)題從反面說(shuō)明了基本事實(shí)1中不共線三點(diǎn)這個(gè)條件的重要性.基本事實(shí)1實(shí)際是點(diǎn)和平面的位置關(guān)系，也是確定平面的問(wèn)題，從不同角度讓學(xué)生體會(huì)“過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”這一條的重要性.基本事實(shí)2反映了直線和平面的關(guān)系，從基本事實(shí)1開(kāi)始已經(jīng)明確了研究的思路和方法.從集合的角度來(lái)闡述基本事實(shí)2,讓學(xué)生體會(huì)基本事實(shí)2的兩層意思：一是整條直線在平面內(nèi)，二是直線上的所有點(diǎn)在平面內(nèi).結(jié)合基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，用直線的“直”和“無(wú)限延伸”的本質(zhì)特征說(shuō)明平面的“平”和“無(wú)限延展”的本質(zhì)特征，利用ppt展示直線“密鋪”整個(gè)平面的過(guò)程，讓學(xué)生加深對(duì)于平面的理解.提出思考問(wèn)題，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，歸納得出基本事實(shí)3..基本事實(shí)3反映了兩個(gè)平面的位置關(guān)系，只要兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn)，它們就必然相交，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀想象，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).基本事實(shí)3描述了兩個(gè)平面相交的特征，為學(xué)生日后研究?jī)善矫嫦嘟惶峁┑姆椒ǎ臼聦?shí)3從另外一個(gè)角度反映了平面的本質(zhì)特征，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)平面的理解.在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)基本事實(shí)1和基本事實(shí)2相結(jié)合逐步得到三個(gè)推論，在這一過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)三個(gè)基本事實(shí)在得到確定平面的三個(gè)推論中的重要作用.由于推論的證明涉及到存在性和唯一性兩個(gè)方面，學(xué)生初次接觸較為困難，故在教學(xué)中采取敘述說(shuō)理的方式讓學(xué)生體會(huì)三個(gè)推論的正確性，并未證明,同時(shí)也突出了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容.例題例題證明兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的3條直線必在同一平面內(nèi).例題如圖，正方體，是棱上的一點(diǎn)，試說(shuō)明三點(diǎn)所確定的平面與平面相交，并畫(huà)出兩個(gè)平面的交線.本例題的題干是文字語(yǔ)言，學(xué)生在理解題意時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形和符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)而加深對(duì)題干的理解.本例題是以正方體為載體考查了學(xué)生對(duì)三個(gè)基本事實(shí)的理解和綜合應(yīng)用能力，同時(shí)也在強(qiáng)化本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要載體,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)開(kāi)拓思路.總結(jié)同學(xué)們，請(qǐng)思考下面三個(gè)問(wèn)題并老師一起來(lái)回顧本節(jié)課的內(nèi)容（1）三個(gè)基本事實(shí)分別是什么？（2）我們是如何得到這個(gè)三個(gè)基本事實(shí)的？（3）確定一個(gè)平面的方式有幾種？本節(jié)課與我們現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系密切，是整個(gè)立體幾何推理的基礎(chǔ)，在本節(jié)課中，我們先從現(xiàn)實(shí)事物中抽象出平面，類比直線歸納總結(jié)出平面的基本特征為：平和向四周無(wú)限延展，之后從生活經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)歸納出平面的基本性質(zhì)即三個(gè)基本事實(shí)，這三個(gè)基本事實(shí)從不同的角度刻畫(huà)了平面的平和向四周無(wú)限延展，之后利用基本事實(shí)1和2得到了三個(gè)常用的推論，這三個(gè)推論與基本事