2022-2023學(xué)年福建省泉州市晉江華僑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.右邊所示的三角形數(shù)組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是

（

）A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：C2.

)的圖象的一部分圖形如圖所示，則函數(shù)的解析式為(

)

A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin(2x-)參考答案：C3.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D

4.設(shè)函數(shù)，將圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半之后成為函數(shù)，則圖像的一條對(duì)稱軸方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的變換；三角函數(shù)的對(duì)稱性.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋)上單調(diào)遞減的函數(shù)是〔）A、B、C、D、y＝cosx參考答案：A6.在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB中點(diǎn)，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定．【分析】如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空間直角坐標(biāo)系．又AB⊥AD，可得DB=，取OB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴．【解答】解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB=．取OB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∵M(jìn)N2=ON2+OC2，∴．故選：C，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系、向量夾角公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.下列四個(gè)圖中，哪個(gè)可能是函數(shù)的圖象

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略8.已知函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，其格式為，其結(jié)果為除以的余數(shù)，例如.下面是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的值為時(shí)，則輸出的結(jié)果為（

）.A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：D9.如圖所示的程序框圖，若x=5,則運(yùn)算多少次停止(

)A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：C【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，即可得出結(jié)果.【詳解】輸入，第一步：，進(jìn)入循環(huán)；第二步：，進(jìn)入循環(huán)；第三步：，進(jìn)入循環(huán)；第四步：，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果；共運(yùn)行4次.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，分析框圖的作用，逐步執(zhí)行即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的面積為,且,則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理余弦定理C8C由余弦定理，聯(lián)立，得，，即，結(jié)合，得或（舍），從而，，故選C.【思路點(diǎn)撥】聯(lián)立和，得，從而可求.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足如下兩條件：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在,使得在上的值域?yàn)?那么就稱函數(shù)為“啟中函數(shù)”，若函數(shù)=是“啟中函數(shù)”，則的取值范圍是__________．參考答案：略12.已知變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)：z=3x-y的最大值是

。參考答案：6畫出約束條件的可行域，由可行域知：目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（2,0）時(shí)取最大值，最大值為。13.已知橢圓C1：=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=r2都過點(diǎn)P（﹣1，0），且橢圓C1的離心率為，過點(diǎn)P作斜率為k1，k2的直線分別交橢圓C1，圓C2于點(diǎn)A，B，C，D（如圖），k1=λk2，若直線BC恒過定點(diǎn)Q（1，0），則λ=．參考答案：2考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)k1=λk2，應(yīng)該找到k1，k2的關(guān)系式，再結(jié)合直線分別與直線相交，交點(diǎn)為A，B，C，D，用k把相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)（將直線代入橢圓的方程消去關(guān)于x的一元二次方程，借助于韋達(dá)定理將A，B，C，D表示出來(lái)），再想辦法把Q點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用B，C，Q三點(diǎn)共線構(gòu)造出關(guān)于k1，k2的方程，化簡(jiǎn)即可．解答：解：設(shè)A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），由得：，∵xP=﹣1，∴，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：由得：，∵xP=﹣1，∴，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為：同理可得：，根據(jù)B、C、Q三點(diǎn)共線，，結(jié)合Q（1，0）所以=λ（）化簡(jiǎn)得λ=2故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題的計(jì)算量較大，關(guān)鍵是如何找到k1，k2間的關(guān)系表示出來(lái)，最終得到λ的值．14.設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值是_______________.參考答案：5略15.在矩形中，，，是上一點(diǎn)，且，則的值為

參考答案：216.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為，則經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為_________．參考答案：把圓和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：和，所以兩圓心坐標(biāo)為（2,0），和（0，-2），所以經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為。17.在中，已知,，三角形面積為12，則

．參考答案：試題分析：根據(jù)三角形的面積公式可知，解得，所以.考點(diǎn)：三角形的面積，余弦的倍角公式.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a（a≠0），前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn+1=tSn+a（t≠0），bn=Sn+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）當(dāng)t=1，a=2時(shí)，若對(duì)任意n∈N*，都有k（++…+）≤bn，求k的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)t≠1時(shí)，若cn=2+b1+b2+…+bn，求能夠使數(shù)列{cn}為等比數(shù)列的所有數(shù)對(duì)（a，t）．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件和“n=1時(shí)a1=S1、當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn﹣Sn﹣1”，化簡(jiǎn)Sn+1=tSn+a（t≠0），再由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an；（Ⅱ）由條件和（I）求出bn，代入化簡(jiǎn)利用裂項(xiàng)相消法求出，代入已知的不等式化簡(jiǎn)后，利用函數(shù)的單調(diào)性求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值，從而求出k的取值范圍；（Ⅲ）利用條件和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn，代入bn化簡(jiǎn)后，利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出cn，化簡(jiǎn)后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)列出方程組，求出方程組的解即可求出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由題意知，首項(xiàng)為a，且Sn+1=tSn+a（t≠0），當(dāng)n=1時(shí)，則S2=tS1+a，解得a2=at，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=tSn﹣1+a，∴（Sn+1﹣Sn）=t（Sn﹣Sn﹣1），則an+1=tan，又a1=a≠0，綜上有，即{an}是首項(xiàng)為a，公比為t的等比數(shù)列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，則Sn=2n，∴bn=Sn+1=2n+1，則==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤bn，化簡(jiǎn)得，k≤=3（4n+），∵函數(shù)y=在（，+∞）上單調(diào)遞增，且n取正整數(shù)，∴當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴Sn=，則bn=Sn+1=1+=1+﹣，∴cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣（t+t2+…+tn）=2+（1+）n﹣×=++，由題設(shè)知{cn}為等比數(shù)列，所以有，解得，即滿足條件的數(shù)對(duì)是（1，2）．19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（）在區(qū)間上有最大值和最小值．設(shè)．（1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：(1)

(2)

知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系解析：（1），因?yàn)?，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故，解得．………………5分（2）由已知可得，所以可化為，化為，令，則，因，故，記，因?yàn)?，故，所以的取值范圍是．…?2分【思路點(diǎn)撥】（1）由函數(shù)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為，故有，，求出的最大值，從而求得k的取值范圍．

20.（本小題滿分12分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備在倫敦奧運(yùn)會(huì)期間舉行促銷活動(dòng)．根據(jù)市場(chǎng)行情，該商場(chǎng)決定從3種品牌的服裝類商品、2種品牌的家電類商品、4種品牌的日用類商品中，任選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)．（Ⅰ）求選出的3種商品中至少有一種是日用類商品的概率；

（Ⅱ）商場(chǎng)對(duì)選出的家電類商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該類商品成本價(jià)的基礎(chǔ)上每件提高180元作為售價(jià)銷售給顧客，同時(shí)給該顧客3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)一次，就可以獲得一次獎(jiǎng)金．假設(shè)該顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)的概率都是，每次中獎(jiǎng)與否互不影響，且每次獲獎(jiǎng)時(shí)的獎(jiǎng)金數(shù)額都為元，求顧客購(gòu)買一件此類商品時(shí)中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的分布列和數(shù)學(xué)期望，并以此測(cè)算至多為多少時(shí)，此促銷方案使商場(chǎng)不會(huì)虧本？參考答案：解：（I）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，則（法一）．（法二）．即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．

…………5分答：選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．（II）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額為，則=，于是，，，，∴顧客中獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．………10分設(shè)商場(chǎng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額定為元，則≤180，解得x≤120，即該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為120元，才能使商場(chǎng)不虧本．………12分答：該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為120元，才能使商場(chǎng)不虧本．21.（12分）已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．（Ⅰ）求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；參考答案：本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．解析：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，且，，故取出的4個(gè)球均為紅球的概率是．（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)紅球?yàn)楹谇颉睘槭录?，“從甲盒?nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件．由于事件互斥，且，．故取出的4個(gè)紅球中恰有4個(gè)紅球的概率為．

22.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1)求證：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝AC，BC＝AA1＝2，求點(diǎn)A1到平面ADC1的距離.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定；點(diǎn)到平面的距離

G4

G11【答案解析】解：（Ⅰ）連接A1C，交AC1于點(diǎn)E，

則點(diǎn)E是A1C及AC1的中點(diǎn)．連接DE，則DE∥A1B．因?yàn)镈Eì平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，則點(diǎn)A1與B到與平面ADC1的距離相等，又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)C與B到與平面ADC1的距離相等，則C到與平面ADC1的距離即為所求．

…6分因?yàn)锳B＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，所以AD⊥平面BCC1B1，