/第一講立體圖形及展開同學(xué)們?cè)谖迥昙?jí)所學(xué)習(xí)的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體,從這一講開始我們將一起研究數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體的問題,幫助大家提高觀察能力和空間想像能力,以及掌握解答問題的技巧和方法。這一講我們進(jìn)一步研究長(zhǎng)方體和正方體的特征及展開圖例題選講例1:圖1所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開圖恢復(fù)成原來的正方體,圖中的點(diǎn)F、點(diǎn)G分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?[分析與解答]為了研究方便,我們將正方體六個(gè)面分別標(biāo)上序號(hào)1、2、3、4、5、6,如果將l作為底面,那么4就是后面,5為右面,6為前面,2則是左面,3就是上面,<如圖2>。從圖中不難看出點(diǎn)F與點(diǎn)N,重合,點(diǎn)G與點(diǎn)S重合。還有一種方法就是動(dòng)手制作一張展開圖,折一折,結(jié)果就一目了然了,同學(xué)們不妨試試吧!例2:一只小蟲從圖l所示的長(zhǎng)方體上的A點(diǎn)出發(fā),沿長(zhǎng)方體的表面爬行,依次經(jīng)過前面、上面、后面、底面,最后到達(dá)P點(diǎn)。請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的爬行路線。[分析與解答]因?yàn)樾∠x在長(zhǎng)方體的表面爬行,所以我們可以將長(zhǎng)方體的前、后、上、下西個(gè)面展開成平面圖形<如圖2>。又因?yàn)樵谄矫嫔?兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度最短",所以連接AP,則線段AP為小蟲爬行的最短路線。練習(xí)與思考1.如圖所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開圖恢復(fù)成原來的正方體,圖中的點(diǎn)B、點(diǎn)D分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?2.如圖所示的是一個(gè)棱長(zhǎng)3厘米的正方體木塊,一只螞蟻從A點(diǎn)沿表面爬向B點(diǎn)。請(qǐng)畫出螞蟻爬行的最短路線。問：這樣的路線共有幾條?3.將一張長(zhǎng)方形硬紙片,剪去多余部分后,折疊成一個(gè)棱長(zhǎng)為l厘米的正方體。這張長(zhǎng)方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米?4.一塊長(zhǎng)方形的鐵皮,長(zhǎng)28厘米,在這塊鐵皮的四角各剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形,然后通過折疊、焊接做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子。已知這個(gè)盒子的容積是960立方厘米,求原來長(zhǎng)方形鐵皮的面積。5.如圖所示的是一個(gè)正方體木塊的表面展開圖,若在正方體的各面填上數(shù),使其對(duì)面兩數(shù)之和為7,則A、B、c處填的數(shù)各是多少?6.如圖所示的10個(gè)展開圖中,哪些可以做成完整的正方體?7.圖<1>是一個(gè)正方體,圖<2>是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開圖,圖<3>、圖<4>、圖<5>也是這個(gè)正方體的平面展開圖,但每一個(gè)展開圖上都有四個(gè)面上的圖案沒畫出來,請(qǐng)你給補(bǔ)上。8.如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體,四邊形APQC、是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面<即過長(zhǎng)方體上4點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形>,P、Q分別為棱A1B1、B1C1,的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展開圖上,標(biāo)出線段AC、cQ、QP、PA。第二講長(zhǎng)方體和正方體的表面積在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,有許多問題涉及到長(zhǎng)方體和正方體表面積的計(jì)算。這些知識(shí)不僅有趣而且具有一定的實(shí)用性和思考價(jià)值。解答長(zhǎng)方體和正方體表面積的問題時(shí),需要同學(xué)們具備較強(qiáng)的觀察能力、作圖能力以及空間想像能力,另外還要掌握一些解題的思路和技巧。例題選講例1:一個(gè)長(zhǎng)方體,前面和上面的面積之和是88平方厘米,這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是以厘米為單位的數(shù),且都是質(zhì)數(shù),求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。[分析與解答]要求長(zhǎng)方體的表面積,就要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。根據(jù)題意,前面與上面的面積之和是88平方厘米,也就是長(zhǎng)×高+長(zhǎng)x寬=88,即長(zhǎng)×<高+寬>=88因?yàn)殚L(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù),我們把88分解質(zhì)因數(shù)得88=1l×2×2×2,依題意,11不能分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)和,經(jīng)試驗(yàn),有兩種情況符合條件,<1>ll×<3+5>：88<2>2×<41+3>一88,因此長(zhǎng)方體的表面積可以有兩種情況。解：88—11×2X2×2,2×2×2：3+5,11×2×2—41+3。長(zhǎng)方體的表面積：<1><11×3+1l×5+5×3>×2=206<平方厘米><2><2×3+2x4l+41×3>×2—422<平方厘米>例2:如圖,將3個(gè)表面積都是24平方米的正方體木塊粘成一個(gè)長(zhǎng)方體,求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。[分析與解答]仔細(xì)觀察圖形,不難看出3個(gè)正方體塊粘成1個(gè)長(zhǎng)方體,共有2個(gè)粘接處,每一處都有2個(gè)面粘在一起,兩處共粘去4個(gè)面,因此粘成的長(zhǎng)方體的表面積等于<6×3—4>個(gè)面的面積,即24÷6×<6x3—4>=56<平方厘米>。例3:如圖所示的是用19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體堆起來的立體圖形,其中有一些正方體看不見,那么這個(gè)立體圖形的表面積是多少?[分析與解答]仔細(xì)觀察圖形,雖然這個(gè)立體圖形是不規(guī)則的,但是從前面看到的面與從后面看到的面?zhèn)€數(shù)是相等,同理從左、右看到的面?zhèn)€數(shù)是相等的,從上、下看到的面是一致的,所以這個(gè)立體圖形的表面積等于<前面十上面+左面>×2,即<10+9+8>×2=54<平方厘米>。練習(xí)與思考1.有一個(gè)長(zhǎng)方體,前面和上面兩個(gè)面面積和為209平方厘米,并且長(zhǎng)、寬、高都是以厘米為單位的數(shù),且都是質(zhì)數(shù),求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。2.將兩個(gè)長(zhǎng)都是8厘米,6厘米,高都是5厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,那么這個(gè)大長(zhǎng)方體表面積最大是多少平方厘米?3.如圖所示的是由17個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成的立體圖形,求它的表面積。4.有一個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)是8厘米,寬是4厘米,高是6厘米,把它截成棱長(zhǎng)是2厘米的若干個(gè)小正方體,這些小正方體表面積之和比原來長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方厘米?5.如圖,正方體木塊的表面積是36平方分米,把它沿虛線截成體積相等的8個(gè)小正方體木塊,這時(shí)表面積增加多少平方分米?6.如圖,有一個(gè)邊長(zhǎng)是5厘米的立方體,如果它的左上方截去一個(gè)邊長(zhǎng)分別是5厘米,3厘米2厘米的長(zhǎng)方體。那么,它的表面積減少多少平方厘米?7.如圖,有一個(gè)長(zhǎng)4厘米：寬和高都是3厘米的長(zhǎng)方體,以A為底打一個(gè)上下直穿的長(zhǎng)方體洞,以B為底打一個(gè)前后直穿的長(zhǎng)方體洞,以C為底打一個(gè)左右穿通的長(zhǎng)方體洞,所得立體圖形的表面積是多少?8.如圖,有一個(gè)棱長(zhǎng)是1米的正方體木塊。沿水平方向鋸2次,豎直鋸3次,再橫著鋸4次,共得到大大小小的長(zhǎng)方體小木塊60塊,求這60塊長(zhǎng)方體表面積的和。9.用10個(gè)長(zhǎng)7厘米,寬5厘米,高3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,拼成的大長(zhǎng)方體表面積最小是多少?第三講長(zhǎng)方體和正方體的體積前一講,我們研究了長(zhǎng)方體和正方體表面積的計(jì)算,其實(shí)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體體積的知識(shí)也很重要。學(xué)習(xí)這一講的知識(shí)更需要我們具備較強(qiáng)的觀察能力和空間想像能力。例題選講例1:如圖,一個(gè)長(zhǎng)方體木塊,從上部和卞靠分別截去高2厘米和3厘米的長(zhǎng)方體后,便成為一個(gè)正方體,表面積減少了100平方厘米,原來長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米?[分析與解答]仔細(xì)觀察右圖,截去上下兩個(gè)長(zhǎng)方體后減少的表面積就是兩個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積,也就相當(dāng)于減少的是高為<2+3>厘米的長(zhǎng)方體的側(cè)面積,因此高為5厘米的長(zhǎng)方體每個(gè)側(cè)面積是100÷4—25<平方厘米>,那么長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)就是25÷5=5<厘米>,所以原長(zhǎng)方體的體積是：5×5×<2+5+3>=250<立方厘米>。例2:將兩塊棱長(zhǎng)相等的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,已知長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和是96厘米,每塊正方體木塊的體積是多少立方厘米?[分析與解答]根據(jù)題意,兩個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有12×2=24<條>。當(dāng)它們拼在一起成為一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí),由于兩個(gè)面重合,也就減少了4×2=8<條>棱長(zhǎng),實(shí)際上就是拼成的長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和相當(dāng)于24—8=16<條>正方體棱長(zhǎng)總和,因此每條正方體棱長(zhǎng)為96÷16=6<厘米>,則每塊正方體木塊的體積是：6×6×6=216<立方厘米>。例3:如圖,正方體的棱長(zhǎng)為4厘米,分別在前后、左右、上下各面中心鑿開一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形小孔直至對(duì)面,求它的體積。[分析與解答]仔細(xì)觀察圖形,每個(gè)鑿去的小長(zhǎng)方體體積均為：1×1×4=4<立方厘米>,共鑿小長(zhǎng)方體3個(gè),即4×3=12<立方厘米>,而實(shí)際上由于正中間相交,重復(fù)鑿去了2個(gè)1立方厘米的正方體小塊,因此,這個(gè)物體的體積是4×4×4—12+1×2=54<立方厘米>。練習(xí)與思考把一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)平均分成4段,每段長(zhǎng)6厘米,表面積增加24平方厘米,求原長(zhǎng)方體的體積。用大小相等的兩個(gè)正方體積木拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是80厘米,每個(gè)正方體的體積是多少立方厘米?3．如圖,在一個(gè)棱長(zhǎng)為20厘米的正方體木塊的前面、上面、右面中心位置,分別鑿一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形小孔直至對(duì)面,做成玩具,求這個(gè)玩具的一個(gè)長(zhǎng)方體,它的前面和上面的面積之和是156平方厘米,并且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?5．一個(gè)表面積是36。平方厘米的長(zhǎng)方體,它恰好可以切成兩個(gè)相同的正方體,每個(gè)小正方體的體積是多少立方厘米?一個(gè)長(zhǎng)方體,它的底面是一個(gè)正方形,它的表面積是190平方厘米,如果用一個(gè)平行于底面的平面將它截成兩個(gè)長(zhǎng)方體,則兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和是240平方厘米,求原來長(zhǎng)方體的體積。一個(gè)長(zhǎng)方體的前面、上面、右面的面積分別為40、60、24平方厘米,求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。8．現(xiàn)有一張長(zhǎng)4厘米、寬2。厘米的長(zhǎng)方形鐵皮,請(qǐng)你用它做一只深是5厘米的長(zhǎng)方體無蓋鐵皮盒<焊接處及鐵皮厚度忽略不計(jì),容積越大越好>。請(qǐng)問：你做的鐵皮盒的容積是多少立方厘米?9．一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是2l厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方體,現(xiàn)從它上面盡可能大地切下一個(gè)正方體,然后再?gòu)氖Ｓ嗖糠直M可能大地切下一個(gè)正方體,最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體,這時(shí)剩下的體積是多少立方厘米?第四講水面高度變化和等積變換水面高度變化問題是涉及長(zhǎng)方體和正方體體積計(jì)算的變題,是指把一個(gè)物體放入盛水的長(zhǎng)方體或正方體容器中,水面將上升；或者把一個(gè)物體從盛水的長(zhǎng)方體和正方體容器中取出,水面會(huì)下降一類的問題。解答時(shí),同學(xué)們要仔細(xì)觀察水面高度變化的現(xiàn)象,發(fā)揮空間想像力,發(fā)現(xiàn)體積變化的規(guī)律,從而解決實(shí)際問題。等積變換問題指的是物體經(jīng)過熔鑄、變換,改造成另一種形狀的物體,雖然形狀變了,但是體積沒有發(fā)生變化。解答時(shí),應(yīng)該抓住體積不變這一突口,再根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行認(rèn)真分析,從而尋求解決問題的方法。例題選講例1:在一個(gè)長(zhǎng)25分米,寬20分米的長(zhǎng)方體容器中,有15分米深的水。如果在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)是50厘米的正方體鐵塊,那么容器中水深多少分米?、[分析與解答]根據(jù)題意,正方體鐵塊沉入長(zhǎng)方體容器中后,水面會(huì)上升,而上升部分的水的體積與正方體鐵塊的體積相等,因此就可以求出上升部分水的高度,那么現(xiàn)在的水深就迎刃而解了。解：50厘米一5分米5÷<25X20>+15=O．25+15=15．25<分米>答：容器中水深15．25分米。例2:一個(gè)長(zhǎng)方體水箱,底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為50厘米的正方形。水箱里直立著一個(gè)高10分米,底面邊長(zhǎng)是25厘米的長(zhǎng)方體鐵塊,這時(shí)水箱里的水深6分米。現(xiàn)在把鐵塊輕輕地向上提起20厘米,那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?[分析與解答]露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分包括向上提起的20厘米和鐵塊提起后水面下降的高度兩部分。而下降部分水的體積就等于提起的20厘米的鐵塊的體積,因此水面下降的高度就可以用高20厘米的鐵塊體積除以水箱的底面積求得。解：25×25×20÷<50×50>+20=5+20=25<厘米>答：露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)25厘米。例3:把一個(gè)長(zhǎng)9厘米,寬7厘米,高3厘米的長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面積是20平方厘米的長(zhǎng)方體,求這個(gè)長(zhǎng)方體的高。[分析與解答]將一個(gè)小長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)小正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)大長(zhǎng)方體,形狀雖然變了,但體積和沒有發(fā)生變化,因此大長(zhǎng)方體鐵塊的體積就等于小長(zhǎng)方體鐵塊與小正方體鐵塊的體積和。然后根據(jù)體積除以底面積求出高。解：<9×7×3+5。>÷20=314÷20=15．7<厘米>答：這個(gè)長(zhǎng)方體的高是15．7厘米。練習(xí)與思考1．在一個(gè)長(zhǎng)20分米,寬15分米的長(zhǎng)方體容器中,有20分米深的水?，F(xiàn)在在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)15分米的正方體鐵塊,這時(shí)容器中的水深多少分米?2．一個(gè)長(zhǎng)方體容器．,長(zhǎng)90厘米,寬40厘米。容器里直立著一個(gè)高1米,底面邊長(zhǎng)是15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊,這時(shí)容器里的水深0．5米。3．一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體容器,裝滿了水。現(xiàn)將正方體容器里的水倒人一個(gè)長(zhǎng)12分米,寬6分米,高5分米的長(zhǎng)方體水槽中,求現(xiàn)在長(zhǎng)方體水槽中水面到水槽口的距離。4．現(xiàn)在把鐵塊輕輕向上提起24厘米,那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?5．一個(gè)長(zhǎng)方體水箱,從里面量長(zhǎng)8分米,寬6分米。先倒入165升水,再浸入一塊棱長(zhǎng)3分米的正方體鐵塊,這時(shí)水面離水箱口1分米。問：這個(gè)水箱的容積是多少?6．在一個(gè)長(zhǎng)15分米,寬12分米的長(zhǎng)方體容器中,水深10分米。如果在水中浸入一個(gè)棱長(zhǎng)是30厘米的正方體鐵塊,那么,容器中水深多少分米?7．有大、中、小三個(gè)底面是正方形的水池,它們底面的邊長(zhǎng)分別是5米、3米、2米,把兩堆碎石分別沉人中、小水池的水里,兩個(gè)水池的水面分別升高6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉人大水池的水里,大水池的水面升高多少厘米？8．一個(gè)長(zhǎng)方體容器里面裝有水,一塊棱長(zhǎng)24厘米的正方體鐵塊浸沒在水中?，F(xiàn)將鐵塊取出,水面下降18厘米；如果將一個(gè)長(zhǎng)18厘米,寬16厘米,高12厘米的長(zhǎng)方體鐵塊浸入水中：水面將上升多少厘米?9．現(xiàn)在有大、中、小三個(gè)鐵球,一個(gè)裝滿水的長(zhǎng)方體容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出,把中球浸入水中；第三次取出中球,把小球和大球一起浸入水中。已知每次從容器中溢出水量的情況是：第二次是第一次的3倍,第三次是第一次的2．5倍。問：大球體積是小球的多少倍?10．現(xiàn)有空的長(zhǎng)方體容器A和水深24厘米的長(zhǎng)方體容器B<如圖>,要將容器B的水倒一部分給A,使兩容器水的高度相同,那么這時(shí)的水深是幾厘米?11．棱長(zhǎng)為1米的2100個(gè)正方體圍成一個(gè)實(shí)心的長(zhǎng)方體,它的高為10米,長(zhǎng)和寬都大于高。問：它的長(zhǎng)和寬各為多少米?12．在一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池里放進(jìn)一塊長(zhǎng)和寬都是5厘米的長(zhǎng)方體鐵塊,如果把它全部放入水里,池里水面就上升9厘米,如果把水中的鐵塊露出8厘米,這時(shí)池里的水面就下降4厘米。問：這個(gè)鐵塊的體積是多少立方厘米?第五講列方程解題有數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題,特別是需要逆向思維的應(yīng)用題,運(yùn)用算術(shù)方法解答比較困難,如果列方程解答,通過設(shè)未知數(shù),把未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù)來考慮數(shù)量關(guān)系,抓住數(shù)量之間的相等關(guān)系,列出方程式解答就比較容易了。例題選講例1：御苑小學(xué)五<3>班的同學(xué)合買一件生日禮物送給班主任。如果每人出8元,就多84元,如果每人出6元,那么就少12元,御苑小學(xué)五<3>班有多少名學(xué)生?[分析與解答]從給出的條件分析,用算術(shù)方法解答問題有些困難,似乎數(shù)量關(guān)系不明顯,但深入分析可以看出同學(xué)們買的是同一件生日禮物,因比價(jià)格是一定的,即每人出8元表示的總價(jià)與每人出6元表示的總價(jià)相等,可以列出以下方程式解答。解：設(shè)御苑小學(xué)五<3>班有x名學(xué)生。8x-84=6x+128x一6x=12+842x=96x=48答：御苑小學(xué)五<3>班有48名學(xué)生。例2：勝利大隊(duì)糧庫(kù)里的大米是面粉的2倍,現(xiàn)在用卡車運(yùn)走,每輛卡車裝4噸大米和3噸面粉,當(dāng)面粉運(yùn)完時(shí),還剩20噸大米,糧庫(kù)里原來有大米和面粉共多少噸?[分析與解答]這道題的未知數(shù)量比較多：有大米、面粉的重量和卡車的數(shù)量,那么設(shè)哪個(gè)未知數(shù)為x比較合適呢?我們仔細(xì)分析一下等量關(guān)系,容易看出運(yùn)大米的卡車數(shù)量與運(yùn)面粉的卡車數(shù)量相等,如果設(shè)面粉有x噸,則大米有2x噸,根據(jù)卡車數(shù)量相等可以列出方程<2x一20>÷4=x÷3再進(jìn)一步分析已知條件,可以看出另一個(gè)等量關(guān)系,即大米的重量等于面粉重量的2倍。我們?cè)O(shè)有x輛卡車,根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：4x+20=3x×2比較兩種方法,發(fā)現(xiàn)后一種方法列出的方程式比較容易解答。解：設(shè)有x輛卡車。4x+20—3z×24x+20=6xx=10<4+3>×10+20=90<噸>答：糧庫(kù)里原來有大米和面粉共90噸。練習(xí)與思考1．爸爸帶一些錢去買酸奶,如果買1O瓶就剩下4元,如果買12瓶同樣的酸奶則差5.2元。問：每瓶酸奶多少元?爸爸帶了多少錢？2.濱江小學(xué)體育室里的籃球是足球的3倍。體育課上,每班借8只籃球、5只足球,足球借完時(shí)還有84只籃球。問：體育室原來有籃球和足球共多少只?。3.某校五、六年級(jí)的學(xué)生乘公交車去秋游。如果每車坐60人,則有20人沒有座位；如果每車多坐5人,則有一輛車空出45個(gè)座位。請(qǐng)問：一共有多少輛公交車?五、六年級(jí)去秋游的學(xué)生一共有多少人?4.一條船從甲港到乙港順流麗下,再?gòu)囊腋鄯祷毓灿昧?小時(shí),已知這船在靜水中的速度是每小時(shí),20千米,水流速度是每小時(shí)5千米。請(qǐng)問：甲、乙兩港之間的距離是多少千米?5.4個(gè)人的年齡之和是77歲,最小的是10歲,他與年齡最大的人的年齡之和比其他兩人的年齡之和大7。問：年齡最大的人是多少歲?6.一個(gè)兩位數(shù),十位數(shù)上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的1．5倍,如果調(diào)換十位與個(gè)位上的數(shù)字,則新數(shù)比原數(shù)小18,求原來的數(shù)。7.甲每分鐘走‘50米,乙每分鐘走60米,丙每分鐘走70米,甲、乙從A地出發(fā),丙從B地出發(fā),丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲,求A、B兩地的距離。8.甲、乙兩個(gè)書店存書冊(cè)數(shù)相等,甲書店售出2000冊(cè),乙書店購(gòu)入1000冊(cè),這時(shí)乙書店的冊(cè)數(shù)是甲書店的2倍。問：甲、乙兩書店原來共存書多少冊(cè)?9.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,甲隊(duì)的平均分為75分,乙隊(duì)的平均分為73分,兩隊(duì)全體同學(xué)的平均分為73．5分,并且乙隊(duì)比甲隊(duì)多6人,那么乙隊(duì)有多少人?10.如圖所示的是由九個(gè)正三角形拼成的六邊形,其中最小的正三角形<圖中有陰影的小三角形>的邊長(zhǎng)為1,求此六邊形的周長(zhǎng)。第六講假設(shè)法解題"假設(shè)法"是解決問題常用的一種思維方法,是指在解決問題的過程中,根據(jù)題目的條件或結(jié)論作出某種假設(shè),然后根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推算,當(dāng)出現(xiàn)矛盾時(shí),則分析矛盾產(chǎn)生的原因,并對(duì)照已知條件進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整,最后找到解決問題的方法。例題選講例1:有5元和10元的郵票共20張,總面值125元。問：5元的和10元的郵票各多少?gòu)?[分析與解答]假設(shè)20張郵票都是10元的,總面值應(yīng)該是10×20一200<元>,而實(shí)際上只有125元,實(shí)際比假設(shè)少200—125—75<元>,仔細(xì)分析一下為什么比假設(shè)少75元呢?原因就是把5元的郵票當(dāng)作10元算的、,每張就多算10-5=5<元>,因此可以求出5元的郵票張數(shù)75÷5=15<張>則10元的郵票張數(shù)為20—15=5<張>。解：<10×20—125>÷<10一5>=75÷5=15<張>……5元的郵票張數(shù)20-15=5<張>……10元的郵票張數(shù)答：5元的郵票15張,10元的郵票5張。請(qǐng)同學(xué)想想如果假設(shè)2張郵票都是5元的．應(yīng)該如何解答呢?例2:中央百貨公司委托搬運(yùn)公司送1000只茶杯,雙方簽訂合同每只運(yùn)費(fèi)是O.3元如果打破1只,不但不付運(yùn)費(fèi),而且還要照價(jià)賠償1．5元。結(jié)果搬運(yùn)公司共得運(yùn)費(fèi)291元。問：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過程中打破了幾只茶杯?[分析與解答]假設(shè)在搬運(yùn)過程中沒有茶杯被打破,那么應(yīng)該得運(yùn)費(fèi)O．3x1000=300<元>,而實(shí)際上卻少得了運(yùn)費(fèi)<300—291>=9<元>,原因是打破了幾只茶杯,每打破1只不但拿不到運(yùn)費(fèi),還要賠償,所以打破1只就損失：0．3+1．5=1．8<元>,因此在搬運(yùn)過程中打破了9÷1．8=5<只>。解：<O．3X1000—291>÷<O．3+1．5>=9÷1．8=5<只>答：在搬運(yùn)過程中打破了5只茶杯。練習(xí)與思考1．籠中共有雞兔100只,雞兔共有280只腳。問：雞兔各有多少只?2．某搬運(yùn)站為某商店運(yùn)800只花瓶,運(yùn)費(fèi)為每只3元,如果損壞一只,不但不給運(yùn)費(fèi)還要照價(jià)賠償5元,結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)2352元。問：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過程中打破幾只花瓶?3．松鼠爸爸采松子,晴天可以采30個(gè),雨天只能采20個(gè),它一連幾天共采了240個(gè)松子,平均每天采24個(gè)。問：這幾天當(dāng)中有幾個(gè)晴天?幾個(gè)雨天?4．甲、乙兩人進(jìn)行投飛鏢比賽,規(guī)定每中一次記10分,脫靶一次扣6分,兩人各投l0次,共得152分,其中甲比乙多16分。問：甲、乙兩人各投中幾次？5．蜘蛛有8只腳,沒有翅膀,蜻蜓有6只腳和2對(duì)翅膀,蟬有6只腳和1對(duì)翅膀,現(xiàn)在這三種小動(dòng)物共78只腳,13對(duì)翅膀。問：每種小動(dòng)物各有幾只?6．甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)的2倍,甲倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出40噸,乙倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出30噸,若干天后,乙倉(cāng)庫(kù)的糧食運(yùn)完了,甲倉(cāng)庫(kù)還有80噸。問：甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來各有糧食多少噸?7．一堆硬幣：面值為1分、2分、5分三種,其中1分的個(gè)數(shù)是2分的ll倍,如果這堆硬幣共1元,那么5分硬幣有多少個(gè)?8．某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽,試題共50道。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)l題給3分,不答給1分,答錯(cuò)倒扣1分。請(qǐng)你說明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。9．紫金小學(xué)買來單價(jià)分別是3元、4元、5元的獎(jiǎng)品共200份,共花去780元,其中4元和5元的獎(jiǎng)品份數(shù)相同。問：三種獎(jiǎng)品各買了多少份?10．有一筐蘋果,把它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè),取出其中兩份,將它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè),再取出兩份,將這兩份三等分后還剩2個(gè)。問：這筐蘋果至少有幾個(gè)?第七講代換法解題在一些較復(fù)雜的應(yīng)用題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量,但是這些未知量是有一定的邏輯關(guān)系的。解題時(shí),可以用其中一個(gè)未知量通過等量代換,代替其它未知量,從而使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單,這種解題的方法稱為代換法。例題選講例1:一個(gè)足球的價(jià)格等于兩個(gè)籃球的價(jià)格,也等于三個(gè)排球的價(jià)格,還等于一個(gè)籃球加一個(gè)排球和一個(gè)壘球的價(jià)格。那么一個(gè)足球等于多少個(gè)壘球的價(jià)格?[分析與解答]這道題條件比較多,我們把條件摘錄如下,列出等式：1個(gè)足球：2個(gè)籃球,1個(gè)足球=3個(gè)排球,一個(gè)足球=1個(gè)籃球+1個(gè)排球+1個(gè)壘球,由此可以推出2個(gè)籃球=3個(gè)排球,即1個(gè)籃球：1．5個(gè)排球,又1個(gè)籃球：1個(gè)排球+1個(gè)壘球,所以1個(gè)壘球一O．5個(gè)排球,即2個(gè)壘球=1個(gè)排球,因此1個(gè)足球=2×3=6<個(gè)>壘球。例2:5只同樣的紅球和18只同樣的綠球共重396克,已知1只紅球和3只綠球的重量相等,求每只紅球和每只綠球各重多少克?[分析與解答]摘錄條件：<1>5只紅球+18只綠球=396,<2>1只紅球=3只綠球,由<2可得5只紅球=15只綠球,因此用15只綠球代替〔1中5只紅球可得15只綠球+18只綠球=396,即33只綠球=396,所以每只綠球=396÷<15+18>=12<克>,每只紅球的重量=12×3=36<克>。同學(xué)們想一想用幾只同樣的紅球可以代換18只綠球,又如何計(jì)算呢?例3:甲、乙、丙三人,甲的年齡比乙的2倍大3歲,乙的年齡比丙的2倍小2歲,三人年齡之和是109歲。問：三人各幾歲?[分析與解答]摘錄條件<1>甲=2乙+3,<2>乙=2丙-2,由<2>可得2乙=4丙-4,又根據(jù)<1>可得甲=4丙=1,如果甲正好是丙的4倍,乙正好是丙的2倍,那么年齡和應(yīng)是<109+l+2>=112<歲>,也就相當(dāng)于丙的<4+2+1>倍,因此丙的年齡=112÷7=16<歲>。乙的年齡：16X2—2=30<歲>,甲的年齡=30×2+3=63<歲>。練習(xí)與思考1.2只紅球與4只藍(lán)球的重量相等,3只藍(lán)球的重量等于1只紅球加1只黑球的重量,那么幾只黑球的重量等于3只紅球加4只藍(lán)球的重量?2.百貨商店運(yùn)來400雙球鞋,分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱中,如果2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的鞋一樣多,那么每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙鞋?3.有紅、黃、藍(lán)三色筆共94枝,已知紅色筆比黃色筆的2倍少2枝,黃色筆比藍(lán)色筆的2倍多4枝,求三色筆各多少枝?4.一批貨物,如果用大號(hào)集裝箱要20只箱子,如果用小號(hào)集裝箱裝,要25只箱子,已知大號(hào)箱比小號(hào)箱可多裝貨物200千克,求這批貨物重多少千克?5.學(xué)校圖書館購(gòu)買5本科技書和3本文學(xué)書共用去147．5元,如果用1本文學(xué)書換回2本科技書,那么還要用去7．3元。問：科技書和文學(xué)書每本的價(jià)格各是多少元?6.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是325,如果甲加上lO,乙減去5,丙乘以2,丁除以3,那么四個(gè)數(shù)恰好相等,求丁數(shù)。7.甲、乙兩數(shù)之差是17．82,如果將乙的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位就與甲數(shù)相等。求甲、乙兩數(shù)分別是多少?8.用兩臺(tái)抽永機(jī)抽水,甲抽水機(jī)抽6小時(shí),乙抽水機(jī)抽8小時(shí),共抽水624立方米。已知甲抽水機(jī)5小時(shí)的抽水量等于乙抽水機(jī)2小時(shí)的抽水量。問：甲乙兩臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)各抽水多少立方米?9.用3個(gè)空啤酒瓶可換一瓶啤酒王強(qiáng)買了10瓶啤酒,他最多可以喝到多少瓶啤酒?張師傅和李師傅共同加工1300個(gè)零件,張師傅先做6天。再由李師傅做4天,就完成了任務(wù)。如果張師傅先做4天,則李師傅再做7天也能完成任務(wù)。問：李師傅每天加工多少個(gè)零件?10.運(yùn)動(dòng)會(huì)把一筆獎(jiǎng)金分為金、銀、銅三等,已知每個(gè)金牌獎(jiǎng)金是每個(gè)銀牌獎(jiǎng)金的,2倍,每個(gè)銀牌獎(jiǎng)金是每個(gè)銅牌獎(jiǎng)金的2倍,如果評(píng)出金牌、銀牌、銅牌獎(jiǎng)各兩名,那么每個(gè)金牌獎(jiǎng)金是30.8萬元,如果評(píng)出一個(gè)金獎(jiǎng)、兩個(gè)銀獎(jiǎng)、三個(gè)銅獎(jiǎng),那么金獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是多少萬元?第八講消去法解題有些較復(fù)雜的應(yīng)用題,給出了兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量,在解題時(shí)除了運(yùn)用前一講代換法來解答,還可以運(yùn)用另一種方法——消去法。消去法解題是指在求多個(gè)未知量時(shí),通過比較已知條件,分析對(duì)應(yīng)未知數(shù)量的變化情況,設(shè)法消去其中一個(gè)未知量,使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。例題選講例1:媽媽第一次買了3千克蘋果和5千克桔子,共用去14．5元；第二次又買了3千克蘋果和7千克桔子,共用去18．5元。蘋果和桔子的單價(jià)各是多少元?[分析與解答]根據(jù)已知條件寫出下列數(shù)量關(guān)系式：3千克蘋果的價(jià)格+5千克桔子的價(jià)格=14．5元①3千克蘋果的價(jià)格+7千克桔子的價(jià)格=18．5元②比較①、②兩個(gè)等式,我們可以看出,14．5元與18．5元的差價(jià)正好是<7—5>千克桔子的價(jià)格。因?yàn)閮纱钨I的蘋果重量相同,根據(jù)這個(gè)條件,在解答時(shí)可以把3千克蘋果的價(jià)格消去,先求桔子的價(jià)格,再求蘋果的價(jià)格。解：<18．5—14．5>÷<7—5>=4÷2=2<元>……桔子的單價(jià)<14．5—2×5>÷3=4．5÷3=1．5<元>……蘋果單價(jià)答：蘋果的單價(jià)是1．5元,桔子的單價(jià)是2元。例2:紫金小學(xué)買了4個(gè)足球和12個(gè)籃球,一共用去980元,育才小學(xué)買了同樣的8個(gè)足球和10個(gè)籃球,一共用去1190元。每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元?[分析與解答]‘先列出數(shù)量關(guān)系式。4個(gè)足球的價(jià)錢十12個(gè)籃球的價(jià)錢=980元①8個(gè)足球的價(jià)錢+10個(gè)籃球的價(jià)錢=1190元②與例1比較①、②兩個(gè)等式中沒有相同數(shù)量的量,這樣就不能直接消去其中的一個(gè)未知量。那怎么辦呢?仔細(xì)觀察比較①、②兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式,不難看出②式中足球數(shù)量是①式中足球數(shù)量的2倍,如果把①式中未知量的數(shù)量擴(kuò)大2倍,問題就迎刃而解了。解：根據(jù)已知條件可得8個(gè)足球的價(jià)錢+24個(gè)籃球的價(jià)錢：1960元<1960一1190>÷<24一lO>=770÷14=55<元>……籃球的單價(jià)<980—55×12>÷4=320÷4=80<元>……足球單價(jià)答：每個(gè)足球80元,每個(gè)籃球55元。練習(xí)與思考1.食堂第一次運(yùn)來6袋大米和4袋面粉,一共重400千克,第二次又運(yùn)來9袋大米和4袋面粉,一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?2.小明和小剛?cè)ド痰曩I文具用品,小明買了1枝鋼筆和2塊橡皮共用去14元,小剛買同樣的2枝鋼筆和8塊橡皮共用去36元。問：鋼筆和橡皮的單價(jià)各是多少元?,3.文峰水果超市購(gòu)買5筐蘋果和7筐梨共重135千克,第二天又購(gòu)買了同樣的蘋果3筐、梨5筐共重85千克。問：每筐蘋果和每筐梨各多少千克?4.學(xué)校買來5包科技書和7包故事書共620本,6包科技書和3包故事書420本。問：每包科技書和每包故事書各多少本?5.甲、乙、丙三數(shù),甲、乙兩數(shù)之和是50,乙、丙兩數(shù)之和是70,甲、丙兩數(shù)之和是60。問：甲、乙、丙三數(shù)各是多少?6.商店第一天賣出5件上衣和8條褲子收入1265元,第二天賣出同樣的6件上衣和5條褲子共收入1150元。問：每件上衣、每條褲子各多少元?每件上衣比每條褲子貴多少元?7.7頭牛和4只羊每天共吃青草145千克,4頭牛和7只羊每天共吃青草130千克。問：每頭牛和每只羊每天各吃青草多少千克?8.小明有4盒奶糖,小剛有3盒酥糖。共有60顆糖,如果小明和小剛對(duì)換1盒,則兩人手里糖的顆數(shù)相等。每盒奶糖和每盒酥糖各有多少顆?9.體育室有籃球、足球、排球三種球?；@球3個(gè),足球2個(gè),排球1個(gè),共值380元；籃球2個(gè),足球1個(gè),排球3個(gè),共值350元；籃球1個(gè),足球3個(gè),排球2個(gè),共值350元。問：每種球的單價(jià)各是多少元?10.一個(gè)水池甲、乙兩個(gè)水管同時(shí)打開,5小時(shí)灌滿；若甲管開8小時(shí)后關(guān)閉乙再開3小時(shí)也能灌滿。如果甲管先開2小時(shí)關(guān)閉,那么乙管再開幾小時(shí)才能灌滿?第九講作圖法解題圖形具有直觀性,用作圖的方法可以將復(fù)雜應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來,使題目的已知條件和所求問題一目了然,并借助直觀的圖形進(jìn)行分析、推理,進(jìn)而很快找到解決問題的策略。這種方法我們稱為作圖法解題,特別是對(duì)解答條件復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系不明顯的應(yīng)用題,能起到化難為易的作用。例題選講例1:雞與兔同籠共100只,一共有240只腳雞與兔各多少只?[分析與解答]這是雞兔同籠問題,我們?cè)谇皫字v已學(xué)會(huì)用其它方法解答,現(xiàn)在用作圖法來解答,讓同,學(xué)們體會(huì)一下這種方法的作用。圖1中兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積表示的是雞與兔腳的總個(gè)數(shù),寬表示每只雞與兔的腳的個(gè)數(shù)。則長(zhǎng)就是要求的雞與兔的只數(shù)。仔細(xì)觀察圖2,陰影部分的面積表示雞與兔多出的腳,它應(yīng)該等于總面積減空白面積,即240—2x100=40<只>,那么陰影部分的長(zhǎng),也就是兔的只數(shù)應(yīng)為40÷<4—2>=20<只>,雞的只數(shù)就是1OO-20=80<只>．例2:甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向開出,第一次相遇時(shí)離A地有90千米,然后各按原速度繼續(xù)行駛,到達(dá)目的地后立即沿原路返回,第二次相遇時(shí)離B地70千米處,求A、B兩地的路程。[分析與解答]求A、B兩地的路程,題中既沒有給出甲、乙的速度,也沒有給出相遇時(shí)間,解答比較困難。下面我們借助線段圖來幫助分析。從圖上可以看出,甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共行駛了一個(gè)全程,當(dāng)兩車共行駛1個(gè)全程時(shí),甲車行駛了90千米。從第一次相遇到第二次相遇,甲、々兩車又共行駛了2個(gè)全程。因此從出發(fā)到第l二次相遇甲、乙兩車共行駛了3個(gè)全程,那么甲車就行駛了3個(gè)90千米,即90×3=270千米,而甲車比全程多行70千米。所以A、B的距離為270—70=200<千米>。練習(xí)與思考1.有10分和20分的郵票共18張,總面值為2．80元。請(qǐng)問：10分和20分的郵票各有幾張?2.張紅與李明同時(shí)從甲、乙兩地相向而行,第一次兩人相遇時(shí)離乙地400米。然后兩人繼續(xù)步行,各自到達(dá)目的地后立即返回,第二次相遇時(shí)離甲地200米,求甲、乙兩地的距離。3.兩根同樣長(zhǎng)的電線,第一根用去60米,第二根用去20米,剩下的電線,第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍。問：原來兩根電線各長(zhǎng)多少米?<先畫圖再列式計(jì)算>4.在一個(gè)除法算式里,被除除以除數(shù)商是25,余數(shù)是10,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是357,除數(shù)是多少?5.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù),甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的總和是300,丁數(shù)比甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的平均數(shù)少30,求丁數(shù)。6.甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行,第一次相遇時(shí)離A地50千米,相遇后繼續(xù)按原速度行完全程,到達(dá)目的地后返回,第二次相遇時(shí)離A地25千米。問：A、B兩地距離是多少千米?7.一輛汽車從甲地開往乙地,往返共用20小時(shí),去時(shí)用的時(shí)間是回來時(shí)的1．5倍,去時(shí)的速度比回來的速度每小時(shí)慢12千米。問：往返共行了多少千米?8.某單位買單價(jià)分別為70元、30元、20元的高、中、低三檔皮包共47個(gè),共用了2120元,其中每個(gè)30元的中檔皮包個(gè)數(shù)是每個(gè)20元的低檔包個(gè)數(shù)的2倍。問：三種皮包各買了多少個(gè)？第十講倒推法解題在我們生活中經(jīng)常會(huì)遇到"還原問題",如把一盒包裝精美的玩具打開,再把它重新包裝好,重新包裝的步驟與打開的步驟正好相反。其實(shí)在數(shù)學(xué)中,也有許多類似的還原問題。解決這類問題最常用的方法就是倒推法,即從結(jié)果入手,逐步向前逆推,最終找到原問題的答案。例題選講例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3個(gè),第三只拿走第二只取剩的一半少3個(gè),第四只拿走第三只取剩的一半多3個(gè),第五只拿走第四只取剩的一半,最后還剩3個(gè),這堆桃原來有多少個(gè)?[分析與艉答]l|這道題條件比較多,順向思考很困難,如果根據(jù)最后的結(jié)果倒推還原,解決起來就輕松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半,還剩3個(gè),所以第五只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：3×2=6<個(gè)>,同理,第四只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<6+3>×2=18<個(gè)>,第三只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<18—3>×2=30<個(gè)>,第二只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：<30+3>×2=66<個(gè)>,第一只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：66×2=132<個(gè)>,即這堆桃有132個(gè)。例2:甲、乙、丙三人各有若干元錢,甲拿出與乙相同多的錢給乙,也拿出與丙相同多的錢給丙；然后乙也按甲和雨手中的錢分別給甲、丙相同的錢；最后丙也按甲和乙手中的錢分別給甲、乙相同的錢,此時(shí)三人都有48元錢。問：開始時(shí)三人各有多少元錢?[分析與解答]從第三次丙給甲、乙錢逐步向前推算,根據(jù)三人最后都有48元,那么在丙給甲、乙添錢之前：甲：48÷2：24<元>,乙：48÷2—24<元>,丙：48+24+24—96<元>；第二次在乙給甲、丙添錢之前：甲：24÷2—12<元>,乙：24+12+48===84<元>,丙：96÷2=48<元>；第一次在甲給乙、丙添錢之前：甲：12+42+24—78<元>,乙：84÷2=42<元>,丙：48÷2=24<元>。所以開始時(shí)甲有78元,乙有42元,丙有24元。例3:甲、乙、丙三人共有48張郵票,第一次甲先拿出與乙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給乙；第三次乙拿出與丙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給丙；第三次丙又拿出與這時(shí)的甲的郵票數(shù)相等的張數(shù)給甲,最后三人的郵票數(shù)相等,三人原來各有多少?gòu)堗]票?[分析與解答]此題條件復(fù)雜,因此我們可以用列表的方法,從最后的果一步步按每次的變化倒推,這樣就容易看清題中的數(shù)量關(guān)系了。列表如下：練習(xí)與思考1.張強(qiáng)去銀行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50元,第三次取了余下的一半多50元,這時(shí)他的存折上還剩下575元。問：張強(qiáng)原來有存款多少元?2.書架上有上、中、下三層書,共2400本一先從上層拿出與中層同樣多的書放進(jìn)中層,再?gòu)闹袑幽贸雠c下層同樣多的書放進(jìn)下層,最后從下層拿出與上層現(xiàn)在同樣多的書放進(jìn)上層,這時(shí)三層書同樣多。問：開始時(shí),上、中、下三層各有多少本書?3.做一道整數(shù)加一個(gè)學(xué)生把個(gè)位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9看作6,結(jié)果得出和為775。問：正確的答案應(yīng)該是多少?4.有26塊磚,兄弟兩人爭(zhēng)著去挑,弟弟走在前面,剛擺好磚哥哥趕來了。哥哥見弟弟挑得太多,就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行,又從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓,弟弟只好給哥哥5塊,這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問：開始時(shí),弟弟準(zhǔn)備挑多少塊?5.甲、乙、丙三個(gè)瓶子共裝了24升水,現(xiàn)在把甲瓶的水分別倒給乙、丙兩瓶,使乙、丙兩瓶的水比原來增加1倍；之后,又將乙瓶的水按上面的要求倒給甲、丙；最后,再按上面的要求將丙瓶的水倒一部分給甲、乙兩瓶,這樣倒了三次后,三個(gè)瓶中的水一樣多。問：開始時(shí)甲、乙、丙三瓶各裝水多少升?6.世紀(jì)商場(chǎng)里有一批兒童玩具,第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少4個(gè),第二天運(yùn)出剩下的一半多2個(gè),第三天又運(yùn)進(jìn)25個(gè),這時(shí)庫(kù)存兒童玩具45個(gè),世紀(jì)商場(chǎng)原來有多少個(gè)兒童玩具?7.有一堆書,第一次搬一半,第二次般走剩下的一半多3本,第三次搬走剩下的一半少3本,第四次搬走剩下的一半多3本,第五次搬走剩下的一半,最后剩3本。問：原來有多少本書?8.甲、乙、丙各有若干個(gè)橘子。第一次甲給乙、丙橘子,各給與他們?cè)虚僮訑?shù)量相等的個(gè)數(shù)；同樣,第二次乙給甲、丙橘子,各給與他們現(xiàn)有橘子數(shù)量相等的個(gè)數(shù)；第三次丙給甲、乙橘子,同樣各給與他們現(xiàn)有數(shù)量相等的個(gè)數(shù)。最后三人都各有48個(gè)橘子,那么開始時(shí)三人各有多少個(gè)橘子?9.一種有益的菌種每小時(shí)可增長(zhǎng)。l倍,現(xiàn)有一批這樣的細(xì)菌：10小時(shí)后達(dá)到100萬個(gè),當(dāng)它們達(dá)到25萬個(gè)時(shí),經(jīng)歷了多少長(zhǎng)時(shí)間?第十一講分?jǐn)?shù)大小的比較在分?jǐn)?shù)計(jì)算中經(jīng)常要比較分?jǐn)?shù)的大小,同學(xué)們已經(jīng)知道根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以將兩個(gè)異分子分母的分?jǐn)?shù)變?yōu)榉肿酉嗤蚍帜赶嗤那闆r進(jìn)行比較。但在有些時(shí)候比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小,要根據(jù)分?jǐn)?shù)的具體情況采取靈活的方法來比較它們的大小,這一講我們就來研究比較分?jǐn)?shù)大小的方法。例題選講例1:比較EQ\F<12,33>、EQ\F<5,11>和EQ\F<2,17>,這三個(gè)分?jǐn)?shù)中最大的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?最小的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?[分析與解答]仔細(xì)觀察這三個(gè)分?jǐn)?shù),分子、分母都不相同,如果把它們通分比較當(dāng)然可以,但較麻煩。再看分5子,都是60的約數(shù),因此可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將這三個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子都是60的分?jǐn)?shù),再進(jìn)行比較解：EQ\F<12,33>=EQ\F<60,165>,EQ\F<5,11>=EQ\F<60,130>,EQ\F<2,17>=EQ\F<60,510>因?yàn)镋Q\F<60,130>>EQ\F<60,165>>EQ\F<60,510>,所以EQ\F<5,11>>EQ\F<12,33>>EQ\F<60,510>,即EQ\F<5,11>最大,EQ\F<2,17>最小。例2:比EQ\F<2,7>大,比EQ\F<1,3>小,分子為17的分?jǐn)?shù)有多少個(gè)?[分析與解答]根據(jù)題意,將題目轉(zhuǎn)化成如下移式EQ\F<2,7><EQ\F<17,□><EQ\F<1,3>。其實(shí)就是求□里可以填哪些自然數(shù)。我們可以采用通分子的方法,把上式轉(zhuǎn)化為EQ\F<34,119><EQ\F<34,2×□><EQ\F<34,102>不難看出所要求的分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)該是從119～102的偶數(shù),有8個(gè)。因此比EQ\F<2,7>大,比EQ\F<1,3>小,分子為17的分?jǐn)?shù)有8個(gè)。例3:比較右兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。篍Q\F<33,40>和EQ\F<32,41>。[分析與解答]觀察這兩個(gè)分?jǐn)?shù),它們的分子和分母都不相同,用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把它們變?yōu)榉肿酉嗤蚍帜赶嗤瑏肀容^都很麻煩。這時(shí)我們可以借助一個(gè)中間數(shù)"EQ\F<32,40>"作為"橋梁"進(jìn)行間接比較。解：因?yàn)镋Q\F<33,40>>EQ\F<32,40>,而EQ\F<32,40>>EQ\F<32,41>,所以EQ\F<33,40>>EQ\F<32,41>。練習(xí)與思考1．把下面各組中的分?jǐn)?shù)按從大到小的順序排列：EQ\F<30,27>、EQ\F<15,13>、EQ\F<20,17>、EQ\F<12,11>2．已知EQ\F<4,5>>EQ\F<7,〔>>EQ\F<1,2>,〔中可以填人的最大整數(shù)是多少?最小整數(shù)是多少?3．比較下列兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小：EQ\F<6,13>和EQ\F<8,15>。4．比較EQ\F<444443,444445>和EQ\F<555554,555556>的大小。5．寫出三個(gè)大于EQ\F<1,6>而小于EQ\F<1,5>的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)。6．在分?jǐn)?shù)EQ\F<2,5>、EQ\F<5,11>、EQ\F<8,17>、EQ\F<20,41>中,最大的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?最小的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?7．把下列分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列：EQ\F<84,89>、EQ\F<21,23>、EQ\F<12,13>、EQ\F<28,31>、EQ\F<14,15>8．比較下列兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小：〔1EQ\F<6,17>和EQ\F<10,19>〔2EQ\F<43,120>和EQ\F<42,121>9．在下列方框中填上適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù),使不等式成立。EQ\F<6,11><EQ\F<109,□><EQ\F<5,9>10．要使EQ\F<24,31><EQ\F<773,A><EQ\F<31,409>成立,那么A代表什么自然數(shù)？11．如果EQ\F<5,9><EQ\F<9,□><1,那么□中應(yīng)填的整數(shù)有那些？12．分子是3,比EQ\F<7,65>小,但與EQ\F<7,65>最接近的分?jǐn)?shù)是哪一個(gè)？13．比較EQ\F<218191,654321>和EQ\F<152347,456789>的大小。14．設(shè)A=EQ\F<29,62>與B=EQ\F<293031,626160>,比較A和B的大小。第十二講分?jǐn)?shù)求和的解題技巧在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,常常遇到一些分?jǐn)?shù)求和的問題。當(dāng)然,這些求和的問題并不是只用一般通分的方法就能解決的。這一講我們來研究一些特殊的分?jǐn)?shù)求和的解題技巧。例題選講例1:先觀察下列各式的特點(diǎn),找出規(guī)律再解答下列各題?！?EQ\F<1,2>+EQ\F<1,4>+EQ\F<1,8>+EQ\F<1,16>〔2