2.2平面量線運三目通經(jīng)歷向量加法的探究,掌向量加法概念合物理學實際理解向量加法的意義能練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,能作出已知兩向量的和向在應用動中,理解向量加法滿足交換律和結合律表述兩個運算律的幾何意掌握有特殊位置關系的兩個向量的和,比如共線向量、起點向量、共終點向量.通本節(jié)內容的學習讓學生認識事物之間的相互轉化培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識會數(shù)學在生活中的作用.培學生類比、遷移、分類、歸納等能重難教學重點向量加法的運算及其何意教學難點對向量加法法則定義理教過導新思1.(習導入)上一節(jié),們一起學習了向量的有關概念,確了向量的表示方,解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念并觸了這些概念的辨析判斷.外,量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進行加減運這一節(jié),我們先學習向量的加.思2.(問導)年陸和臺灣沒有直,此春節(jié)探親,先從臺北到香再從香港到上海,這兩次位移之和是什么樣列出數(shù)學式子？一位同學按以下的命令進行活:北走20米,再向西走15米,再向東走5米最后向南走10米怎樣計算他所在的位置此導入新課.推新新探提問①數(shù)能進行運算,向量是否也能進行運算呢？類比數(shù)的加,猜想向量的加法應怎樣定義向量的加法？②猜想向量加法的法則是什?與的運算法則有什么不同?圖活:量是既有大小、又有方向的教師引導學生回顧物理中位移的概,位移可以合成,圖某象從A點經(jīng)B點到點兩次位移BC的結,與A點直接到點的位移結相力也可以合成老師引導讓學生共同探究如下的問:圖表示橡皮條在兩個力的作用,沿著的向伸長了；圖2(2)示撤去F

1和F用一個力F作用在橡皮條上,使皮條沿著相同的方向伸長相同長.2改變力F與F的小和方向,復以上的實驗,你能發(fā)現(xiàn)F與之的關系嗎12力F對皮條產生的效果與力F與F共作用產生的效果相,理學中把力F叫F與1F的力2合力與、有樣的關系呢由發(fā)現(xiàn)力F在以F、為邊的平行四邊122形的對角線上并且大小等于平四邊形對角線的.數(shù)的加法啟發(fā)我從運算的角度看F以認為是F與F的即位移、力的合成看作向量12的加法

圖2

討結:向量加法的定:如圖3,知非零向量a,在平面內任取一點A,作

AB

=

=,向量

叫做與b的和,記作+b即+=

AB

+

=

圖求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.②向量加法的法:向量加法的角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法運用這一法則時要特別注“首尾相”即第二個向量要以第一個向量的終點為起,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終的向量即為和向.0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模向量加法的平行四邊形法則圖如圖4,以同一點O為點的兩個已知向量、鄰邊作平行四邊,以為起點的對角線

OC

就是b的和.我們把這種作兩向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法力的合成可以看作向量加法的物理模.提問①對于零向量與任一向量的加結果又是怎樣的呢？②兩共線向量求和時,用三角形法則較為合.在數(shù)軸上表示兩個向量,它們的加法與數(shù)的加法有什么關？③思考+a存著怎樣的關系？④數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系,算律可以有效地簡化運算.類似地向的加法是否也有運算律?活觀實際例子,教師啟發(fā)學生思考,并時點撥,誘,探向量的加法在特殊情況下的運算,線向量加法與數(shù)的加法之間的關系.數(shù)的加法滿足交換律與結合即對任意∈,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任向量a,b的法是否也滿足交換律和結合?引學生畫圖進行探討結:對于零向量與任一向量我們規(guī)定a=a=a.②兩個數(shù)相加其結果是一個數(shù),對應于數(shù)軸上的一個點在軸上的兩個向量加它們的和仍是一個向量,對應于數(shù)軸上的一條有向線.③當b不線,+b|<|b|(三角形兩邊之和大于第三邊;當b共線且方向相同時a|+|b|;當ab共且方向相反|aab|(或b|-|其中當向量a的度大于向量的長度時+b|=|a|-|b當量a的度小于向量的長度,a|=||.一般地我們+bab④如圖5,作

AB

=a,

AD

=b以ABAD為鄰邊作

則

=

.因為

=

AB

+

AD

=+,

=

AD

+

=所以abb

如圖6,因為

AD

=

+

=(

AB

+

)+

=(a+)+,AD

==

AB

+

BD

=

AB

+(

+

)=+(+c所a+bc=a+(+).綜上所述向量的加法滿足交換律和結合.圖5

圖應示思1例如7,知向量、b,作向量a+b活教師引導學生,學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向加法的作圖中,生體會作法中在平面內任取一點O的依據(jù)—它體現(xiàn)了向量起點的意.在向量作圖,一般都需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應強調向量的起放在一,用三角形法則作圖則要求首尾相圖

圖

圖解作法一:在平面內任取一點如圖8),

=a,

AB

=則

OB

=+b作法二:在平面內任取一點O(如圖作OA=b以OA、OB為邊作變訓

連則OC=ab.化簡:

+

AB

;(2)

DB

+

+

;(3)

AB

+

+

+

+

活:據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相再運用向量加法的結合律調整運算順,后相解

+

AB

=

AB

+

=

++BC=BC+CDDB=(BC+CDBDDB=.

AB

+

+

+

AB

+

+

+

+

FA=

+

+

+

FA

=

AD

+

+

FA

=

+

FA

=0.點:善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向例長兩之間沒有大橋的地常常通過輪渡進行運.圖所示一艘船從長江南岸A出發(fā),km/h速度向垂直于對岸的方向行,時江水的速度為向東km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速及船實際航行的速保留兩有效數(shù))(2)求船實際航行的速度的大小與(用與江水速度間的夾角表,確到度

圖

圖11活本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用這的問題在物理中已有涉及這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算體會其中應解決的問題是向量模的大小及向量的方向與某一方向所成角的大小引導點撥學生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖從而與初中學過的解直角三角形建立聯(lián).解如圖所,

AD

表示船速,

AB

表示水速以AD、AB鄰邊作

則

表示船實際航行的速(2)在△ABC中,

AB|=5,所以

|=|AB

2|2

2

2

29

≈5.4.因為tanCAB=

292

由計算器得CAB=70°.答船實際航行速度的大小約為方向與水的流速間的夾角為點:向量法解決物理問題的步驟先用向量表示物理量,再進行向量運算,最后回扣物理問題,解決問變訓用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊.圖12活本是一道平面幾何題如用純幾何的方法去思考題不難解決,如用向量法來解,不思路清晰且運算簡單將互相平分利用向量表達以為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.師引導學生探究怎樣用向量法解決幾何問并在解完后總結路方.證:如圖設邊形對角線AC、BD相于點O,

AB

=

+

OB

=

DO

+

OC

AC與BD互平,=,=DO,AB=,因此

AB

∥

且

AB

|,即四邊形ABCD是行邊.點證一個四邊形是平行四邊形時,需證明=DC

或

AD

=

即可而要證明一個四邊形是梯需證明ABDC共線且

AB|≠|DC思2例如13,O為六邊形ABCDEF中心作出下列向:

+

OC

;(2)

+

;(3)

+

活教師導學生由向量的平行四邊形法則(三形法則)作出應的向量.師一定要讓學生親自動手操作對思路不清的學生教師適時地給予點撥指.圖13解(1)因四邊形OABC是OA、鄰邊的平行四邊OB是對角線,故

OA

+

OC

=

OB

(2)因=故+與BC方向同長度為的度的,故

+

=

AD

(3)因

OD,故OA+=OA+OD=0.點:量的運算結合平面幾何知,長度和方向兩個方面做文章應深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例在江某渡口江水以12.5km/h的度向東流渡船的速度是km/h,渡要垂直地渡過長其航向應如何確定？活如圖渡的實際速度AC、速與速AB應滿足

AB

+

AD

=

圖14解設

AB

表示水流速,

AD

表示渡船的速度,

表示渡船實際垂直過江的速以為一,AC為對角線作平行四邊形

AD

就是船的速.在eq\o\ac(△,Rt)ACD中∠ACD=90°,|ABAD∠答渡船的航向為北偏西點:根據(jù)題意畫出草,是解決問題的關.變訓已知O是邊形ABCD內點若

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0則邊形ABCD怎樣的四邊點是邊形的什么

點活:判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關如平行、相等等;而要判斷點O該四邊形的什么就必須找到該點與四邊形的邊或對角線的關.圖15解如圖15設點O是一四邊形ABCD內一且

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0,A作AE連結ED,則四邊形AEDO為行四邊,設OEAD的點為M,過BBFOC,則四邊形為行邊形,設BC的交點為N,于是M、分是AD、BC的中點∵

OA

+

OB

+

OC

+

OD

OA

+

OD

=

OA

+

AE

=

OE

OB

+

OC

=

OB

+

BF

=

∴

OE

+

=0,即與OF的度相,方向相∴MON三共,即點在與BC的點連線上.同理,點O也與DC的中點連線.∴點是邊形ABCD對中點連的交且該四邊形可以是任意四知訓課本本節(jié)練習.解直接在教科書上據(jù)原圖作此處從略)直接在科書上據(jù)原