第九節(jié)函數(shù)的應(yīng)用1.三種函數(shù)模型之間增長速度的比較性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在（0，+∞）上的增減性_____________________增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)大小比較存在一個x0,當(dāng)x＞x0時，有_____________函數(shù)增加的增加的增加的logax＜xn＜ax(4)對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，圖像增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢(底數(shù)a＞1,m＞0).(5)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常見的是二次函數(shù)模型:__________(a≠0)，圖像增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大(a＞0).y=ax2+bx+c(6)分段函數(shù)模型：圖像特點是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點.

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）.（1）函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.()（2）“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c(a≠0,b＞0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻.()（3）冪函數(shù)增長比直線增長更快.()（4）不存在x0，使()1.某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則以下結(jié)論正確的是()(A)x＞22%(B)x＜22%(C)x=22%(D)x的大小由第一年的產(chǎn)量確定【解析】選B.設(shè)第一年的產(chǎn)量為a,則a(1+x)2=a(1+44%),∴(1+x)2=1+44%,解得x=20%.2.一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為圖中的()【解析】選B.由題意知h=20-5t(0≤t≤4).3.擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)=0.5×［m］+1(單位：元)，其中m＞0，［m］表示不大于m的最大整數(shù)(如［3.62］=3,［4］=4)，當(dāng)m∈［0.5,3.2］時，函數(shù)f(m)的值域是()(A){1,2,3,4}(B){1,1.5,2,2.5}(C){1,1.5,2.5,3}(D){1.5,2,2.5}【解析】選B.當(dāng)m∈［0.5,3.2］時,［m］所有可能值為0,1,2,3共4個，故f(m)的值域為{1,1.5,2,2.5}.考向1

一次函數(shù)與二次函數(shù)模型【典例1】(2013·淮南模擬)某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(單位：萬美元)

類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120項目其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計m∈［6,8］.另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域.(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃.【思路點撥】(1)根據(jù)利潤計算公式寫出y1,y2.(2)先求y1與y2的最大值，再通過比較最大值做出規(guī)劃.【規(guī)范解答】(1)由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A，B兩產(chǎn)品的年利潤y1,y2分別為y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(0≤x≤200且x∈N),y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460(0≤x≤120，x∈N).所以，當(dāng)6≤m<7.6時，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件；當(dāng)m=7.6時，生產(chǎn)A產(chǎn)品200件與生產(chǎn)B產(chǎn)品100件均可；當(dāng)7.6<m≤8時，可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件.【拓展提升】求解一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題的關(guān)注點（1）二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯.(2)確定一次函數(shù)模型時,一般是借助兩個點來確定,常用待定系數(shù)法.(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題.【變式訓(xùn)練】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位:萬元).【解析】（1）設(shè)A,B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元,x萬元,x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元.由題意可設(shè)根據(jù)圖像可解得f(x)=0.25x(x≥0).(2)①由(1)得∴總利潤y=8.25萬元.②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元.則令則∴當(dāng)t=4時,此時x=16,18-x=2.∴當(dāng)A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤,約為8.5萬元.【思路點撥】（1）根據(jù)10年的砍伐面積為原來的一半，列方程求解.（2）根據(jù)到今年為止，森林剩余面積為原來的列方程求解.（3）求出第n年后森林剩余面積，根據(jù)森林面積至少要保留原面積的列不等式求解.【規(guī)范解答】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0＜x＜1)，則即解得(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的則即解得m=5.故到今年為止，已砍伐了5年.(3)設(shè)從今年開始,以后砍了n年,則n年后剩余面積為令即解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年.4小時后,細胞總數(shù)為可見,細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系為:由得兩邊取以10為底的對數(shù),得∴∵∴x＞45.45.答:至少經(jīng)過46小時,細胞總數(shù)超過1010個.考向3

分段函數(shù)模型【典例3】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當(dāng)20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式.(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=x·v（x）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）.【思路點撥】(1)當(dāng)20≤x≤200時，利用待定系數(shù)法求v(x)的表達式，進而確定當(dāng)0≤x≤200時，分段函數(shù)v(x).(2)根據(jù)(1)求出f(x)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值.

【規(guī)范解答】(1)由題意:當(dāng)0≤x≤20時,v(x)=60;當(dāng)20≤x≤200時,設(shè)v(x)=ax+b.由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為（2）依題意并由(1)可得當(dāng)0≤x≤20時,f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時,其最大值為60×20=1200;當(dāng)20＜x≤200時,當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x，即x=100時,等號成立.所以當(dāng)x=100時,f(x)在區(qū)間(20,200］上取得最大值.綜上,當(dāng)x=100時,f(x)在區(qū)間［0,200］上取得最大值即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.【拓展提升】應(yīng)用分段函數(shù)模型的注意點(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏.(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(或最小者).【變式訓(xùn)練】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖像如圖所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時,求s的值.(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來.(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.【解析】(1)由圖像可知:當(dāng)t=4時,v=3×4=12,(2)當(dāng)0≤t≤10時,當(dāng)10＜t≤20時，當(dāng)20＜t≤35時，(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.綜上，可知（3）沙塵暴會侵襲到N城.∵t∈［0,10］時,t∈(10,20］時，smax=30×20-150=450＜650,∴當(dāng)t∈(20,35］時，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40.∵20＜t≤35,∴t=30.∴沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.【創(chuàng)新體驗】函數(shù)建模在實際問題中的應(yīng)用【典例】(12分)（2012·江蘇高考）如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．（1）求炮的最大射程.（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．【思路點撥】

已知條件條件分析令y=0求出x，即為炮的射程函數(shù)，再求此函數(shù)最值飛行物飛行高度為3.2千米，橫坐標為a將y=3.2,x=a,代入根據(jù)k＞0，求a的范圍

【規(guī)范解答】（1）令y=0，得①,由實際意義和題設(shè)條件知x＞0,k＞0,…………………2分故當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.………………5分(2)因為a＞0，所以,炮彈可擊中目標?存在k＞0,使成立.…………………8分即關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根②…………………10分∴判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0③，解得a≤6.所以當(dāng)a不超過6千米時,可擊中目標.………12分【失分警示】(下文①②③見規(guī)范解答過程)1.(2013·江門模擬）小孟進了一批水果，如果他以每千克1.2元的價格出售,那他就會賠4元；如果他以每千克1.5元的價格出售,一共可賺8元.現(xiàn)在小孟想將這批水果盡快出手，以不賠不賺的價格賣出，那么每千克水果應(yīng)定價為()(A)1.2元(B)1.3元(C)1.4元(D)1.45元【解析】選B.設(shè)水果的成本價為x元/千克,共有a千克，由題意知解得x=1.3,則每千克水果應(yīng)定價1.3元，故選B.2.(2013·宜春模擬）某市原來居民用電價格為0.52元/(kW·h)，換裝分時電表后，峰時段(早上八點到晚上九點)的電價0.55元/(kW·h)，谷時段(晚上九點到次日早上八點)的電價為0.35元/(kW·h)，對于一個平均每月用電量為200kW·h的家庭，換裝分時電表后，每月節(jié)省的電費不少于原來電費的10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為()(A)110kW·h(B)114kW·h(C)118kW·h(D)120kW·h【解析】選C.設(shè)在峰時段的平均用電量為xkW·h,由題意知,0.52×200-［0.55x+0.35(200-x)］≥0.52×200×10%,解得x≤118,故選C.3.(2013·漢中模擬）某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x為銷售量(單位：輛），若該公司在這兩地共銷售15輛汽車，則能獲得的最大利潤為()(A)45.606萬元(B)45.6萬元(C)45.56萬元(D)45.51萬元【解析】選B.設(shè)在甲地銷售x輛,則在乙地銷售(15-x)輛，0≤x≤15.從而獲得的最大利潤為y=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15,x∈N).∴當(dāng)x=10時,ymax=45.6萬元,故選B.4.（2013·荊州模擬）在一次數(shù)學(xué)實驗中，運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系與下列最接近的函數(shù)(其中a,b,c為待定系數(shù))是()(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)【解析】選B.由x=0時